安徽省淮北市第一中学2017_2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)

；当
时，即
时， 在
上是增函数
，在
上是减函数，∴
；当
即 时， 在 上是增函
数，∴
，综上所述，
点睛：本题主要考查了二次函数恒成立问题以及利用数形结合的思想，分类讨论的思想求含
-8-
有参数的二次函数最值问题，难度一般；常见的讨论形式有：1、对二项式系数进行讨论，分 为等于 0，大于 0，小于 0；2、对函数的对称轴和所给区间进行讨论.
的定义域是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】试题分析：函数
定义域是 ，即
，从而知
，所以
的定义域为 ，因此对于
，则必须满足
，从而
，即
函数
的定义域为 ，故选择 A.
-2-
考点：复合函数的定义域.
8. 设函数
，则使得
成立的 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】∵函数
，∴
，即函数 为偶函数且在
21. 已知定义域为 的函数
是奇函数.
（1）求 的值； （2）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（3）当
时，
恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
.
【解析】试题分析：（1）由函数 f（x）为 R 上的奇函数，有 f（0）=0，可求出 b 值，再由
f（1）=﹣f（﹣1），可求出 a 值.（2）用定义法证明函数的单调性，需按取值、作差、判断
【答案】（1） ；（2）
【解析】试题分析：（1）二次函数
在 轴下方，即等价于 ，可解得
参数范围；（2）函数
的对称轴为
，分为
，
和
三种情形，结合二次函数的单调性可得其最大值.
试题解析：（ ）若函数 的图象恒在 轴下方，则 ，即
，解得：
，
故的取值范围是 ．
（ ）函数
的对称轴为
，当
即 时， 在 上是
减函数，∴
与
C.
与
D.
与
【答案】D 【解析】逐一考查所给函数的性质：
A．
与函数 对应关系不一致，不是同一个函数；
B．两函数的对应关系不一致，不是同一个函数；
C．函数
的定义域为
，函数
的定义域为 R，不是同一个函数；
D．函数
与
定义域和对应关系都相同，是同一个函数.
本题选择 D 选项.
点睛：判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相
对
恒成立，∴
，设
，由
，由于 在
上递增， 在
上递减， 在
，在
上的最小值为
，∴实数的取值范围为
， 上的最大值为 ．
- 11 -
价为有两个根 ， ，且
，
，令
，则由根的分布（如图 2）可得
，即
，即
，解得
，则实数 的取值范
围是
，故选 B.
-4-
点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用
换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行
换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数 的图象结合数形结合思想及一元二次函数
∴k＜﹣1，即 k 的取值范围为（﹣∞，﹣1）
点睛：应用定义法证明函数的单调性难点在于 f（x1）﹣f（x2）符号的判断，一般需对 f（x1）﹣f（x2）进行适当的代数变形，将差转化为乘积或商数的形式，再判断符号;恒成立 问题一般需转化为函数的最大值最小值问题，需注意分离常数等方法的使用.
22. 定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有
，则
的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】定义在 上的奇函数 的图象关于直线 对称，∴
，∴
，即
，∴
，故函数 的周期为 4，∵
，∴
，
，
，
，则
，故选 A.
-3-
11. 已知
，并且 是方程
）
A.
B.
C.
【答案】C
【解析】方程化为一般形式得：
∴
，
，
，
，
的大小关系可能是
，故选 C.
，∵ 时，
，综上可得， 的取值范围
是 ，故答案为 .
16. 若函数
与函数
（ 且 ）的图像有且只有一个公共点，则的取值范围
是__________．
【答案】 或
【解析】当 时，作出函数
图象：
若直线
与函数
的图象有且只有一个公共点，由图象可知
或
，
解得 或 ；当
时，类似可得
或
，无解，综上可得的取值范围是
或 ，故答案为 或 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
在 的最小值问题. 试题解析： （1）因为 f（x）是奇函数，所以 f（0）=0⇒
，解得 b=1，
f（x）=
，又由 f（1）=﹣f（﹣1）⇒
，解得 a=2．
（2）证明：由（1）可得：f（x）=
．
∀x1＜x2 ， ∴
，
则 f（x1）﹣f（x2）=
,
∴f（x1）＞f（x2）． ∴f（x）在 R 上是减函数． （3）∵函数 f（x）是奇函数．
【答案】(-3， 【解析】由
或（-3，-1）
得
，即函数 的定义域为
，设
，则抛物线开
口向下，对称轴为
，∵
在定义域内单调递增，∴要求函数
的
单调递增区间，等价求
的递增区间，∵
的单调递增区间为
，故答案为
.
的递增区间是
，∴函数
15. 定义运算 为：
，例如：
，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意可得，
-9-
∴f（kx2）+f（2x﹣1）＞0 成立，等价于 f（kx2）＞﹣f（2x﹣1）=f（1﹣2x）成立， ∵f（x）在 R 上是减函数，∴kx2＜1﹣2x，
∴对于任意
都有 kx2＜1﹣2x 成立，
∴对于任意
都有 k＜ ，
设 g（x）= ，
∴g（x）=
，
令 t= ，t∈[ ，2]，
则有
，∴g（x）min=g（t）min=g（1）=﹣1
的两根，实数 的大小关系可能是（
D.
，∵ 是方程
的两根，
，又二次函数图象开口向上，所以实数
12. 已知函数
，若方程
有六个相异实根，则实数 的取
值范围（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】令
，则原函数方程等价为
,作出函数 f（x）的图象如图 1：图象可
知当由
时，函数
有 3 个交点，所以要使
有六个相异实根，则等
的定义进行判断；（2）由题意知，
对
恒成立，令
，
对
恒成立，设
，
的值.
试题解析：（1）当
时，
，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出
，令
，∵ ，∴ ，
；
∵ 常数
在 ，使
上单调递增，∴ ，即 在
上的值域为
成立．∴函数 在
上不是有界函数．
，故不存在
- 10 -
（2）由题意知，
对
恒成立，即：
，令
，∵ ，∴
．∴
成立，则
称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界，已知函数
.
（1）当 时，求函数 在 上的值域，并判断函数 在 上是否为有界函数，请
说明理由； （2）若函数 在
上是以 4 为上界的有界函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）值域为
，不是有界函数；（2）
．
【解析】试题分析：（1）把
代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数
，都有
成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率
小于 0，即函数为减函数，可得：
，解得
，故选 D.
点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及对数函数的性质的应用，考查基本知识
的应用；要使分段函数单调递减，必须满足左段单调递减，右段单调递减，同时最容易遗漏
的是左端的最小值不小于右段的最大值.
10. 已知定义在 上的奇函数 的图像关于直线 对称，且
分的范围，根据对数函数的单调性可求出值域；（2） 的值域为 等价于
的值域包含
，故可分为 及
两种情形.
试题解析：（1） 时，
，∵
，
∴
,值域为
（2）①当 m=0 时，满足题意，②当 m≠0 时，
解得 0<m
或m
所以 0 m
或m
20. 设 ，已知函数
.
（1）若函数 的图像恒在 轴下方，求的取值范围；
（2）求函数 在 上的最大值 .
符号、下结论等步骤进行.
(3)由 f（x）是 R 上的奇函数且 f（kx2）+f（2x﹣1）＞0，可得 f（kx2）＞f（1-2x）, 又由 f
（x）在 R 上单调递减，有 kx2＜1-2x.原问题等价于对任意
都有 kx2＜1﹣2x 成立，采
用分离常数法将不等式转化为 k＜ ，则需 k＜
即可，最终问题转化为求 g（x）=
根的分布问题，确定 的取值范围
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数
是偶函数，且其定义域为
，则
__________．
【答案】
【解析】本试题考查了函数的奇偶性。
解：
为偶函数
，即 解得：
为偶函数，所以其定义域一定是关于原点对称
，解得：
-5-
14. 函数
的单调递增区间为__________．
．
18. 计算：（1）
；
（2）
.
【答案】（1）－3；（2） ．
【解析】试题分析： 试题解析：
（1）原式
；
............
-7-
19. 已知函数
.
（1）当 时，求 的值域； （2）若 的值域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
；（2）0 m
或m
【解析】试题分析：（1）当 时，
，利用二次函数的性质求出真数部
同(注意解析式可以等价化简).
3. 设
，则 的值为（ ）
A. 0 B. 1 【答案】B
C. 2
D. 3
【解析故选 B. 一定存在零点的区间是（
；当 时， ）
，故
-1-
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵函数
在 上的连续函数，∵
，
，∴
，由函数零点的判定定理可知：函数 在区间
上单调递增，∵
，∴
，∴
，即
，故选 D.
点睛：本题考查利用函数的单调性与奇偶性的结合解不等式问题，属于中档题；由题意，函
数是偶函数，在
上单调递增，
，化为
，最后转化为关于 的一元
二次不等式，从而可得 的取值范围.
9. 已知函数
满足对任意的实数
都有
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对任意的实数
内存在零点，故选 A.
5. 令
，
，
A.
B.
【答案】C
，则三个数 的大小顺序是（ ）
C.
D.
6. 函数
（ ， ）的部分图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】对于 A，B：当 a>1 时，
,显然 A，B 都不符合；
对于 C，D：当 0<a<1 时，
,显然 D 符合.
7. 已知函数
定义域是 ，则
-6-
17. 已知全集 ，集合
，
，
.
（1）
；
（2）若
，求实数的取值范围.
【答案】（1）
；（2） ．
【解析】试题分析：（1）先求出集合 A,B，再求出 A 补集与 B 的交集；（2）借助集合的包含
关系建立不等式求解：
（1）∵
， ，∴
．
∵
，∴
．
（2）当 时，
，，
；
当 时，要
，则 ．
∴
，∴
，即
．
综上，实数的取值范围为
2017 学年第一学期高一期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设全集
，集合
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由
，集合
，
得：
，则
，故选 B.
2. 下列函数中，是同一函数的是（ ）
A. 与
B.