2020届河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研数学(理)试题(解析版)

2020届河北省衡水市枣强中学高三下学期3月调研数学（理）
试题
一、单选题 1．设复数34i
z i
=-，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数的几何意义得到所在象限，即可求得答案. 【详解】
(34)
34(34)(34)
i i i z i i i ⋅+=
=--⋅+ 3443
252525
i i -=
=-+ ∴z 在复平面内对应的点为第二象限.
故选：B. 【点睛】
本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知集合{
}2
650M x x x =-+≥，{
}
2
1N y y x ==+，则M N =（ ）
A ．[)5,+∞
B ．{}[)15,⋃+∞
C ．[]1,5
D ．R
【答案】B
【解析】本题先求出{}15M x x x =≤≥或，再求出{}
1N y y =≥，最后求M N ⋂. 【详解】
解：∵{
}
2
650M x x x =-+≥，∴ {}
15M x x x =≤≥或， ∵{
}
2
1N y y x ==+，∴{}
1N y y =≥， ∴ {}[)15,M
N =+∞.
故选：B. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，是基础题.
3．()6
12x -的展开式第三项为（ ） A ．60 B ．120-
C ．260x
D ．3120x -
【答案】C
【解析】直接利用二项展开式的通项公式，求出6
(12)x -的展开式第三项． 【详解】
6(12)x -的通项为61(2)r r r T C x +=-
6(12)x -的展开式第三项2236221(2)60T T C x x +=-==，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
4．函数1
()cos 1
x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】因为1
()cos 1
x x e f x x e +=⋅-，先判断函数的奇偶性，结合当0x +→时，函数值
的为正，即可求得答案. 【详解】
11
()cos()cos()
11
x x
x x
e e
f x x x f x
e e
-
-
++
-=⋅-=-⋅=-
--
，
∴()
f x为奇函数，排除C，
当0
x+
→时，()0
f x>，排除B,D，
故只有A符合题意
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．设变量x，y满足约束条件
1,
22,
10,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
则()22
3
=-+
z x y的最小值为（）A．2 B．
45
C．4 D．
16
5
【答案】D
【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数()22
3
=-+
z x y可看作是可行域内的点到(3,0)距离的平方的最小值，即可求得答案.
【详解】
变量x，y满足约束条件
1,
22,
10,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪-+≥
⎩
画出可行域，
()22
3
=-+
z x y可看作是可行域内的点到(3,0)距离的平方的最小值
根据图象可知，()22
3
=-+
z x y的最小值是(3,0)到220
x y
--=距离的平方.
根据点到直线距离公式可得：(3,0)到220x y --=距离为
602
45
5
--=
∴2
min
46=515z ⎛⎫= ⎪⎝⎭
故选：D. 【点睛】
本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中，求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解.
6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（ ）
A ．120
B ．145
C ．270
D ．285
【答案】B
【解析】记第n 个五角形数为n a ，由题意知：
12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅可得13(1)1n n a a n --=-+，根据累加法，
即可求得答案. 【详解】
记第n 个五角形数为n a ，
由题意知：12132431,4,7,10a a a a a a a =-=-=-=⋅⋅⋅ 可得13(1)1n n a a n --=-+， 由累加法得(31)2
n n n
a -=
， ∴10145a =.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
7．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与函数()ln(1)f x x =+的图象相切，
则该双曲线离心率为（ ）
A B C ．2
D 【答案】A
【解析】易得切点为原点,再根据导数的几何意义求函数()ln(1)f x x =+在()0,0的切线斜率,继而得出,a b 的关系求解离心率即可. 【详解】
由题可知,切点为原点.又()ln(1)f x x =+的导函数1
'()1f x x =
+,故1'(0)101
f ==+.
故222
2
2112b c a c e a a a
-=⇒=⇒=⇒=故选：A 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义与构造齐次式求解双曲线离心率的问题.属于基础题. 8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点()3,0对称，当()0,3x ∈时
()x f x e =，则当[]2018,2019x ∈时，()f x 的最小值为（ ）
A ．0
B ．e
C ．2e
D ．3e
【答案】A
【解析】先判断出()f x 的周期为6，从而判断出[]2018,2019x ∈时()f x 最小值，即为[]2,3x ∈时()f x 最小值，最后求出[]2,3x ∈的最小值即可解题. 【详解】
解析：∵()f x 关于()3,0对称
∴()()60f x f x +-=即()()6f x f x =--， ∵ ()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()()66f x f x f x =--=-， ∴()f x 的周期为6，
∴[]2018,2019x ∈时()f x 最小值，即为[]2,3x ∈时()f x 最小值，
∵[)2,3x ∈，()()2
min 2f x f e ==
∵()()()333f f f =-=- ∴()30f =
∴[]2,3x ∈，()min 0f x =， 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、周期性求函数在指定区间内的最值，是中档题. 9．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53
C ．74
D ．95
【答案】D
【解析】根据2m n +=，化简135
112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，
131111212
n m n m n ++=++++++ 35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
2
1225(1)(2)
24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤=
⎪⎝⎭
， 当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125
n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
10．已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点.过点F 的直线l 交抛物线C 于
A B ，两点，交准线于点M .若0BM BA +=，9AB =，则p 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ，画出图象，根据
0BM BA +=，可得B 是线段AM 的中点，故
111
2
BB MB AA MA =
=，即可求得答案. 【详解】
过,A B 做准线的垂线，垂足为11,,A B x 轴与准线交点为1F ， 画出图象：
0BM BA +=
∴可得B 是线段AM 的中点
故
111
,2
BB MB AA MA == 设BF t =，
则11,2BB t AA AF t ===，
11462FF MF t p AA MA t t
===， 39,AB AF BF t =+==
求得34t p ==. 故选：C. 【点睛】
本题解题关键是掌握抛物线定义和向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
11．已知点()0,1A ，()1,2B x ，()2,2C x -在函数
()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+><< ⎪⎝
⎭的图象上，且min 5BC =.给出关于()f x 的
如下命题
p ：()f x 的最小正周期为10；q ：()f x 的对称轴为31x k =+（k Z ∈）；
r ：()()20202019f f >；s ：方程()2lg f x x =有3个实数根.
其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】先求ϕ，接着求最小正周期T ，从而求ω，再求出对称轴31x k =+（k Z ∈）以及()2020f ，()2019f ，最后判断()2lg f x x =有几个实数根即可解题. 【详解】
解析：∵()01f =∴1sin 2
ϕ=
∴6π
=ϕ
∵
32
T
==∴6T =∴3
π
ω=
，
∴()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
命题p ：因为6T =，所以命题p 为假命题 命题q ：令3
62
x k π
π
π
π+
=+（k Z ∈），解得对称轴为()31x k k Z =+∈，所以命题q 为真命题
命题r ：因为()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()20202f =-，()20191f =-，所以命
题r 为假命题
命题s ：画出函数()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭与函数()2lg g x x =的图象，如图.所以方程
()2lg f x x =有3个实数根，所以命题s 为真命题
故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，方程的根的个数的判断，是中档题.
12．已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，1AA ⊥平面ABC ，有一个过点B 且平行于平面1AB C 的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（ ） A ．
117
B ．
107
C ．
97
D ．
87
【答案】A
【解析】根据投影面平移不影响正投影的形状和大小，以平面1AB C 为投影面，构造四棱柱，画出投影图形，再计算正投影的面积即可. 【详解】 如图所示：
因为投影面平移不影响正投影的形状和大小，
所以以平面1AB C 为投影面，构造四棱柱，得到投影为五边形1B MACN ， 所以正投影的面积为47137117
227277
=⨯+⨯⨯=
S . 故选：A 【点睛】
本题主要考查平行投影的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象的能力，属于中档
题.
二、填空题
13．已知{}n a 是首项为1的等比数列，若4n a ，12n a +，2n a +成等差数列，则n a =_______.
【答案】12n -
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于4n a ，12n a +，2n a +成等差数列，可得
1244n n n a a a ++=+，由此即可求出2q
，进而求出结果.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ； ∵4n a ，12n a +，2n a +成等差数列， ∴1244n n n a a a ++=+， ∴2
44q q =+， ∴2q
，
所以{}n a 是以首项为1，公比为2的等比数列； ∴12n n
a .
故答案为：12n -. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和等差中项的应用，属于基础题.
14．执行如图所示的程序框图，若输出的y 值为1，则可输入的所有x 值组成的集合为___________.
【答案】12,
,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【解析】先根据框图分类讨论，在0x >时，得到lg 1x =，解得110x =、2110
x =
；在0x <时，得到2
(1)1x +=，解得32x =-，最后写出所有x 值组成的集合即可.
【详解】
解：（1）当0x >时，lg 1x =得110x =，2110
x =
（2）当0x <时，2
(1)1x +=，得32x =-，
故答案为：12,,1010⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查对数的运算、程序框图，是基础题
15．若A ，B ，C 三点满足6AB =，且对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥，则CA CB ⋅的最小值为________. 【答案】5-
【解析】根据对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥，得到点C 到AB 所在直线的距离最
小值为2，设AB 中点为M ，则()()
2214⎡
⎤⋅=
+--⎢
⎥⎣⎦CA CB CA CB CA CB ，再由平面向量的加法和减法运算求解.
【详解】 如图所示：
因为对任意R λ∈都有2AC AB λ-≥， 所以A ，B ，C 三点不共线，
设AD AB λ=，过C 作 CH AB ⊥，
所以2λ-=-=≥=AC AB AC AD CD CH 所以点C 到AB 所在直线的距离最小值为2
设AB 中点为M ，则()()
2214⎡
⎤⋅=
+--⎢
⎥⎣⎦CA CB CA CB CA CB ， ()
()2211
21636544⎡⎤=-≥-=-⎢
⎥⎣⎦CM AB ，
当且仅当CM AB ⊥时等号成立. 故答案为：-5 【点睛】
本题主要考查平面向量加法和减法及以及数量积的性质和运算，属于中档题.
三、双空题
16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于r 个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r ，其中3r ≥），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余1r -个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的1r -个外卖店取单.设事件k A ={第k 次取单恰好是从1号店取单}，()k P A 是事件k A 发生的概率，显然()11P A =，()20P A =，则()3P A =_______，()1k P A +与
()k P A 的关系式为_______（*k N ∈）
【答案】
11r - ()()11
11
k k P A P A r +=-⎡⎤⎣⎦-
【解析】由题意可知，3A 表示第3次取单恰好是从1号店取单，可知()()
323P A P A A =，
再利用条件概率计算公式()
()()
23232P A A P A P A A =，即可求出()3P A ；由题意可知，
()()11k k k P A P A A ++=，再根据条件概率公式可得()()()
11k k k k k P A A P A P A A ++=，
由此即可求出()1k P A +结果． 【详解】
因为2A ={第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，
所以()20P A =，3A ={第3次取单恰好是从1号店取单}，
因此()()
()()
()323232211
111P A P A A P A P A A P A r r ⎡⎤===-=⎣⎦--； 由题意可知，
()()()()()()
()11111
111
k k k k k k k k k k P A P A A P A P A A P A P A A P A r ++++⎡⎤⎡⎤===-=-⎣⎦⎣⎦-.
故答案为： 11r -；()()11
11
k k P A P A r +=-⎡⎤⎣⎦-． 【点睛】
本题考查条件概率的求法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题
17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，1b =，
cos cos c B A C =-.
（1）求B ；
（2）若B ，A ，C 成等差数列，求ABC 的面积.
【答案】（1）4
B π
=
或34B π=
；（2）
38
+.
【解析】（1）根据cos cos c B A C =-，利用余弦定理化简为a A =，然后利用正弦定理由sin sin =⋅
A
B b a
求解. （2）根据B ，A ，C 等差数列得到3
A π
=
，结合4
B π
=
，由
()11
sin sin 22
=
=+ABC S ab C ab B A △求解. 【详解】
（1）∵cos cos c B A C =
-
∴222222
22a c b a b c c A ac ab
+-+-⋅=-
又∵1b =
∴2222
1122a c a c A a a
+-+-=-
∴a A =
∴sin sin 2
A B b a =⋅
=
又∵()0,B π∈ ∴4
B π
=
或34
B π
=
（2）∵B ，A ，C 等差数列 ∴3
A π
=
，由（1）知4
B π
=
∴a A ==
∴()11
sin sin 22
=
=+ABC S ab C ab B A △,
11122=⨯+=
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理以及面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD ，1AB AD ==，AB CD ∥，AB AD ⊥，点E 为PC 的中点.平面ABE 交侧棱PD 于点F ，四边形ABEF 为平行四边形.
（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若二面角A PB C --的余弦值为10
，求PD 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（210
【解析】（1）由四边形ABEF 为平行四边形，得//AB EF ，AB EF =，结合点E 为PC 的中点，得222CD EF AB ===，求解三角形可得BD BC ⊥，再由已知得到
PC BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面PBC ，从而得到平面PBD ⊥平面
PBC ；
（2）以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0P ，0，)(0)h h >，由二面角A PB C --的余弦值为10
列式求得h ，求出PD 与平面PAB 的一个法向量，可得PD 与平面PAB 所成角的正弦值． 【详解】 解：
（1）证明：∵四边形ABEF 为平行四边形. ∴AB EF ∥，又∵AB CD ∥ ∴EF CD ∥，又∵点E 为PC 的中点 ∴222CD EF AB ===
∴在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =可得 连接BD ，易得2BD BC ==
222BD BC DC +=，
∴BD BC ⊥，又∵PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥平面PBC
BD ⊂平面PBD ，
∴平面PBD ⊥平面PBC ；
（2）由（1）知2CD =，
∴在直角梯形中可得45DCB ∠=︒，又PC ⊥底面ABCD ，
∴以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则()2,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0D ，设()()0,0,0P h h >， ∴()1,0,0BA =，()1,1,BP h =--，()2,0,DP h =-，()1,1,0BD =- ∵BD ⊥平面PBC ，
∴平面PBC 的法向量可取()1,1,0BD =-， 设平面ABP 法向量为(),,a x y z =，
由0,0,
a BA a BP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩得0
x x y hz =⎧⎨
--+=⎩，
∴可取()0,,1a h =， ∴2
10cos ,5
21a BD h ==-
+， ∴2h =，
∴()2,0,2DP =-，()0,2,1a =，
10
cos ,1085
DP a =
=⨯， ∴PD 与平面PAB 10
. 【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练利用空间向量求解空间角，是中档题．
19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周
降雨量t （单位：mm ）的数据，得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）.
另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量t （单位：mm ） 10≤ (]10,50 (]50,100
100
猕猴桃灾害等级 轻灾 正常
轻灾
重灾
根据上述信息，解答如下问题.
（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数； （2）以收集数据的频率作为概率.
①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；
②若无灾害影响，每亩果树获利6000元：若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元.为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；
方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元. 方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元. 方案3：不采取防控措施.
问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由.
【答案】（1）中位数为12.5，众数为10；（2）①估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为
130和35，无灾害概率为11
30
；②选择方案一比较好；答案见解析. 【解析】(1)根据茎叶图，可得中位数和众数；
(2)①根据图中的数据，求出该地区周降雨量的概率，由此能估计该地在今年发生重、轻害的概率和无灾害概率；
②分别计算各方案中每亩获利的期望，进而比较出每亩净利润，可得结论．
【详解】
（1）根据茎叶图，可得中位数为12.5，众数为10
（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t （单位：mm ）的概率：
()15110302P t ≤=
=，()11105030P t <≤=，()31501003010P t <≤==，()1
10030
P t ≥=
， P （轻灾）()()310501005P t P t =≤+<≤=
，P （重灾）()110030
P t =>= 因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为
130和35，无灾害概率为11
30
②方案1：设每亩的获利为1X （元），则1X 的可能取值为600，10800-，则1X 的分布列如下：
则()1291
60001080054403030
E X =⨯
-⨯=（元），则每亩净利润为54404005040-=（元）
； 方案2：设每亩的获利为2X （元），则2X 的可能取值为6000元，于是
()260001P X ==，()26000E X =，净利润为600010804920-=（元）；
方案3：设每亩的获利为3X （元），则3X 的可能取值为6000，5400-，10800-， 则3X 的分布列如下：
则()31131
6000540010800140030530
E X =⨯-⨯-⨯=-（元），于是每亩亏损为1400（元）；
由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好. 【点睛】
本题考查中位数、众数、概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，考查互斥事件概率加法定理、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点(M 且离心率为12.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若椭圆C 上存在三个不同的点A ，B ，P ，满足OA OB OP +=，求弦长AB 的取值范围.
【答案】（1）22
11612
x y +=；（2）6,⎡⎣. 【解析】（1）根据待定系数法求解即可得答案.
（2）设直线l 过A 、B 两点，先考虑直线l 垂直于x 轴时，易得6AB =，再考虑直线
l 不垂直于x 轴时，设l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，
根据题意与椭圆联立方程得(
)2
2
23484480k
x
kmx m +++-=，122
834km
x x k +=-
+，
2122
448
34m x x k
-=+，进而化简计算得2286,3434km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，再根据P 在椭圆上得
2
2
34m k =+，再用弦长公式得：AB =最后结合2343k +≥即可求得弦长的范围. 【详解】
解：（1）由题意知
12c a =，(
2
2
2
2
1a b
+=，
又因为222c b a +=，解得216a =，212b =.
则椭圆标准方程为22
11612
x y +=.
（2）因为OA OB OP +=，
所以由向量加法的意义知四边形OAPB 为平行四边形. 设直线l 过A 、B 两点，
①若直线l 垂直于x 轴，易得：()4,0P ，()2,3A ，()2,3B -或者()4,0P -，()2,3A -，
()2,3B --，
此时6AB =.
②若直线l 不垂直于x 轴，设l ：()0y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，
将直线y kx m =+代入C 的方程得(
)2
2
23484480k
x
kmx m +++-=
故122834km x x k +=-+，2122
44834m x x k
-=+， 因为OA OB OP +=，所以012x x x =+，012y y y =+， 则02
834km
x k =-
+，()01212
26234m y y y k x x m k =+=++=+，即2286,3434km
m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
.
因为P 在椭圆上，有2
2
2286343411612
km m k k ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，化简得2234m k =+.
验证，(
)()2
2
2
2
2641634121440k m k
m
m ∆=-+-=>.
所以1228834km k x x k m -+=-=+，221222
44844834m m x x k m --==
+
所以
12AB x =-=
==因为2343k +≥，则2110343
k <
≤
+. 即()21111443
434k <+≤
+，得6AB <≤.
综上可得，弦长AB 的取值范围为6,⎡⎣.
【点睛】
本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆相交的弦的最值问题，考查数学运算能力，是中档题.
21．已知函数()ln x
x a
f x e
+=
. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；
（2）求证：()()11
1
ln 1a x
a e e f x x e
+++'⋅⋅+<. 【答案】（1）()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）把1a =代入解析式对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；
（2）原不等式转化为证明()11
11ln ln 1a a e x a x x e +++⎛⎫
--+< ⎪⎝⎭
，结合不等式的特点构造函数，结合函数性质及导数可证． 【详解】 解：
（1）当1a =时，()ln 1x x f x e
+=，()1
ln 1
x
x x f x e --'= 令()1
ln 1g x x x
=
--，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g = 所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞
（2）()1
ln x
x a x f x e --'=，()1ln x
e f x x a x
'=-- 只需证()11
11ln ln 1a a e x a x x e +++⎛⎫
--+< ⎪⎝⎭
即()()11ln 11
1ln a a x e x x ax x e
++++--<
易证()()ln 10x x x +<>成立.
记()1ln h x x x ax =--，则()ln 10h x x a '=---=令()0h x '=，得(1)a x e -+=
并且，当()
(
)10,a x e
-+∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()
()
1,a x e -+∈+∞时，
()0h x '<，()h x 单调递减
所以，()()
(
)111
11
11a a a a e h x h e
e
e
+-++++≤=+=
即()()11
1
ln 1a x
a e e f x x e +++'⋅⋅+<，命题得证．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，证明不等式，函数与导数的综合应用，属于难题．
22．在平面直角坐标系中，点P 是曲线1C ：2cos 22sin x t
y t
=⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的动点，以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将线段OP 顺时针旋转90得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C ． （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点M 的坐标为(4,)2
π
，射线:(0)6
l π
θρ=
>与曲线12C C 、分别
交于,A B 两点，求MAB △的面积．
【答案】（1）1:4sin C ρθ=；2:4cos C ρθ=（2
）6-. 【解析】（1）因为曲线1C ：2cos 22sin x t
y t
=⎧⎨
=+⎩，可得1C 的直角坐标方程为
22(2)4x y +-=，根据极坐标与直角坐标的互化公式:222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
，结合已知，即
可求得答案.
（2）由题意知点M 到射线6
π
θ=
的距离为4sin
3
d π
==由（1）知1C 的极坐标
方程为4sin ρθ=，即可求得答案. 【详解】 （1）
曲线1C ：2cos 22sin x t
y t
=⎧⎨
=+⎩
∴1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，
其极坐标方程为4sin ρθ=
设Q 点的极坐标为()ρθ，，则对应的P 点的极坐标为()2
π
ρθ+，
又
点P 在1C 上，将线段OP 顺时针旋转90得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C
∴4sin()4cos 2
π
ρθθ=+=
即2C 的极坐标方程为4cos ρθ=
（2）由题意知点M 到射线6
π
θ=
的距离为4sin
3
d π
==
由（1）知1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，
)
4(cos sin )2166
B A AB π
π
ρρ=-=-=，
∴1
62
MAB AB d =
⋅=-△S 【点睛】
本题解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
23．已知函数()(1)1()f x x a x x x a =+++-+． （1）当0a =时，求()0f x ≥的解集；
（2）若()0f x <在(),0-∞上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}
0x x ≥；（2）0a ≤.
【解析】（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．分别讨论1≥x ，01x ≤<和0x <时()0f x ≥，即可求得答案；
（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；讨论0a <和0a >时，
()0f x <在(),0-∞上是否恒成立，即可求得答案.
【详解】
（1）当0a =时，()(1)1f x x x x x =++-．
当1≥x 时，2
()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}
1x x ≥；
当01x ≤<时，()(1)(1)2f x x x x x x =++-=，此时()0f x ≥的解集为{}
01x x ≤<；
当0x <时，2
()(1)(1)2f x x x x x x =-+--=-，此时()0f x ≥的解集为∅
综上所述()0f x ≥的解集为：{}
0x x ≥
（2）由（1）可知当0a =时，在(),0x ∈-∞内()0f x <恒成立；
当0a <时，在(),0x ∈-∞内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x x a =-++--+=-+<恒成立；
当0a >时，在(),0x a ∈-内()()(1)(1)()2()0f x x a x x x a x a =++--+=+>，不满足()0f x <在(,0)-∞上恒成立的条件 综上所述0a ≤. 【点睛】
本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。