高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的综合应用随堂检测(含解析)

（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的

综合应用 随堂检测（含解析）

1．抛物线y 2

＝4x 上的点到直线l ：x ＋y ＋2＝0的距离最小，求P 点坐标．

解：设P (x 0，y 0)则y 2

0＝4x 0，

P 到l 的距离d ＝|x 0＋y 0＋2|2＝|14y 2

0＋y 0＋2|2＝| y 0＋2 2

＋4|

42

.

∴当y 0＝－2时，d 取最小值，此时x 0＝y 20

4＝1，故P 点坐标为P (1，－2)．

2．若点P (x ，y )是椭圆x 225＋y 2

16

＝1上的动点，求x ＋y 的最大值．

解：由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 42

＝1，可设x ＝5cos α，y ＝4sin α，其中α∈[0,2π)，

∴x ＋y ＝5cos α＋4sin α＝41sin(α＋φ)，其中tan φ＝4

5.

∴x ＋y 的最大值为41.

3．若直线y ＝kx 交椭圆x 2

4

＋y 2

＝1于A 、B 两点，且AB ≥10，求k 取值范围．

解：由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝kx ，x 2

4

＋y 2

＝1得x 2

＝44k 2＋1

.不妨设

⎩⎪⎨⎪⎧

x A ＝

2

4k 2

＋1，y A

＝

2k

4k 2

＋1

，⎩⎪⎨⎪⎧

x B ＝－

2

4k 2

＋1，y B ＝－

2k

4k 2＋1

.

由两点间距离公式得AB 2

＝16 1＋k 2

4k 2

＋1≥10，解得k 2

≤14

. ∴－12≤k ≤12

.

4．在双曲线x 25－y 2

4

＝－1的上支上有三点A (x 1，y 1)、B (x 2,4)、C (x 3，y 3)．它们与点F (0,3)

的距离成等差数列．

(1)求：y 1＋y 3的值；

(2)证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

解：(1)∵c ＝4＋5＝3.∴F (0,3)为双曲线的上焦点，设上准线为l 1，分别过A 、B 、C 作x 轴的垂线．它们分别与x 轴交于A 1、B 1、C 1，与l 1交于A 2、B 2、C 2，令e 为离心率，则有

e |AA 2|＝|AF |、e |BB 2|＝|BF |、e |CC 2|＝|CF |. 于是有

2e |BB 2|＝2|BF |＝|AF |＋|CF |＝e |AA 2|＋e |CC 2|， 即2|BB 2|＝|AA 2|＋|CC 2|. 从而2|BB 1|＝2|B 1B 2|＋2|BB 2|

＝|A 1A 2|＋|C 1C 2|＋|AA 2|＋|CC 2|＝y 1＋y 3，

即y 1＋y 3＝2y 2＝8. (2)AC 的中垂线方程为 y －12(y 1＋y 3)＝－x 1－x 3y 1－y 3⎣⎢⎡⎦

⎥⎤x －1

2 x 1＋x

3 ，

即y －4＝－ x 1－x 3 y 1－y 3x ＋12x 21－x 2

3

y 1－y 3

.①

由于A 、C 均在双曲线上，所以有

x 215

－y 21

4＝－1，x 235－y 23

4

＝－1，

两式相减得15(x 21－x 23)＝14(y 21－y 2

3)，

从而有x 21－x 2

3y 1－y 3＝54(y 1＋y 3)＝54

²8＝10.

代入①得y －4＝－x 1－x 3

y 1－y 3

x ＋5，

易见此直线过定点D (0,9)．

[A 级 双基巩固]

1.

椭圆M ：x 2a

2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|²|PF 2

→

|的最大值的取值范围是[2c 2,

3c 2

]，其中c ＝a 2

－b 2

.求椭圆离心率的取值范围．

解：|PF 1→|²|PF 2→|≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫|PF 1→|＋|PF 2→|22

＝a 2，

则2c 2

≤a 2

≤3c 2,

2e 2

≤1≤3e 2，∴33≤e ≤2

2

. ∴椭圆M 离心率的取值范围是⎣⎢

⎡⎦⎥⎤3

3

，22. 2．已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，求长半轴长的最小值．

解：法一：∵a ＋b ＋c ＝4，∴b ＋c ＝4－a .

又b 2＋c 2＝a 2，∴b 2＋c 2≥ b ＋c 22⇒a 2

≥ 4－a 2

2

，

解得a ≥4(2－1)．

法二：由a ＝b 2＋c 2

，设b ＝a cos θ，c ＝a sin θ，则a (cos θ＋sin θ＋1)＝4，a ＝4cos θ＋sin θ＋1≥4

2＋1

＝4(2－1)．