第四章变异函数的结构分析

复习思考题
1. 区域化变量的结构分析以变异函数模型为基础，请叙述 变异函数的理论模型。
2. 试简述各向异性的种类。 3. 试简述影响拟合模型的因素。 4. 结构分析是局部估计的基础，其目的在于建立一个最优
的变异函数理论模型，试论述结构分析的基本步骤。
2、不同方向上的套合
（1）各向异性的种类
几何异向性：当区域化变量在不同方向上表现出变异 程度相同而连续性不同时称为几何异向性。这种异向 性因可以通过简单的几何图形变换化为各向同性而得 名。几何异向性具有相同的基台值，而变程不同。
带状异向性：当区域化变量在 不同方向上变异性差异不能用 简单几何变换得到时，就称为 带状异向性。此时，实验变异 函数具有不同的基台值，而变 程可以相同也可以不同。
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
• 为了便于计算，在克里格估算中所用的变异函数或协方差函数的理论模式要 求区域化变量是各向同性。
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
2、不同方向上的套合
• （3）各向异性的套合 • 变程方向图
– 区域化变量不同方向上的变异类型一般可以根据变程方向图来确定。
0(h) 表示微观上的变化
1(h) 表示变程为a1=10m时的球状模型
0
h0
1(h)
C1[23
h a1
1(h)3] 2 a1
0ha1
C1
ha1
2(h) 表示变程为a2=100m时的球状模型。
0
h0
2(h)C2[23ah2
1( h)3] 2 a2
0ha2
C2
ha2
(h ) 0 (h ) 1 (h ) 2 (h )
高斯模型的变程为 3 a 。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准高斯函数模型。
1、有基台值模型
• （5）线性有基台值模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a为变程。 A 为常数，表示直线的斜率。
2、无基台值模型
• （1）线性无基台值模型
(h)Ac0h
h0 h0
➢基台值不存在，没有变程。
1、有基台值模型
• （1）纯块金效应模型
(h) 0 c0
h0 h0 C0 0 为先验方差。
区域化变量为随机分布， 空间相关性不存在
1、有基台值模型
• （2）球状模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a 为变程。
由地统计学理论奠基者法国学者马特隆 (G. Matheron )提出，故称马特隆模型。 在实际中，百分之九十五以上的实验变 异函数散点图都可用该模型拟合。
• （2）自动拟合
– 曲线类型确定
根据专业知识从理论上推断，或根据以往的经验来确定曲线类型。 通过散点图的走势，先大致确定曲线类型，再对这个初步类型进行参数最优估计， 确定是否为最优曲线。
– 最小二乘法拟合
将曲线模型先进行适当变换，化为线性模型。然后，如同回归分析那样用最小二乘 法原理估计模型参数。最小二乘法拟合的优点是简单方便。缺点是得到的变异函数 理论模型的曲线有时并不十分满意。
，并绘制成散点图与实验变异函数散点图进行对比。若有差异，则调
整初步估计的参数值（即估计基台值、变程和块金常数），直到理论
变异函数散点图与实验变异函数散点图吻合较好。此时的基台值、变
程和块金值，即为变异函数最终的估计值。
•
人工拟合法的缺点是耗时、费力、因人而异、主观性强、缺乏统
一的、客观的标准。
1、模型参数的最优估计
2、无基台值模型
• （2）幂函数模型 (h)Ah ,02
➢θ为幂指数。当θ变化时，这种模
型可以反映在原点附近的各种性状。
2、无基台值模型
• （3）对数模型 (h)Algh
➢显然，当 h 0,lohg ，这与
变异函数的性质 (h) 0 不符。因
此，对数模型不能描述点支撑上的 区域化变量的结构。
3、孔穴效应模型
– 以笛卡尔坐标原点为原点，如 图4-17所示虚线为样点对距离h ，利用扇形分区进行不规则格 网数据分组。
• 2）格网分组
– 扇区分组虽然合理，但不适宜 计算机表示，为此采用格网分 组。
3、结构分析的步骤
• （5）变异函数的结构分析
– 结构分析的目的在于通过分析各种实验变异函数来分析所研究区域化现 象的主要结构特征。主要内容包括各向同性和各向异性分析、块金效应 分析、比例效应分析、不同方向上的套合结构分析。
方程本身进行显著性检验。
比较
• 模型比较
• 即是通过平均误差、均方根误差、平均标准误差等统计指 标对不同的理论模型比较，从中选出最优拟合模型。一般 来说，人们总是希望预测误差是无偏且最优的。
3、影响变异函数的主要因素
• 样点距离和支撑大小 • 样本数量 • 特异值影响 • 比例效应影响 • 漂移的影响
三、变异函数的套合结构
• 结构分析
构造一个变异函数模型对于全部有效结构信息作定量化的概括， 以表征区域化变量的主要特征。结构分析的主要方法是套合结构。
• 套合结构
•
把分别出现在不同距离h上和（或）不同方向 上同时起作用的变异性
组合起来。可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一个方向一
种特定尺度上的变异性，套合结构的表达式为：
• 当变异函数 (h在) h大于一定的距离后，并非单调递增，而
在具有一定周期波动时就显示出一种“孔穴效应”。
二、变异函数理论模型的最优拟合
• 根据实验变异函数值，选择合适的理论模型来拟合一条最优的理论变异 函数曲线，最优拟合的过程实质是拟合最优模型的过程。
• 在变异函数理论模型中，除线性模型外，其余都是曲线模型，因此，可 以说地统计学中变异函数最优拟合主要是曲线拟合。
1）几何异向性的套合
v
•
0
u
1）几何异向性的套合
•
2）带状异向性的套合
•
3）一般套合结构模式
•
3、结构分析的步骤
（1）区域化变量选择
◆根据具体研究目的而定，要有明确物理意义，最好能定量表示。 ◆支撑大小、形状与取样、测试方法应相同
（2）数据获取与审议
审议内容包括空间取样设计、样点间距离的大小、取样方法、数据 的代表性、数据均匀性、时空一致性、原始数据的记录、是否存在 系统误差等。
当 C0 0 时，C1 ，称为标准球状模型.
1、有基台值模型
• （3）指数模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
指数模型的变程为3a。 当 C0 0基台值模型
• （4）高斯模型
(h)C0C(10eh2a2)
h0 h0
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
第四章 变异函数结构分析
提纲
• 一、变异函数的理论模型 • 二、变异函数理论模型的最优拟合 • 三、变异函数的套合结构
一、变异函数的理论模型
有基台值模型 无基台值模型
纯块金效应模型 球状模型 指数模型 高斯模型 线性有基台值模型 线性无基台值模型
幂函数模型
对数模型
孔穴效应模型（可有有基台或无基台模型）
• （6）变异函数的最优拟合及检验
– 为了研究区域化现象及空间局部估计，需要给实验变异函数散点图拟合 理论变异函数曲线，即拟合一个理论变异函数模型，并通过样本值估算 理论模型的参数。理论模型的优劣可通过与实际变异函数计算值的残差 平方和、估计标准误差、可决系数大小判断。
• （7）变异函数理论模型的专业分析
( h ) 0 ( h ) 1 ( h ) i( h )
1、单一方向上的套合
• 每一个变异函数代表同一方向上一种特定尺度的变异，并可以用不同的变异函 数理论模型来拟合，即单一方向的套合结构。
• 假设区域化变量Z(x)在某一方向上的变异性由 0 (h) 、1(h) 、2(h) 组成。
• 变异函数理论模型的最优拟合主要包括三个步骤：①确定变异函数模型 形态（或确定曲线类型）；②模型参数的最优估计；③模型拟合评价。
1、模型参数的最优估计
• （1）人工拟合
•
首先通过实验变异函数散点图，确定曲线的大致类型，再通过对
散点图走势的观察初步估计模型参数（即估计基台值、变程和块金常
数）；然后，将初步估计的参数代入曲线函数，计算理论变异函数值
– 加权回归法拟合
对于指数和高斯模型（有基台）、幂函数和对数模型（无基台），可用一元加权回 归法拟合。
2、模型拟合评价及类型确定
• 模型拟合评 • 最优曲线的检验
价包括：
• 即理论模型的检验。由于把最优理论模型的求解转化为一
• 最优曲线的
元和二元线性方程来求解，显然就需要对回归方程参数及
检验和模型
（3）数据统计分析
指对取样数据计算平均值、方差、标准差、变异系数、偏态数、峰 度等统计指标，并进行相关、正态、趋势、各向异性等特性分析。 其目的在于对数据特性进行初步了解，提出简单、明晰的解释。
（4）变异函数计算
• 考虑数据的结构
等间距规则网格数据
非等间距不规则网格数据
（4）变异函数计算
• 1）扇区分组