平行四边形法则

a
0
a与a反向，| a|| | | a|
a 2a
1 a 2
[2]. 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
定理 设向量 a 0，那末向量 b与 a共线
存在唯一的实数
，使
b
a.
证 充分性显然；
按照向量与数的乘积的规定，
a | a| a0
|
a a
|
a0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
四、共线或共面的矢量
1.定义：把一组矢量平行移到同一个起点后，如果
它们在同一条直线或同一个平面上，这组矢量就叫
做共线的矢量或共面的矢量。 2.两个矢量的夹角:把两个矢量
a 和
b
移到同一个起
点时,所夹的不超过 的角,叫做这两个矢量的夹角。
3设一.定为 个理矢a1量： ，如 不bb果 是可已 零以知矢表a两量示个，为矢那数量么共存与线在矢，一量且个a其 数的中乘，一积使个，得不即另妨
推论：两个矢量 a与b共线的充要条件时存在不同
时为零的数a和b使 得 它0 们的线性组合
5.推论:3个矢量
a,
b,
c共面的充要条件是存在不同时为零
的数, ,，使得它们的线性组合
a
b
c
0
证： 设a,b, c共面，若它们之中任意两个互相共线， 则上式显然成立。如果由两个矢量，不妨设为a和b
不互相共线，则由定理2，存在kl，使得
c
ka
lb，令＝k,
l,
1, 则上式成立。
设，，不同时为零，不妨设 0，上式成立，
证： 设a与b有共线，若都是零矢量则显然成立。
如果其中有一个，不妨设a
0,由定理，k,
使得
b
ka.令＝k
,
1即可。
设不同时为零的数，，设 0，使得
a
b
0
0,两边除以，得
b
(
)a
知a与b共线。
4量第.定（三理不个2妨 矢：设 量如为c果可a矢,表b量示）a为不,b共c,c线共，a面那，么b且存。其在中两至个少数有,两 个使矢得
a
c
|
c||
a|
|
b|
c
|
c|
|
a|
|
b|
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c).
（3）
a
(a)
0.
进一步： 任意有限个向量加法的法则
将已知向量平移，使得后一个向量的起点 与前一个向量的终点重合，则以第一个向量的 起点为起点，最后一个向量的终点为终点构成 的向量为它们的和向量。若正好封闭，则和向 量是零向量。
必要性
设
b‖
a
取
b a ,
当
b
与
a同向时
取正值，
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
的唯一性.
a同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
设a0表示与非零向量a同方向的单位向量，
相等矢量：大小相等且方向相同的矢量.
a
b
负矢量：大小相等但方向相反的向矢量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的矢量. OM
二、向量的加减法
[1].
加法：
a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a与b共线.
a‖
b
分为同向和反向
a b b
2.1矢量的概念与矢量的线性运 算
一、矢量的概念
M2
矢量：既有大小又有方向的量.
矢量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点, M2为终点的有向线段.
矢量的模： 矢量的大小. | a| 或 | M1M2|
单位矢量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
或ea
零向量：模长为0的向量. 0
自由矢量：不考虑起点位置的矢量.
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
作业：P2728 2,11.
谢谢观看！ 2020
移项，两边除以，得
c
(
)a
(
)b
知a,
b,
c共面。
证毕。
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解:原式
(1 3)a
2a
5
Fra Baidu bibliotek.
1
5 2
1 5
5
b
2
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四 边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
[2]
减法
a
b
a
(b)
b
a
a
b
a
b
a
b
b
c
a
b
c
a
(b)
a
b
两个向量的和与差，实际是以已知两向量 为两相邻边的平行四边形的两条对角线的长。
三、矢量与数的乘法
[1]. 定义
设 是一个数，向量a与 的乘积a 规定为
(1) 0, (2) 0, (3) 0,
a与a同向，| a| | a|