第三章 连续转动群 2010 2

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α O
α
点操作的特点： 设不动的点为坐标原点，则点操作 不改变任意两矢量 ， 间的相对 位置(数学上称保长、保角变换)。
任何点操作在三维空间中对应着一个算符A： 内积： 满足此关系的变换一定满足保长、保角变换。
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由 要求 即变换算符A 是幺正的。 三维实空间中，要求A变换不会将实矢量变成复矢量， ∴ A必须是实变换，结合幺正性，表明A是正交算符， 对应的矩阵为正交矩阵： 。 由正交变换组成的群称为O群（全正交群）。 三维实空间： O(3)群 SO(3)群是Special orthogonal group.
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第二节 定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题：
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 与 ， 类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。
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若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。 是群元算符， 其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷 小量，起生成元作用）。 为有限值时， 可写为 n为正整数 当 时，
SO(3)群中转角相同的旋转属于同一个类。
（证明略）
也是一种旋转
α
β
由图
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在三维实空间对应一个算符：
，
θ α
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当
时，对应于无穷小转动，由上式有
SO(2)群中无穷小算符，
推广： SO(3)群有三个无穷小算符
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作用在三维实空间的基矢上可得到矩阵表示：
满足
满足循环对易关系，且为反厄米的。
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确定SO(3)群的不可约表示：
每个群元都可由
表示出来，
若找到三个无穷小算符的不变子空间 ， 就找到了群元的一种矩阵表示。最小不变子空间中的表 示就是不可约表示。（“最小”并不是“一个”。因此，问题变
为寻找无穷小算符的最小不变子空间。）
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设有某个 的最小不变子空间 （有限维）， 在该空间中对应一个矩阵，有本征值和本征函数。 设 是其中的一个本征函数， ， 定义 有关系 所以 仍是 的本征函数，本征值为 。 用 连续作用 ，则m每次增加1，得到一系列正交 的 ，它们彼此独立，构成的空间是无穷 维的。
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算符的另一种含义： 在一般的函数空间中， 基函数为 时： ，
θ
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群的不可约表示和特征标系： 群是Abel群，不可约表示都是1维的。
两边对
求导：
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（
）
即 而 ∴要求 不可约表示： 特征标：
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SO(2)群：不同m值对应不同的不可约表示，有无穷多个。 前面 ，这里 ， 但不能认为 ，算符 ≠ 数。 前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。
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有
不可约表示的维度取决于j，等于2 j +1。
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所以， 取 为实数： ，构成2 j +1维不可约表示空间。
总之：
由上面三式可确定
的矩阵形式。
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特征标：
同类
在2j +1维不可约表示空间中，
在 元 。
空间中是对角矩阵，对角
特征标：
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以不同 j 的球谐函数为基函数的不可约表示，组 成SO(3)群的全部2j+1维的不可约表示。
3
∴
构成Abel群，称为R(2)群或 SO(2) 群。 (二维旋转内的对称操作构成的二维旋转群) 3. 圆球 绕过球心的任意转轴旋转任意角度都是对称操作。 这些操作构成 R(3)群或 SO(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群 操作联合构成O(3)群。(全正交群)
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，
但是
是有限维的，所以必有 使
，而
另一方面： 必有 使得 从而得到一组正交函数 组对于 是封闭的。 ，该函数
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定义： 与SO(3)群元对易（连续群都有这样一个算符，称为 Casimir算符）
两边用
作用：பைடு நூலகம்
得
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对于空间 求证 时， 与
，对 正交。
封闭。
证明： ， 两式左边相同，所以 因此 V 是否是最小空间？ 假设V不是最小的，则对 而言在某j和j-t位置被截断， 对 亦如此。所以V是最小的封闭线性空间。
定义： 为厄米算符，有 考查其对函数的作用性质： SO(2)群元
。
β
确定SO(3)群元的表达式：
其中
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（1）将 数
作用于任一函 为 则有
，简单记
可见，
(1)
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（2） 令 ，
记： 前式
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综合(1)、(2)两式，并考虑到
结论：SO(3)群的三个无穷小算符为角动量算符，且有 对易关系 。
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可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
所以
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可作为SO(2)群不可约表示的基矢， 同时也是 和 的本征函数。 对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转 对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项 。
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第三节 SO(3)群
描述SO(3)群中任一群元需要3个参量， 旋转的矢量表示法：
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旋转、反射在实空间中对应着正交算符
，
正交矩阵的基本性质。
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引理1 三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵的 行列式必等于1。
z
证明：
O
， φ连续变化，相应变换矩阵的元 素以及行列式也应连续变化。 ，
用反证法： 假设对于某一 φ 值， 则在 0 ~ φ 之间必有某φm值，其 这违反 之结论，
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A(φ) 1 0 –1 Cz(φ)
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• 点操作(point operation)：空间中至少有一点不变 的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。包括 旋转和镜面反射。该操作中至少有一点是不动的。 • 空间操作(space operation)：由平移实现，空间所 有点都发生变动。 例：1. C3v群是点操作
2. 花瓶
• 有对称中心轴线 • 旋转任何角度不变，有无限多 的操作。 • 绕轴旋转任何角度
23对某力学系统先分析其对称性若关于某轴旋转对称则角动量守恒且态函数中必有因子项第三节so3群描述so3群中任一群元需要3个参量旋转的矢量表示法
第三章
连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作： 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： ① 任意两点间距离不变； ② 任意两向量间夹角不变。 对称操作群： 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构 成的集合。
由 并考虑到群阶g → ∞，ρ(α) = g/2π 则有 与有限群情况 相似。
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（1）在经典力学中，物体处于二维势场 果 具有绕 z 轴旋转对称性，
中，如 ，即
（利用 可见 =常数，即 是守恒量。
）
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（2）在量子力学中： 算符在 作用下不变，所以 为本征函数， 两边乘以 ： 是矩阵，也是本征值。
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是反厄米算符： （∵ Cz(φ)是幺正算符、正交算符） 假设φ → 0，忽略φ2项，有 ∴
定义
，有
，
在具体线性空间中有特定的算符形式，对应一个 特定的矩阵。 例如：三维实空间中，无穷小 角：
φ
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∴ 由 取 ，∴ ， ， 做基矢，确定 ； 的矩阵：
该矩阵虽然是奇异的，但 对应于群元 的表示，不是奇异的。此时1对应单位阵 I0(3) 。
1
对称操作的基本类型： ①旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角度 (0 ～ )。 ②镜面反射(也叫反映) (mirror reflection)：镜面记作 , 以 为法向量的平面，记作 。 ， 分别为垂直和 通过主轴的镜面. ③平移(translation)：空间中所有点沿同一方向移动相同 距离的操作，用向量 表示（其指向表方向， 表距离)。 ④反演(inversion)： 。反演与镜面反射两者是相 互关联的，其中只有一个是基本的。 (反演可由绕含反演中心的轴旋 再做 垂直于转轴的平面的镜面反射实现)
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例：不可约表示空间的基函数
:
可见
也是 的本征函数。
对于固定的 ，有 个线性独立的 函数， 所以有 ，即 个 作基矢，形成 的封闭子空间， 在子空间中，可产生 的群表示， 就是表示矩阵的矩阵元。
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特征标： 当前面的 取整数时，与此处一致，所以找 到了 为整数时的 SO(3)群的不可约表示的 基函数。 时涉及自旋问题。
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反演：
， 由引理1， ∴ ⋇包含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为–1。 正当操作： 非正当操作： ； 。
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引理2
的正交矩阵A必对应一个定轴转动。
证明：
∴
可视为三元一次线性方程组的久期行列式：
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由于 ，该齐次线性方程组必有非零解。 设 ， ， 构成非零解，定义
可见
是 A旋转操作的定轴。