全等三角形几种类型(总结)

全等三角形与角平分线
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图，两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌"表示全等，读作“全等于”．
A'
B'C'
D'
E'
E
D
C
B
A
全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法:
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3）有公共边的,公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． （5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：
（1) 边角边定理(SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． （3) 边边边定理（SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．
（4） 角角边定理(AAS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理（HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
判定三角形全等的基本思路：
SAS HL SSS →⎧⎪
→⎨⎪→⎩
找夹角已知两边 找直角 找另一边
ASA AAS SAS AAS ⎧⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA
AAS →⎧⎨→⎩
找两角的夹边已知两角 找任意一边
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
由全等可得到的相关定理：
⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．
⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形，
3．OA OB
，这种对称的图形应用得也较为普遍，
A
B
O
P P
O
B
A A
B
O P
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
板块一、全等三角形的认识与性质
【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，
若12∠=∠,则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
2
1E O
D
C
B
A
【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三
角形?请一一找出来,并简述全等的理由．
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】 （2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求
证:AF BD =．
F
E
D
C
B
A
【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =,AC BD =，求证:C D ∠=∠．
例题精讲
F
A
E P D
C
B
O
D
C
B
A
【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证:OA OD =．
A
B
C
D
O
【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试）已知：如图，B 、E 、F 、
C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =,B C ∠=∠．求证：OA O
D =．
F E O
D
C
B A
【例5】 已知，如图,AB AC =，CE AB ⊥,BF AC ⊥，求证：BF CE =．
F E C
B
A
【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．
P
F
E
D
C
B
A
【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥,GE EF =．求证：
BG CF BC +=．
G
A B
C D
E
F
【例7】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点．求证:AM CD ⊥．
M E
D
C B A
板块三、截长补短类
【例1】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作60DMN ∠=︒，
射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
N
E
B M A D
【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于
点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
N
C
D
E
B M A
【例2】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB
的长为 （ )
A 。

a
B . k
C .
2
k h
+ D 。

h
M
D
C
B
A
【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE 。

求证：BE +DF =AE 。

F
E
D
C
B
A
【例4】 如图所示,ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形,以D 为顶点作
一个60的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
N
M D
C
B
A
【例5】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
C
E
D
B A
板块四、与角平分线有关的全等问题 【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，
且3OD =,求ABC ∆的面积．
【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠,BD CD =，求证：AB AC =．
【例3】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．
E
D C
B A
【例4】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、
CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
O
E
D C
B
A
【例5】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证:ED EB =．
A
D
O
C B
D C B
A
E D
C B A
4
32
1
【例6】 (“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD 中,AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED
交AB 于F ,则EF =__________．
F
E
D
C
B
A
【例7】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上．
DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB
F
A C
D E B
【巩固】如图,在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，
交AB 于点G ，若BG CF =，求证:AD 为BAC ∠的角平分线．
F G
E D
C
B
A
【巩固】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．
C
D B P
A
【例8】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．
D
C B A
【例9】 如图所示,在ABC ∆中,AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且
交AD 的延长线于F ，求证()1
2
MF AC AB =-．
M
F
D C
B A
【巩固】如图所示，AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证
DE AB ∥ 且1
()2
DE AB AC =+．
E D
C
B A
【巩固】如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =,CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．
D C
B
A
【例10】 如图，ABC ∆中，AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ,AE CE
⊥于E ．求证：AD AE =．
H
G D A
B C E
【巩固】已知:AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥,CE BE ⊥，求证：
⑴ DE AB ∥；⑵ ()1
2
DE AB BC CA =++．
E
B
A D C
【例11】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，
AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥,()1
2
MN AB AC BC =++
F
E
N M C
B
A
【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线,AM BM ⊥，AN CN
⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1
2
MN AB AC BC =+-
N M
C
B
A
【巩固】（北京市中考模拟题)如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作E AB CE 于⊥,并且
)(2
1
AD AB AE +=
，则ADC ABC ∠+∠等于多少？
E
D
C
B
A
【例12】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．
① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．
E
D
C
B A
版块一、倍长中线
【例1】 已知：ABC ∆中,AM 是中线．求证：1
()2
AM AB AC <+．
M
C
B A
【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围
是什么？
【例2】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．
D
C
B
A
【例3】 如图，已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，
AF EF =,求证：AC BE =．
F
E
D
C B
A
【例4】 已知△ABC ,∠B =∠C ,D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ,连接DE 交底BC
于G ,求证GD =GE ．
G
E
D
C
B
A
【例5】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：
BE CF EF +>．
M
F
E
C
B
A
【例6】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且
ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，
该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
F E
D
C
B
A
【巩固】如图所示,在ABC ∆中，D 是BC 的中点,DM 垂直于DN ,如果2222BM CN DM DN +=+,求证
()2221
4
AD AB AC =+．
N
M
D
C
B
A
【例7】 （2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中,F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别
在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
版块二、中位线的应用
【例8】 AD 是ABC ∆的中线,F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1
3
AE AC =．
F
A
D
E C
B
【例9】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =,E 为AB 的中点，连接CE 、
CD ，求证2CD EC =．
E
C
B A
【巩固】已知△ABC 中,AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求
证CD =2CE
E D
B C
A
【例10】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF
交BD 于N ,AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．
N
M G
F
E
D
C
B
A
【例11】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒,1
2
AC BC =
,以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，
求证：AE EB ⊥且AE BE =．
E
D
C
B
A
【例12】 如图,在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠,F 为CD 的中点．求证：
BF EF =．
E
D
F
C
B
A
【例13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示,P 是ABC ∆内的一点，
PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点,求证DM DL =．
L
P
M
D C
B
A
【例14】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点,分别延长CA 、CB 到点E 、
F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证: （1） DEM FDN ∆∆≌； （2） PAE PBF ∠=∠．
M
A
D
E
P
F
E
【习题1】如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．
D
C B
A
【习题2】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠
MDN =60°,求证MN =MB +NC ．
家庭作业
N
M D
C
B
【习题3】在ABC △中,3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证:AD DE =．
C E
D
B A
【习题4】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．
D
C B A
【习题5】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =,D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，
且AE AF =． 求证：EDB FDC ∠=∠．
D
F
E
C
B
【习题6】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点，且BE AC =,延长BE 交AC
于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？
F
E
D C
B
A
【习题7】如右下图,在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．。