2015年中考数学总复习：直角三角形与勾股定理全面版

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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理 解 析 如图，过点C作CD⊥AD于点D，
∴CD＝3 cm. 在Rt△ADC中， ∵∠CAD＝30°， ∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)． 又∵图中三角板是有45°角的三角板， ∴AB＝AC＝6 cm， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，
例2 [2013·衢州] 如图20－2，将一个有45°角的三角板 的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，另一个顶 点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所
在的直线成30°角，则三角板最大边的长为( D )
A．3 cm
B．6 cm
C．3 2 cm D．6 2 cm
图20－2
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考点聚焦归类探究回归教材考点1直角三角形的概念性质与判定直角斜边的一半斜边的一半第20课时直角三角形与勾股定理考点2勾股定理及逆定理考点聚焦归类探究回归教材第20课时直角三角形与勾股定理考点3命题定义定理公理考点聚焦归类探究回归教材真命题假命题条件结论基本事实公理证明定理第20课时直角三角形与勾股定理考点4互逆命题互逆定理及其关系考点聚焦归类探究回归教材原命题逆命题逆定理命题角度
S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为Sn.设第一个正方形的边长为1.
图20－6
请 (1)解S1答＝下__1列_＋_问__题_8_3：； (_2_)_(通1__＋过__探_8_究3)，·(用34)含n－n1的(n代为_数_正_式__表整__示.数Sn)，则Sn＝
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
探究四 勾股定理逆定理的应用 命题角度： 勾股定理逆定理的应用．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
例4 [2014·滨州] 下列四组线段中，可以构成直角三角 形的是( B )
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1， 2，3
真命题 假命题 条件 结论
基本事实(公理)
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定理
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证明
第20课时┃ 直角三角形与勾股定理 考点4 互逆命题、互逆定理及其关系
原命题 逆定理
逆命题
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
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探究一 直角三角形的性质
命题角度： 1．直角三角形两锐角互余； 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
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勾股定理与面积问题 教材母题——人教版八下P29T13 如图20－4，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画 半圆．求证：所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中 阴影部分)等于Rt△ACD的面积．
图20－4
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
证明： 因为AC2＋CD2＝AD2， 所以12π (A2C)2＋12π (C2D)2＝12π (A2D)2，故以AC为直径的半 圆的面积＋以DC为直径的半圆的面积＝以AD为直径的半圆的 面积． 即S半圆AEC＋S半圆DCF＝S半圆ACD， ∴S半圆AEC＋S半圆DCF－S弓形AGC－S弓形DHC＝S半圆ACD－S弓形AGC－S ， 弓形DHC 故两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和(图中阴影部分) 等于Rt△ACD的面积．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
[点析]若将半圆换成等边三角形、等腰直角三角形、正方形 或任意的相似三角形，仍有类似结论成立．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
中考预测 1．如图20－5是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B， C，D的面积分别为3，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ___1_1____．
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动， 日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青 蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生 路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，
D项，12＋( 2 )2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故本选 项错误.
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
方法点析 判断三个正数能不能构成直角三角形的三边长的主要方法是 看两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
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只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
解 析 ∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，∴CD ＝12AB＝12×10＝5(cm)．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
探究二 利用勾股定理进行计算 命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
图20－3
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
解 析 将杯子侧面展开，建立点A关于EF的对称点A′，根据两点 之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 如图：
A′B＝ A′D2＋BD2＝ 122＋162＝20(cm)．
方法点析
在求几何体表面上两点之间的最短距离时，一般先把立体图 形展开成平面图形，然后再利用勾股定理求出几何体表面上 两点之间的距离．
图20－5
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
解 析 根据勾股定理的几何意义，可得正方形A，B的面积 和为S1，正方形C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，于是S3＝S1 ＋S2，即S3＝3＋5＋1＋2＝11.
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
2．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人 文价值．图20－6是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树， 树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
例 1 [2014·泉州] 如图 20－1，Rt△ABC 中，∠ACB＝90 °，D 为斜边 AB 的中点，AB＝10 cm，则 CD 的长为 ____5____cm.
图 20－1
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
例3 [2014·凉山州] 如图20－3，圆柱形容器高为18 cm，底 面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此 时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为____2_0___cm.
∴BC＝6 2 cm.
故选D.
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
方法点析 勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边长求第三边长； (2)已知直角三角形的一边长求另两边长的关系；(3)用于证明 平方关系的问题．
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
探究三 利用勾股定理解决生活中的实际问题 命题角度： 1．求有关的长度问题； 2．求最短路线问题．
第20课时 直角三角形与勾股定理
第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
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考点1 直角三角形的概念、性质与判定 直角
斜边的一半 斜边的一半
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理 考点2 勾股定理及逆定理
a2＋b2＝c2
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理 考点3 命题、定义、定理、公理
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第20课时┃ 直角三角形与勾股定理
解析
由勾股定理的逆定理，可知只要验证两小边的平方和
是否等于最长边的平方即可．
A项，42＋52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项
错误．
B项，1.52＋22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故本
选项正确．
C项，22＋32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项 错误．