全国自考公共课高等数学(工本)模拟试卷13(题后含答案及解析)

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 综合题
单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．点P(2，1，一1)关于X轴的对称点是( )
A．(一2，一1，一1)
B．(一2，一1，1)
C．(2，一1，一1)
D．(2，一1，1)
正确答案：D
解析：设点P(2，1，一1)关于x轴的对称点是P0(x，y，z)，则P与P0连
线的中点为(2，0，0)，所以={2，0，0}，解之得x=2，y=一1，z=1．因此所求对称点的坐标为(2，一1，1)．
2．函数f(x，y)=在(0，0)点( )
A．不连续
B．连续
C．可微
D．偏导数存在
正确答案：B
解析：故f(x，y)在(0，0)点连
续．
3．设D是平面上以A(1，1)，B(一1，1)和C(一1，一1)为顶点的三角形，D1是它的第一象限部分，则(xy+cos xsin y)dxdy=
( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：积分区域如右图所示，连结BO，把D分成D2∪D3，因D2关于y
轴对称，被积函数xy对x为奇函数，故又D2关于x轴对称，被积函数xy+cos xsin y为y的奇函数，故
4．若某二阶常系数微分方程的通解为y=C1e-x+C2，则该微分方程为( )
A．y”+y’-2y=0
B．y”+2y’=0
C．y”+y’=0
D．y”-y’一2y=0
正确答案：C
解析：y”+y’=0的特征方程为r2+r=0，故r1=0，r2=一1，故通解为y=C1e-x+C2．5．设0≤un≤vn(n=1，2，…)，且无穷级数
( )
A．发散
B．无法判断
C．条件收敛
D．绝对收敛
正确答案：A
解析：vn≥un≥0，由比较判别法，
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．若向量a，b，c两两的夹角都为，且|a|=2，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=_______
正确答案：5
解析：只需求出|a+b+c|2．设向量a与b的夹角为θab，则．由已知
条件|a|=2，|b|=1，则 a.b=|a|.|b|.cosθab=同理 a.c=3，b.c=于是|a+b+c|2=(a+b+c).(a+b+c)=a2+b2+c2+2a.b+2a.c+2b.c=25，即|a+b+c|=5．
7．Oxy坐标面上的椭圆绕y轴旋转所形成的旋转面的方程是_______．
正确答案：
解析：由教材知．绕y轴旋转时y保持不变。

而将x换为
8．已知z=f2(xy2)，其中f为可微函数，则=_______．
正确答案：4xyf(xy2)f’(xy2)
解析：=2f(xy2)f(xy2).2xy=4xyf(xy2)f’(xy2)．
9．过点(1，4，一1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为________．
正确答案：x一1=0
解析：因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其方程为Ax+D=0，又因为该平面过点(1，4，一1)．所以A+D=0，即A=一D，因此所求平面方程为x一1=0．
10．已知z=f(x+y，xy)，其中f为可微函数，则dz=_______．
正确答案：(f1’+yf2’)dx+(f1’+xf2’)dy
解析：
计算题
11．求与点P1(3，一1，2)和点P2(5，0，一1)的距离都相等的动点轨迹方程．
正确答案：设动点为P(x,y，z)因
|PP1|=|PP2|
化简后得，所求轨迹方程为：2x+y一3z一6=0．
12．设方程sin(x2+y2+z2)一xz=1确定函数z=z(x，y)，求
正确答案：令F(x，y，z)=sin(x2+y2+z2)-xz一1，则Fx=2xcos(x2+y2+z2)一z，Fy=2ycos(x2+y2+z2)，Fz=2zcos(x2+y2+z2)一x，
13．求函数u=xyz，在点(5，1，2)处沿从点(5，1，2)到点(9，4，14)的方向的方向导数．
正确答案：
14．令z=xy，而x=sin t，y=cos t，求
正确答案：=yxy-1.cos t+xylnx.(一sint)=yxy-1cos t—xyln x.sin t=(sint)cost-1cos2t一(sint)1+cost ln sin t．
15．求直线的对称方程．
正确答案：由直线方程，直线的方向向量为
令z=1，可得x=12，y=18，即直线过点(12，18，1)
16．计算D：x2+y2≤1．
正确答案：积分区域D关于x、y轴均对称，被积函数|x|+|y|关于x、y均是偶函数，利用对称性
17．求函数z=xy在条件x+y=1下的极限．
正确答案：构造拉格朗日函数L=xy+λ(x+y一1)，解方程组
是可疑的极值点，经验证
18．计算+xzdydz+x2ydxdz，其中∑是由旋转抛物面z=x2+y2，圆柱面x2+y2=1和坐标平面在第一卦限中所围曲面的外侧，如下图所
示．
正确答案：P=xz，Q=x2y，R=y2z，
19．求微分方程x(1)=1，x’(1)=0的解．
正确答案：解之得x2=1一(t+C2)2再将x(1)=1代入上式得C2=一1，所以方程的特解为x2=1一(t 一1)2．
20．已知级数是绝对收敛．
正确答案：均收敛，故原级数绝对收敛．
21．求幂级数的和．
正确答案：
22．将函数f(x)=ex展开成(x+2)的幂级数．
正确答案：
综合题
23．设f(x)在[0，1]上连续，试证∫01ef(x)dx∫01e-f(y)f(y)dy≥1．
正确答案：
24．设平面薄板所占Oxy平面上区域D，其中D是由曲线y=x，x=3所围成，薄板上每一点的密度等于该点的纵坐标，求该薄板的质量．
正确答案：由于D={(x，y)|1≤x≤3，≤y≤x)，所以
25．求曲面x2+y2+z=4将球体x2+y2+z2≤4z分成两部分的体积之比．
正确答案：由得z=1，z=4(两曲面的切点)，两曲面的交线为如右图所示，两曲面所交的体积为V1和
V2．。