高一物理必修2期末复习知识典型例题加习题外加公式大全

人教版高中物理高一必修2公式大全
1．曲线运动基本规律 ①条件：v 0与合F 不共线 ②速度方向：切线方向
③弯曲方向：总是从v 0的方向转向合F 的方向
3．绳拉船问题
①对与倾斜绳子相连的“物体”运动分解 ②合运动：“物体”实际的运动
4．自由落体运动
①末速度：gh gt v t 2== ②下落高度：22
1gt h =
③下落时间：g
h t 2=
5．竖直下抛运动
①末速度：gt v v t +=0 ②下落高度：202
1gt t v h +=
6．竖直上抛运动
①末速度：gt v v t -=0 ②下落高度：202
1gt t v h -=
③上升时间：g
v t 0
=上 ④总时间：g
v t 0
2=
⑤最大高度：g
v H 220
=
7．平抛运动
②合速度：222
0t g v v t +=
③速度方向：0
tan v gt
=
α 2．船渡河问题
时间最短：α=90°，船v L t =
路程最短：船
水
v v =
αcos ，s=L ③两个分运动 绳子伸缩 绳子摆动 ①分速度
v v x =gt
v y =
⑤位移方向：0
2tan v gt
=
β ⑥飞行时间：g
h t 2=，与v 0无关
8．斜抛运动
③飞行时间：g
v t θsin 20=
④射程：g v X θ
2sin 20=
⑤射高：g
v Y 2θ
sin 220=
————————————————————— 9．线速度：T
r t
s v ⋅==π2
10．角速度：T
t πϕ
ω2==
11．线速度与角速度的关系：ωr v = 12．周期与频率的关系：f T 1=
13．转速与频率的关系：f n 60= 14．向心力：
22222
244f mr T
mr mr r v m F ππω⋅=⋅===向
15．向心加速度：
r f T
r r r v a 2222
2244ππω====向
16．竖直平面内圆周运动最高点的临界速度：
gr v =
17．方程格式：所需的向心力实际力向==F —————————————————————
18．开普勒第三定律：k T
a =23
19．万有引力定律：221r
m
m G F =，G=6.67×10-11
20．中心天体质量：2
3
24GT
r M π= ①分速度
θ
cos 0v v x =gt
-θsin 0v v y =④分位移
t v x 0=2
21gt y =②分位移
t
v x ⋅=θcos 02
021θsin gt t v y -⋅=
21．中心天体密度：
)( 33423为近地卫星周期T GT ππR M
ρ==
22．卫星的运行速度：r
GM v = 23．地球表面的重力加速度：2
R
GM g = 24．第一宇宙速度(环绕速度)：km/s 9.71==Rg v 第二宇宙速度(脱离速度)：11.2km/s
第三宇宙速度(逃逸速度)：16.7km/s
————————————————————— 25．功的计算：αcos Fs W = 26．变力做功的计算：
①摩擦力做功：W f = f s ，s 为路程
②图像法：F-s 图象围的“面积”代表功 ③功能关系：间接计算功 27．动能：22
1mv E k =
28．重力势能：mgh E p = 29．弹性势能：22
1kx E p =
30．重力做功的特点：
只与高度有关，p G E W ∆-=
31．动能定理：21222
121mv mv E W k -=∆=总
32．机械能守恒定律：
2
222112
121mv mgh mv mgh +=+
33．功率：αcos Fv t
W P ==
34．交通工具行驶的最大速度：m fv P =→f
P
m v =
高中物理必修2期末总复习
考试重点内容：曲线运动、万有引力、功和能
（一）曲线运动、万有引力
知识结构
1. 曲线运动一定是变速运动！速度沿轨迹切线方向(fangxiang)，加速度方向(fangxiang)沿合外力方向——指向轨道内侧。

物体做曲线运动的条件是合外力与速度不在一条直线上。

2. 曲线运动的研究方法：矢量合成与分解法，切线方向的分力ΣFt只改变质点的运动速率大小；法线方向的分力ΣFn只改变质点运动的方向。

3. 运动的合成和分解：速度、位移、加速度等都是矢量，都可以根据需要和实际情况，用平行四边形定则合成和分解。

两个匀速直线运动的合成，两个初速度为0的匀变速运动的合成一定是直线运动。

两个直线运动的合成不一定是直线运动。

4.平抛运动：加速度：a＝g，方向竖直向下，与质量无关，与初速度大小无关；
速度：vx＝v0，vy＝gt，vt＝（v02+vy2）1/2，方向与水平方向成θ角，tgθ＝gt/v0；
位移：x＝v0t，y＝gt2/2，s＝（x2+y2）1/2，方向与水平方向成ɑ角，tgɑ＝y/x.
轨迹方程：y＝gx2/2v02为抛物线。

在空中飞行时间：t＝（2h/g）1/2，
与质量和初速度大小无关，只由高度决定。

水平最大射程：x＝v0t＝v0（2h/g）1/2
由初速度和高度决定，与质量无关。

曲线运动的位移、速度、加速度都不在同一方向上。

5. 匀速圆周运动：
1）周期T、质点运动一周所用的时间。

是描述质点转动快慢的物理量。

2）线速度v、质点通过的弧长Δs与所用时间Δt之比为一定值，该比值是匀速圆周运动的速率v＝Δs/Δt，数值上等于质点在单位时间内通过的弧长。

线速度的方向在圆周的切线方向上。

线速度是描述质点转动快慢和方向的物理量。

3）角速度ω、连接质点与圆心的半径转过的角度Δφ与所用时间Δt之比为一定值，该比值是匀速圆周运动的角速度ω＝Δφ/Δt，数值上等于在单位时间内半径转过的角度。

单位是弧度/秒（rad/s），角速度也是描述质点转动快慢的物理量
周期、线速度、角速度之间有的关系：
质点转一周弧长s＝2πr，时间为T，则v＝2πr/T
角度为2πω＝2π/T
由上两公式有v＝ωr，ω＝v/r
圆周运动是曲线运动，它的速度方向时刻在变化着，匀速圆周运动一定是变速运动，“匀速”仅是速率不变的意思。

4）匀速圆周运动的加速度a、加速度的方向指向圆心——向心加速度，其方向时时刻刻指向圆心，即方向时时刻刻在变化着，所以匀速圆周运动是变加速运动。

向心加速度的大小：an＝v2/r＝ω2r。

5）向心力F＝ma＝mv2/r，或F＝ma＝mω2r ，方向总指向圆心。

向心力是根据力的作用效果命名的。

（二）. 万有引力与天体、卫星的轨道运动
1.万有引力定律：宇宙间任何两个有质量的物体间都是相互吸引的，引力大小与两物体的质量的乘积成正比，与它们的距离的平方成反比。

设物体质量分别为m1、m2，物体之间距离为r，则F＝Gm1m2/r2
万有引力定律在天文学上的应用——天体质量及运动分析，宇宙速度与卫星轨道运动问题分析依据：万有引力定律、牛顿运动定律、F＝mv2/r、匀速圆周运动规律；常用近似条件：将有关轨道运动看作匀速圆周运动，引力F＝mg＝mv2/r（g随高度、纬度等因素变化而变化）。

2. 宇宙速度：
（1）线速度：设卫星到地心的距离为r，r就是卫星轨道半径，环绕线速度为v，卫星质量为m。

设地球质量为M，地球半径为R.
根据万有引力定律和牛顿运动定律有GMm/r2＝mv2/r
由此得到环绕速度v＝（GM/r）1/2
对所有地球卫星，环绕速度由轨道半径决定，与卫星质量，性能因素无关。

r＝R+h，h为卫星距地面的高度，r（h）越大，环绕速度越小。

（2）角速度：由ω＝v/r
有ω＝（GM/r3）1/2
（3）周期：由ω＝2π/T
得T＝2π（r3/ GM）1/2
角速度和周期均由轨道半径决定，半径越大，角速度越小，周期越长。

宇宙速度：
第一宇宙速度：由环绕速度公式v＝（GM/r）1/2
r＝R+h，当高度h远远小于地球半径时，即卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动。

近似有v＝（GM/R）1/2
这是地球卫星的最大环绕速度。

又在地球表面附近，地球对卫星的引力近似等于重力mg
mg＝mv2/R可得
v＝（gR）1/2
把g＝9.8×10－3km/s2和R＝6.4x103km代入上公式，得到v＝7.9km/s，这是地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的环绕速度，是最大的环绕速度，也是使一个物体成为人造地球卫星所必须的最小发射速度.我们称之为第一宇宙速度。

VI＝7.9km/s
第二宇宙速度：当发射速度小于第一宇宙速度时，物体将落回地面；当发射速度大于v＝7.9km/s，卫星将在不同圆轨道或椭圆轨道运动。

当发生速度大于等于11.2km/s时，物体将挣脱地球引力束缚，成为人造行星或飞向其它行星。

所以11.2km/s为第二宇宙速度。

VII＝11.2km/s
第三宇宙速度：当物体的速度达到16.7km/s时，物体将挣脱太阳引力的束缚飞向太阳系以外的宇宙空间，16.7km/s为第三宇宙速度。

VIII＝16.7km/s
（三）能量和能量守恒
知识结构
功是一个过程量，与力在空间的作用过程相关。

恒力功的计算公式与物体运动过程无关；重力功、弹力功与路径无关。

功是一个标量，但有正负之分。

2. 功率P：功率是表征力做功快慢的物理量、是标量：P＝W/t 。

若做功快慢程度不同，上式为平均功率。

注意恒力的功率不一定恒定，如初速为零的匀加速运动，第一秒、第二秒、第三秒……内合力的平均功率之比为1：3：5……。

已知功率可以求力在一段时间内所做的功W＝Pt，这时可能是变力再做功。

上式常常用于分析解决机车牵引功率问题，常设有以下两种约束条件：
1）发动机功率一定：牵引力与速度成反比，只要速度改变，牵引力F＝P/v将改变，这时的运动一定是变加速运动。

2）机车以恒力启动：牵引力F恒定，由P＝Fv可知，若车做匀加速运动，则功率P将增加，这种过程直到P达到机车的额定功率为止（注意不是达到最大速度为止）。

3. 能：自然界有多种运动形式，与不同运动形式相应的存在不同形式的能量：机械运动－－机械能；热运动－－内能；电磁运动－－电磁能；化学运动－－化学能；生物运动－－生物能；原子及原子核运动－－原子能、核能……。

动能：物体由于有机械运动速度而具有的能量Ek＝mv2/2
能，包括动能和势能，都是标量。

都是状态量，如动能由速度决定，重力势能由高度决定，弹性势能由形变状态决定。

都具有相对性，物体速度相对于不同的参照物有不同的结果，相应的动能相对于不同的参照物有不同的动能。

势能相对于不同的零势能参考面有不同的结果，势能有可能取负值，它意味着此时物体的势能比零势能低。

4. 动能定理：研究对象：质点，数学表达公式：W＝mv2/2－mv02/2。

公式中W为质点受到的所有的
作用力在所研究的过程中做的总功，它可以是恒力功，可以是变力功，可以是分阶段由不同的力做功累积（代数和）而得到的结果。

动能定理对力的性质没有任何限制，可以是重力、弹力、摩擦力、也可以是电场力、磁场力或其它力。

等式右边为所研究的过程（初、末状态）中质点的动能的变化。

动能定理表明，力对物体所做的总功，是物体动能变化的原因，力对物体所做的总功量度了物体动能的变化大小。

5. 机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

机械能守恒定律的研究对象是系统，一般简化为物体；守恒是指系统在满足守恒条件下，机械能－－动能和势能之和，在状态变化过程中总保持不变。

怎样判断机械能是否守衡？
（1）根据守恒条件：是否只有重力或弹力做功
（2）考察系统是否发生机械能与其它形式的能量的转化
（3）考察状态：比较、确定不同状态的机械能，看它们是否相同 6. 功和能：功是能量转化的量度。

7. 关于速度、动能：速度、动能均为描述质点运动状态的物理量，速度反映质点运动快慢和方向，是运动学量，是矢量；动能是描述质点由于运动而
典型例题：
1、过河问题
例1．小船在200m 的河中横渡，水流速度为2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，求： 1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？ 2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？
解： 如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：
①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v ⊥决定，即
⊥=
v d
t ，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用
时间最短，最短时间为
2v d
t =
也与v1无关。

②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d ； 2、连带运动问题
指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。

由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。

例2 如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos α，两者应该相等，所以有v1∶v2=cos α∶1
3、平抛运动
例3平抛小球的闪光照片如图。

已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔T ，求：v0、g 、vc
v 2
v 1
v 1 甲
乙
α v 1
v 2
A
B
C
D
E
解析：水平方向：
T a
v 20=
竖直方向：2
2,T a g gT s =∴=∆
先求C 点的水平分速度vx 和竖直分速度vy ，再求合速度vC ：
41
2,25,20T
a
v T a v T a v v c y x =∴==
=
（2）临界问题
典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？
例4 已知网高H ，半场长L ，扣球点高h ，扣球点离网水平距离s 、求：水平扣球速度v 的取值范围。

解析：假设运动员用速度vmax 扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin 扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：
()h g
s L g h s L v 2)(2/
max +=+=；
)(2)(2/
min H h g
s g H h s v -=-=
实际扣球速度应在这两个值之间。

4、圆周运动
例5如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

解析：va= vc ，而vb ∶vc ∶vd =1∶2∶4，所以va ∶ vb ∶vc ∶vd =2∶1∶2∶4；ωa ∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=v ω，可得aa ∶ab ∶ac ∶ad=4∶1∶2∶4
点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。

例6 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系。

（小球的半径远小于R 。

）
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F 是重力G 和支持力N 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。

如图所示有：
2
2
sin sin tan θωθθmR R mv mg ==，
h
H s L
v
a
b
c
d
N
F
θ
由此可得：
g h
g R T gR v πθπ
θθ2cos 2,sin tan ===，
（式中h 为小球轨道平面到球心的高度）。

可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v 越大，T 越小。

点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。

共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

例7：长m l 5.0=，质量可忽略不计的杆，其下端固定于O 点，上端连接着质量kg m 2=的小球A ，A 绕O 点做圆周运动，如图所示，在A 点通过最高点时，求在下面两种情
况下，杆的受力：
⑴ A 的速率为1m/s; ⑵ A 的速率为4m/s ；
解析：对A 点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图所示，则有
N F mg F -=向则
l v m mg F N 2
-=分别带入数字则有 ⑴FN =16N
⑵FN = -44N 负号表示小球受力方向与原假设方向相反
例8 质量为M 的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是V ，当小球以3V 速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？
解析：对A 点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有
N
F mg F +=向
则mg
l v m F N -=2
解得FN = 8mg
例9 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
解析：要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O ．
对于B ，T=mg
对于A ，21ωMr f T =+
22
ωMr f T =-
5.61=ωrad/s 9.22=ωrad/s
mg O
图11
F N
所以 2.9 rad/s 5.6≤≤ωrad/s
5万有引力及天体运动：
例10 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，万有引力恒量为G ，可以用下式估计地球的平均密度是 （ ）
A ．RG 4g 3π
B ．G R 4g 32π
C ．RG g
D ．G R g 2
解析 在地球表面的物体所受的重力为mg ，在不考虑地球自转的影响时即等于它受到的地球的引力，
即：
mg
R
Mm G
2
= ①
密度公式
V M =
ρ ② 地球体积 3
R 34
V π=
③
由①②③式解得
RG 4g
3π=
ρ，选项A 正确。

点评 本题用到了“平均密度”这个概念，它表示把一个多种物质混合而成的物体看成是由“同种物
质”组成的，用
V M
=
ρ求其“密度”。

例11 “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度
h=342km 的圆形轨道。

已知地球半径R=6.37×103km ，地面处的重力加速度g=10m/s2。

试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T 的公式（用h 、R 、g 表示），然后计算周期T 的数值（保留两位有效数字）。

解析 因万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
)
h R (T
4m
)
h R (Mm G
2
22
+π=+① 又
g
'm R
'Mm G
2
=②
由①②得：
g h
R R )h R (2T ++π=
代入数据解得：T=5421s
例12 地球同步卫星离地心距离为r ，环绕速度大小为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地
球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R ，则下列关系式正确的是 （ ）
A ．
R r a a 21= B ．
2
21)(R
r a a =
C ．R
r v v 21=
D ． r R
v v 21
=
解析 在赤道上的物体的向心加速度a2≠g ，因为物体不仅受到万有引力，而且受到地面对物体的支持力；随地球一起自转的物体不是地球卫星，它和地球同步卫星有相同的角速度；速度v1和v2均为卫星速度，应按卫星速度公式寻找关系。

设地球质量为M ，同步卫星质量为m ，地球自转的角速度为ω，则
对同步卫星r a 21ω= 赤道上的物体
R a 2
2ω=
所以R r a a 21= 对同步卫星r v m r
GMm
212= 所以
r GM
v 1=
第一宇宙速度
R GM v 2=
所以r R v v 21=
故答案为AD 。

例13 某物体在地面上受到的重力为160N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度
g
21a =
随火箭向上
加速度上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R=6.4×103km ，g 取10m/s2）
解析 设此时火箭上升到离地球表面的高度为h ，火箭上物体受到的支持力为FN ，物体受到的重力为
mg ’，据牛顿第二定律m a 'm g F N =-
①
在h 高处
2)h R (Mm G
'mg +=
② 在地球表面处
2R Mm G
mg = ③
②③代入①
ma
)
R h (mgR F 2
2N =+-
∴
)
km (1092.11ma
F mg
R
h 4N )
(
⨯=--=
6功和功率
例14. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等)
练习.如图所示，半径为R 的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的动摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A 到B 和从B 到A 的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是（ ） A ．W1＞W2 B ．W1＝W2 C ． W3＝ 0 D ． W3＝W1＋W2
例15.质量为2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。

若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h 时的瞬时加速度是多大？
练习.下列关于汽车运动的论述，不正确的是( )
A.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度、加速度均逐渐增大
B.汽车以额定功率启动后做变加速运动，速度逐渐增大；加速度逐渐减小，加速度为0时，速度最大
C.汽车匀速行驶时最大允许速度受发动机额定功率限制，要提高最大允许速度，必须增大发动机的额定功率
7功能关系
例题16如图1所示，轻绳下悬挂一小球，在小球沿水平面作半径为R 的匀速圆周运动
转过半圈的过程中，下列关于绳对小球做功情况的叙述中正确的是（ ）
A. 绳对小球没有力的作用，所以绳对小球没做功；
B. 绳对小球有拉力作用,但小球没发生位移，所以绳对小球没做功；
C. 绳对小球有沿绳方向的拉力，小球在转过半圈的过程中的位移为水平方向的2R ，
所以绳对小球做了功；
D. 以上说法均不对.
例题17把两个大小相同的实心铝球和实心铁球放在同一水平面上，它们的重力势能分别为1E 和2E ．若把它们移至另一个较低的水平面上时，它们的重力势能减少量分别为1E ∆和2E ∆则必有（ ）
Ａ.1E ＜2E Ｂ.1E ＞2E
Ｃ.1E ∆＜2E ∆ Ｄ.1E ∆＞2E ∆
【分析与解】如果重力势能的零势面比两球所处的水平面较低，则显然由于铁的密度较大，同体积的铁球质量较大而使1E ＜2E ；但如就取两球心所在的水平面为重力势能零势面，则又有1E ＝2E ＝0；当然若两球所在的水平面在重力势能的零势面下方，甚至可以有2E ＜1E ＜0.考虑到重力势能的“相对性”，选项Ａ、Ｂ均不应选.
但无论重力势能的零势面如何选取，在两球下降相同高度的过程中，质量较大的铁球所减少的重力势能都是较多的，所以此例应选择Ｃ.
例题18如图2所示，质量分别为m 、m 2的小球A 、B 分别固定在长为L 的轻
杆两端，轻杆可绕过中点的水平轴在竖直平面内无摩擦转动，当杆处于水平时静
止释放，直至杆转到竖直位置的过程中，杆对小球A 所做的功为 .杆对小球B 所做的功为 ．
【分析与解】在此过程中由于A 、B 构成的系统的机械能守恒，因此系统减
少的重力势能应与系统增加的动能相等．即
22)2(2
1212)2(2v m mv L m L mg
+=+- 由此解得A 、B 两球转到杆处于竖直位置时的速度大小为 gL v 31= 而在此过程中A 、B 两球的机械能的增加量分别为
mgL mv L mg E 3
221221=+=∆ mgL mv L mg
E 322212222-=+-=∆ 所以，此过程中轻杆对Ａ、Ｂ两小球所做的功分别为
mgL E W 3
211=∆= 图1
A B O 图2
mgL E W 3
222-=∆=
例题19一个竖直放置的光滑圆环，半径为R ，c 、e 、b 、d 分别
是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图3
所示．一个小球从与d 点高度相等的a 点从斜轨上无初速下滑．试求：
(1)过b 点时，对轨道的压力b N 多大？
(2)小球能否过d 点，如能，在d 点对轨道压力d N 多大？如不
能，小球于何处离开圆环？
【分析与解】小球在运动的全过程中，始终只受重力G 和轨道的弹力N ．其中，G 是恒力，而N 是大小和方向都可以变化的变
力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻
所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．
从小球到达圆环最低点b 开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心O 点，此向心力由小球的重力与弹力提供．（1）因为小球从a 到b 机械能守恒b a E E =，所以
22
1b a mv mgh = ① R h a 2= ②
R
v m G N b b 2=- ③ 解①②③得 mg N b 5=
（2）小球如能沿圆环内壁滑动到d 点，表明小球在d 点仍在做圆周运动，则R
v m G N d d 2=+，可见，G 是恒量，随着d v 的减小d N 减小；当d N 已经减小到零（表示小球刚能到达d ）点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时，小球的速度是能过d 点的最小速度．如小球速度低于这个速度就不可能沿圆环到达d 点．这就表明小球如能到达d 点，其机械能至少应是22
1d a d mv mgh E +
=，但是小球在a 点出发的机械能仅有d a a mgh mgh E ==＜d E 因此小球不可能到达d 点． 又由于a c h h 2
1=
，d a E E = 即221c c a mv mgh mgh += 因此，c v ＞0，小球从b 到c 点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一定是在c 、d 之间的某点s 离开圆环的．设半径Os 与竖直方向夹α角，则由图可见，小球高度
R h s )cos 1(α+= ④
图3
根据机械能守恒定律，小球到达s 点的速度s v 应符合： 22
1s s a mv mgh mgh += ⑤ 小球从s 点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由
重力G 沿半径方向的分力提供向心力，即
R v m mg s 2cos =α ⑥ 解④⑤⑥得 R h s 3
5=
故小球经过圆环最低点b 时，对环的压力为mg 5．小球到达高度为35R 的s 点开始脱离圆环，做斜上抛运动．【说明】 1．小球过竖直圆环最高点d 的最小速度称为“临界速度”0v ．0v 的大小可以由重力全部提供向心力求得，即小球到达d 点，当d v ＞0v 时，小球能过d 点，且对环有压力；当d v =0v 时，小球刚能过d 点，且对环无压力；当d v ＜0v 时，小球到不了d 点就会离开圆环．
2．小球从s 点开始做斜上抛运动，其最大高度低于d 点，这可证明．
s h
图4。