高中数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数。

（2）设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为
减函数.
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
＊二次函数: （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a
-+- 4、几种常见函数的导数
①'
C 0=；②1
'
)(-=n n nx
x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '
-=；
⑤a a a x
x ln )('
=;⑥x
x e e ='
)(； ⑦a
x x a ln 1)(log '
=
;⑧x x 1)(ln '
=
5、导数的运算法则
（1)'
'
'
()u v u v ±=±。

（2）'
'
'
()uv u v uv =+。

（3）''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠。

6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数
分数指数幂 (1
）m n
a =0,,a m n N *>∈,且1n >）.
（
2)1m n
m n
a
a
-
=
=
（0,,a m n N *
>∈，且1n >）.
根式的性质
（1）当n
a =； 当n
,0
||,0
a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.
有理指数幂的运算性质
(1）
r s
a a⋅=
（2) ()r s
a a
=
（3)()r r
ab a
=
注：若a＞0,p
指数幂都适用。

(0,1,0)
a a N
>≠>.
1
a≠,0
m>,且1
m≠,0
N>).
对数恒等式：0)。

推论log
m
n
a
b0)。

常见的函数图象
8
22
sin cos
θθ
+
9
α
π±
kα看成锐角时该函数的符号；
α
π
π±
+
2
kα看成锐角时该函数的符号。

()()
1sin2kπα
+=()()
2tan
k k
παα
+=∈Z．
()()
2sinπα
+=-)tan
παα
+=．
()()
3sin sin
α
-=-tanα
=-．
()()
4sinπα
-=)tan
αα
-=-．
口诀:
()5sin
2
π
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
cos
2
π
αα
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，cos sin
2
π
αα
⎛⎫
+=-
⎪
⎝⎭
．
10
sin()
αβ
±=
cos()sin sin
αβα
±=
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
11、二倍角公式
sin 2sin cos ααα=。

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-。

2
2tan tan 21tan α
αα
=-. 公式变形： ;
2
2cos 1sin ,2cos 1sin 2;
2
2cos 1cos ,2cos 1cos 22222α
αααα
ααα-=-=+=+=
12、 函数sin()y x ωϕ=+的图象变换
①的图象上所有点向左（右)平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y x ωϕ=A +的图象．
②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移
ϕ
ω
个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域
R R
,2x x k k ππ⎧⎫
≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当
22
x k π
π=+
()
k ∈Z 当()2x k k π
=∈Z 时，
既无最大值也无最小值
函 数
性
质
14、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a
b
=
ϕtan 15.正弦定理 ：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= 16。

余弦定理 2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-.
17。

面积定理
（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2)111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
18、三角形内角和定理
在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+
222
C A B π+⇔
=-222()C A B π⇔=-+。

19、a 与b 的数量积(或内积)
θcos ||||b a b a ⋅=⋅
20、平面向量的坐标运算
（1）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. （2）设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +。

（3）设a =),(y x ,则22y x a +=
21、两向量的夹角公式
设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ,且0≠b ,则
121
cos ||||
x a b
a b x θ⋅=
=
⋅+a =11(,)x y ，
b =22(,)x y ）.
22、向量的平行与垂直
设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，且b ≠0
b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=。

)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.
*平面向量的坐标运算
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a +b =1212(,)x x y y ++。

（2）设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --。

(3）设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。

(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.
（5）设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b =1212x x y y +。

三、数列
23、数列的通项公式与前n 项的和的关系
11
,
1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++
+)。

24、等差数列的通项公式
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈;
25、等差数列其前n 项和公式为
1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-. 26、等比数列的通项公式
1*11()n n
n a a a q q n N q
-==
⋅∈； 27、等比数列前n 项的和公式为
11
(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1
n n a a q
q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.
四、不等式
28、xy y
x ≥+2。

必须满足一正（y x ,都是正数）、二定(xy 是定值或者y x +是定值）、三相等（y x =
时等号成立）才可以使用该不等式）
(1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值
2
4
1s 。

五、解析几何
29、直线的五种方程
（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ）． (2）斜截式 y kx b =+（b 为直线l 在y 轴上的截距）。

（3)两点式
11
2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)（111(,)P x y 、222(,)P x y （12x x ≠）).
（4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)
（5）一般式 0Ax By C ++=（其中A 、B 不同时为0).
30、两条直线的平行和垂直
若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ⇔=≠；
②12121l l k k ⊥⇔=-. 31、平面两点间的距离公式
,A B
d =A 11(,)x y ，B 22(,)x y ）。

32、点到直线的距离
d =
（点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=）。

33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程 2
2
2
()()x a y b r -+-=.
(2）圆的一般方程 2
2
0x y Dx Ey F ++++=（22
4D E F +-＞0）。

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩.
* 点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =则d r >⇔点P 在圆外；d r =⇔点P 在圆上；d r <⇔点P 在圆内. 34、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：
0<∆⇔⇔>相离r d ；
0=∆⇔⇔=相切r d ；
0>∆⇔⇔<相交r d 。

弦长=222d r -
其中22B
A C
Bb Aa d +++=。

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>，2
22b c a =-，
离心率c e a ==，参数方程是cos sin x a y b θθ
=⎧⎨=⎩。

双曲线：12222=-b y a x （a 〉0,b>0)，2
22b a c =-，离心率1>=a c e ，渐近线方程是x a
b y ±=。

抛物线：px y 22
=，焦点)0,2
(
p ，准线2p
x -=.抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
（1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a
b
y ±=.
（2）若渐近线方程为x a
b
y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 。

（3）若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22
22b
y a x （0>λ,焦点在x 轴上，0<λ,
焦点在y 轴上).
37、抛物线px y 22
=的焦半径公式
抛物线2
2(0)y px p =>焦半径2
||0p
x PF +
=.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.） 38、过抛物线焦点的弦长p x x p
x p x AB ++=+++=21212
2.
六、立体几何
39.证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3)转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 40．证明直线与平面的平行的思考途径 （1)转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行; （3）转化为面面平行。

41。

证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3)转化为线面垂直。

42．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； (2）转化为线面垂直; （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直。

43．证明直线与平面垂直的思考途径 （1)转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

44．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直; 45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积=rl π2，表面积=222r rl
ππ+
圆椎侧面积=rl π,表面积=2
r rl ππ+
1
3V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高).
1
3
V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）。

球的半径是R ，则其体积343
V R π=，其表面积2
4S R π=．
46、若点A 111(,,)x y z ，点B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =
⋅=47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等,与底面垂直。

正棱锥的性质:侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数：n x x x x n ++=
21 方差:])()()[(12
22212x x x x x x n s n -+-+-=
标准差：])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -+-+-= 50、回归直线方程 (了解即可）
y a bx =+，其中()()()1122211n n
i i i i i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎨--⎪⎪
=-⎩∑∑∑∑。

经过（x ,y ）点。

51、独立性检验 )
)()()(()(22
d b c a d c b a bd ac n K ++++-=（了解即可)
52、古典概型的计算（必须要用列举法．．．、列表法．．．、树状图．．．的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗漏）
八、复数
53、复数的除法运算
2
2)()())(())((d
c i
ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a +-++=-+-+=++. 54、复数z a bi =+的模||z =||a bi +
55、复数的相等：,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈） 56、复数z a bi =+的模(或绝对值）||z =||a bi +
57、复数的四则运算法则
（1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; （2）()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; （3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++； （4）2222
()()(0)ac bd bc ad
a bi c di i c di c d c d
+-+÷+=
++≠++。

58、复数的乘法的运算律
对于任何123,,z z z C ∈,有
交换律：1221z z z z ⋅=⋅.
结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅。

分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ .
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
55、⎩⎨⎧==y x θρθρsin cos ⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=)
0(tan 2
22x x y
y x θρ 十、命题、充要条件
充要条件（记p 表示条件，q 表示结论）
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否互
逆否互为逆否
互
互逆
否
互 （1）充分条件：若p q ⇒,则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件。

（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件。

注:如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然。

56。

真值表
十一、直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理:
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

（3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线:同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a ’与b ’所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈ ；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：
(1）直线在平面内 -- 有无数个公共点
（2)直线与平面相交 -— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 -— 没有公共点
直线、平面平行的判定及其性质
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假
真
假 假
共面直线
(0,)
2π
直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.
简记为:线线平行,则线面平行。

平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

2、判断两平面平行的方法有三种：
(1）用定义；
(2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

直线、平面垂直的判定及其性质
直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面.如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α—l—β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。