(仅供参考)第3章扭转作业参考解答

第3章作业参考解答
3-1 试作附图中各圆杆的扭矩图。

习题3-1附图
解答 各杆的轴力图分别见解答附图(a)、(b)、(c)、(d)。

3-2 一传动轴以每分钟200转的角速度转动，轴上装有4个轮子，如附图，主动轮2输入功率60kW ，从动轮1，3，4依次输出功率15kW ，15kW 和30kW 。

（1）作轴的扭矩图。

（2）将2，3轮的位置对调，扭矩图有何变化？ 解答 (1)各轮上作用的力偶矩为
m kN T ×=´´´=716.0200
260
101531p
m kN T ×=´´´=865.2200260106032p ，
m kN T ×=´´´=716.0200
260101533p
m kN T ×=´´´=432.1200
260103034p
扭矩图见附图(a)，最大扭矩为m kN M x ×=149.2max 。

(2) 2，3轮的位置对调后扭矩图见附图(b)，最大扭矩为m kN M x ×=432.1max 。

(a) M x
(c) M x /N ·m
(b)
M x /kN ·m
(d) M x /kN ·m
习题
3-2附图
T 1
T 2 T 3 T 4 (a)
M x /kN ·
m
1.432(b) M x /kN ·m
3-3 一直径d =60mm 的圆杆，其两端受T =2kN·m 的外力偶矩作用而发生扭转，如附图示。

设轴的切变模量G =80GPa 。

试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。

解答 1，2，3点处的切应力分别为
MPa
MPa W T p 4.313/22.4716/06.014.320000
.0313
32===´===t t t t 切应力方向见附图(1)。

最大切应变为 496
max max 109.510
8010
2.47-´=´´==
G t g
3-4 一变截面实心圆轴，受附图示外力偶矩作用，求轴的最大切应力。

解答 扭矩图见附图(1)。

最大切应力发生在AB 段
MPa W M P x
97.162105.2500
6316
1
max =´´==
-p t
3-5 从直径为300mm 的实心轴中镗出一个直径为150mm 的通孔，问最大应力增大了百
分之几?
解答 实心和空心圆截面的扭转截面系数分别为 31161D W P p =
，)1(16
1
432a p -=D W P 16
15
300150(1114412max 2max 1=-=-==a t t P P W W
最大应力增大的百分数 %67.6115
16
max 1max 1max 2=-=-t t t
习题3-3附图
3
(1)
500
100
300
300
A
B
C
D
E
3-6 一端固定，一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如附图所示，试求： （1）轴的最大切应力。

（2）两端截面的相对扭转角。

设G =80GPa 。

解答 1.作扭矩图，需计算AB 段和CD 段中的最大切应力才能确定轴的最大切应力。

AB 段中：MPa W M P x 56.351036063161max =´´==
-p p
t CD 段中：()()
MPa W M P x 24103
12740161013406
4
649161max =´-´=´-´´==---a p p t 所以轴中MPa 56.35max =t
2．相对扭转角分四段计算
rad I I G GI GI GI GI GI GI P P P P P P P P BA EB CE DC 01143.010312
)31(10311
10801211121115
.0601.0301.0302.04084321
48432
1
921212
211=÷÷ø
öççèæ´´+-´´´=÷÷ø
ö
ççèæ+=+=
´+
´+´+´=D +D +D +D =D ---p p p p p p p p p p j j j j j
3-7 一圆轴AC 如附图所示。

AB 段为实心，直径为50mm ；BC 段为空心，外径为50mm ，
内径为35mm 。

要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC 段的长度a 。

设G =80GPa 。

解答 1．作扭矩图，扭矩图见附图(1)。

m N M x ×=100
2．杆件A 、C 截面相对扭转角分两段计算
()
()P x P x BA
BC AC GI a M GI a M -+
-=
D +D =D 9.014
a j j j ，即
9
.031596.07.05035,9.014-D =-+-=D x
AC P x AC P M GI a a a
M GI j
a a
j ＝＝其中
m
a a 405.031596.09.031596.010012.0105108018084329=-´´´´´´´=-p
p p
60p
30p
40M x /N ·m
A B C D (1)
E 习题3-7附图
100
C
B
M x /N ·m
(1)
习题3-6附图
10π
习题3-10附图
3-8 附图示合金圆杆ABC ，材料G =27GPa ，直径d =150mm ，BC 段内的最大切应力为120MPa 。

试求：
（1）在BC 段内的任一横截面上ρ=0和ρ=40mm 间部分面积上所承受的扭矩大小。

（2）B 截面的扭转角。

解答 （1）首先计算T 1。

m kN W T P ×=´´´==52.7915.0101203
161
6
max 1p t
ρ=0和ρ=40mm 间部分面积上所承受的扭矩大小为 m kN M x ×=´´´´=
D 43.608.01012075
403161
6p （2）AB 段中的扭矩为
m kN T T M x ×=-=-=69.162052.7921p
24321
9307.110866.115
.010275.11069.16=´=´´´´´=D -rad B p j
3-9 附图示实心圆轴，承受均匀分布的扭转外力偶矩作用。

设轴的切变模量为G ，求自
由端的扭转角（用m ，l ，G ，d 表示）。

解答 扭矩方程为
m x l x M x )()(-= 自由端扭转角
42
200162)(d G ml GI ml GI mdx x l GI dx M P l P l
P
x p j ==-==òò 3-10 附图所示空心的钢圆轴，G =80GPa ，内外半径之比0.6,,r
B C R
a ==两截面的相对扭转角j =0.03°。

求内、外直径d 与D 之值。

解答 BC 段内的扭矩为20kNm 。

180
03.0)6.01(10802102044321
93p
p j =-´´´´=D D BC
解得m D 325.0=，则m d 195.0=。

3-11 一外径为50mm ，壁厚为2mm 的管子，两端用刚性法兰盘与直径为25mm 的实心圆轴相连接，设管子与实心轴材料相同，试问管子承担外力偶矩T 的百分之几?
解答 由于变形协调，横截面上的应力沿径向成线性分布，实心轴的最大切应力与管子的最大切应力的关系为（见附图（1））
习题3-8附图
习题3-9附图
x
习题3-11附图
2215.050
25
t t t ==
实心轴承受的扭矩为
23
161
13
16115.0025.0t p t p ´´==d T
管子承受的扭矩为 24
5046316142316
1
2))(1(05.0)1(t p a t p -´=-=
D T 其中2836.0(14
5046
=-。

管子承担外力偶矩T 的百分比
%94.812836
.005.0025.05.02836.005.03
33212=´+´´=+T T T
3-12 两端固定的AB 杆，在C 截面处受一外力偶矩T 作用，如附图示，试导出使两端约束力偶矩数值上相等时，a /l 的表达式。

解答 如两端约束力偶相等，则其值为0.5T 。

根据两段的相对扭转角相等的有条件有
G d a l T G d Ta 4232
1
41321)
(5.05.0p p -= 即有)(41
42
a l d a d -=，解得4
2
4141d d d l a
+=。

3-13 两端固定的圆杆，直径d =80mm ，所受外力偶矩T =10kN·m ，如附图示。

若杆的容许切应力[]t =60MPa ，试校核该杆的强度。

解答 设D 处的约束力偶为T D 。

根据D 截面转角为零的条件有
0)(=+-+P
D P D P D GI a
T GI a T T GI a T 解得kNm T T D 33.33/==。

最大扭矩在BC 段，且kNm M x 67.6=。

MPa 3.661081067.66
316
13max
=´´´=-p t 因为MPa 60][max =³t t ，不满足强度条件。

3-14 附图示传动轮的转速为200r ／min ，从主动轮3上输入的功率是80kW ，由1,2,4,5轮分别输出的功率为25,15,30和10kW 。

设[]t =20MPa 。

（1）试按强度条件选定轴的直径。

（2） 若轴改用变截面，试分别定出每一段轴的直径。

习题3-14附图
2
(1)
习题3-12附图
习题3-13附图
T D
习题3-15附图
T 1
T 2
T 3
9.55
(1) M x /kN ·m
C
解答 1.由输入和输出功率计算等效力偶
m
kN T m kN T m kN T m kN T m kN T ×=´=×=´=×=´=×=´=×=´
=82.3200
80
55.94775.020010
55.9 , 433.12003055.97163.020015
55.9 , 194.12002555.935421
2.作扭转图见附图（1）。

[]t t £=
×=P
x x W M m kN M max
max ,
91.1 ,10955.010201091.146
3-´=´´³P W []m
d 0786.010955.0163
1
4=´´³
-p
d 取79mm ，适用于全轴。

mm d d 67,10201019375.11616
3
31
=´´´³p ，适用于1，2轮之间。

mm d d 50,
1020104775.0163633
2=´´´³p
，适用于4，5轮之间。

3-15 附图示传动轴的转速为n =500 r/min ，主动轮输入功率P 1=500kW ，从动轮2，3输出功率分别为P 2＝200kW ，P 3＝300kW 。

已知[]t ＝70MPa ，[]q ＝10/m ，G ＝8×104MPa 。

（1）确定AB 段的直径d １和BC 段的直径d 2。

（2）若AB 和BC 两段选用同一直径，试确定直径d 。

解答 (1)由输入和输出功率求等效力偶
m
kN T m kN T m kN T ×=´=×=´=×=´
=73.5500300
55.982.3500200
55.9 55.9500500
55.9321
作扭矩图见附图（1）。

由强度条件：[]t t £=
P
x
W
M max
1.91
1.91
5
(1) M x /kN ·m
m d d m d d 075.0,10701073.516 .089.0,10701055.9162633
216331
=´´´³=´´´³p
p
由刚度条件：[]q q £=GI
M x
m d d m d d 080.0,180
1081037.532 .091.0,1801081055.93222
1034
21210341=´´´´³=´´´´³p p 为满足强度和刚度条件，直径d 1取91mm ，直径d 2取80mm 。

(2) 若AB 和BC 两段选用同一直径，可取91mm 。

3-17 一实心圆杆，直径d =100mm ，受外力偶矩T 1和T 2作用，如附图示。

若杆的容许切应力[]t ＝80MPa ；900mm 长内的容许扭转角[]j =0.0014rad ，求T 1和T 2的值。

已知G =80×104MPa 。

解答 最大扭矩为 21max ,T T M x += 由强度条件 MPa W T T p
80][2
1max =£+=
t t 由刚度条件
0014.0][3.0)(6.02
21=£++=D j j p
p GI T GI T T
由上两方程可解得kN T kN T 5.10,23.512==。

3-18 附图所示矩形截面钢杆受外力偶矩作用，已知T =3kN·m ，材料的切变模量G =80×103MPa 。

求：
（1）杆内最大切应力的大小、方向、位置。

（2）单位长度杆的最大扭转角。

解答 (1) 杆内最大扭矩为
T M x 2max =
最大切应力位于最大扭矩横截面周线上长边的中点，方向与边相切，其值为
294.0 ,346.0 ,5.1===b a m MPa W M T x 28.8006
.0346.01063
3max max
=´´==t （2）单位长度杆的最大扭转角为 m rad GI M T x /1097.106
.0294.010*******
93max max
-´=´´´´==q
习题3-17附图
习题3-18附图
3-19 工字形薄壁截面杆，如附图示，长2m ，两端受0.2kN·m 的外力偶矩作用而扭转。

设G =80×103MPa ，求此杆的最大切应力及杆单位长度的扭转角。

解答 最大切应力发生在腹板和下翼缘长边的中点。

()MPa h M i
i x
18.1810
24.009.06
10
112.0210109.03
01.0102.06
6
3633max 331
max =´+=´´´+´´´´´==
---åd d t 最大单位长度的扭转角为
()
()m rad h G M i i x /0227.01024.009.080106.010112.0210109.010803
102.03
36363933
3
1=´+´´=´´´+´´´´´==--åd q
习题3- 19附图。