2020年嘉兴市南湖区中考数学一模试卷含答案解析

2020年浙江省嘉兴市南湖区中考数学一模试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．﹣3的倒数是（）
A．B．﹣C．3 D．﹣3
2．如图，该简单几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
3．据统计，2020年到嘉兴市图书馆借阅图书的人约有322万人次．数322万用科学记数法表示为（）
A．3.22×106 B．3.22×105 C．322×104D．3.22×102
4．要反映2020年末嘉兴市各个县（区）常住人口占嘉兴市总人口的比例，宜采用（）A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．频数直方图
5．当x分别取﹣3，﹣1，0，2时，使二次根式的值为有理数的是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
6．如图，点A，B，C在⊙O上．若⊙O的半径为3，∠C=30°，则的长为（）
A．B．πC．D．
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（）
A．a＞b B．﹣a＜﹣b C．ab＞0 D．a+b＞0
8．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（）
A．40°B．41°C．42°D．43°
9．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）
A．﹣1 B．0.5 C．1 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），分别以点O，A为圆心，大于OA长为半
径作弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（m，n+1）（m≠1，n≠0），则n关于m的函数表达式为（）
A．n=﹣m+1 B．n=﹣m+2 C．n=m+1 D．n=m+2
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2﹣a=______．
12．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，半径为1的圆与x轴的位置关系是______．（填“相切”、“相离”或“相交”）
13．抛物线y=﹣（x﹣1）2+4的顶点坐标为______．
14．已知▱ABCD中，AB=4，∠ABC与∠DCB的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为______．
15．当﹣2≤x≤2时，函数y=kx﹣k+1（k为常数且k＜0）有最大值3，则k的值为______．16．如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG：GH：HC=______．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（1）计算：（﹣1）0﹣|﹣3|+cos60°．
（2）化简：（a﹣2）2﹣a（a+2）．
18．先化简：，然后从0≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入
求值．
19．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
20．数学复习课上，老师出示5张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写有下列方程：
（1）若把这5张卡片的背面朝上且搅匀，从中随机抽取一张卡片，则抽到卡片上有一元二次方程的概率是多少？
（2）请按一定的规则把这5个方程分成两类，写出你的分类规则，并把分类结果分别填在下列两个大括号内（只需填方程的序号）．
{______}；{______}．
21．某商场对A、B两款运动鞋的销售情况进行了为期5天的统计，得到了这两款运动鞋每
天的销售量及总销售额统计图（如图所示）．已知第4天B款运动鞋的销售量是A款的．
（1）求第4天B款运动鞋的销售量．
（2）这5天期间，B款运动鞋每天销售量的平均数和中位数分别是多少？
（3）若在这5天期间两款运动鞋的销售单价保持不变，求第3天的总销售额（销售额=销售单价×销售量）．
22．某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天第2天第3天第4天第5天第6天
售价x（元/千克）20 18 15 12 10 9
销售量y（千克）45 50 60 75 90 100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
①若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
②该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
23．如图，动直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x2﹣3x和y=x2﹣4x于点P，E，F，设点A，B为抛物线y=x2﹣3x，y=x2﹣4x与x轴的一个交点，连结AE，BF．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当m＜3时，判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）连结BE，当时，求△BEF的面积．
24．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．
（1）理解：
如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积．
（2）探究：
小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB2+CD2=AD2+BC2．你认为他的发现正确吗？试说明理由．
（3）应用：
①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，求t的值．
②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．
2020年浙江省嘉兴市南湖区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．﹣3的倒数是（）
A．B．﹣C．3 D．﹣3
【考点】倒数．
【分析】根据倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数可得答案．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣，
故选：B．
2．如图，该简单几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：D．
3．据统计，2020年到嘉兴市图书馆借阅图书的人约有322万人次．数322万用科学记数法表示为（）
A．3.22×106 B．3.22×105 C．322×104D．3.22×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：322万用科学记数法表示3.22×106，
故选：A．
4．要反映2020年末嘉兴市各个县（区）常住人口占嘉兴市总人口的比例，宜采用（）A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．频数直方图
【考点】统计图的选择．
【分析】根据统计图的特点，可得答案．
【解答】解：反映2020年末嘉兴市各个县（区）常住人口占嘉兴市总人口的比例，宜采用扇形统计图，
故选：C．
5．当x分别取﹣3，﹣1，0，2时，使二次根式的值为有理数的是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【考点】二次根式的定义．
【分析】分别将已知数据代入求出二次根式的值，进而得出答案．
【解答】解：当x=﹣3时，=，故此数据不合题意；
当x=﹣1时，=，故此数据不合题意；
当x=0时，=，故此数据不合题意；
当x=2时，=0，故此数据符合题意；
故选：D．
6．如图，点A，B，C在⊙O上．若⊙O的半径为3，∠C=30°，则的长为（）
A．B．πC．D．
【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】先根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，确定出∠AOB，最后用弧长公式直接求解．
【解答】解：∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∴的长为=π，
故选B
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（）
A．a＞b B．﹣a＜﹣b C．ab＞0 D．a+b＞0
【考点】实数与数轴．
【分析】观察数轴得到b＜0，a＞0，|a|＞b，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：b＜0，a＞0，|a|＞b，
∴a＞b，﹣a＜﹣b，ab＜0，a+b＞0，
故选：C．
8．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（）
A．40°B．41°C．42°D．43°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=98°，推出2∠DAO+2∠FBO=98°，推出∠DAO+∠FBO=49°，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AO、BO．
由题意EA=EB=EO，
∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∵DO=DA，FO=FB，
∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，
∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO=98°，
∴2∠DAO+2∠FBO=98°，
∴∠DAO+∠FBO=49°，
∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，
∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，
故选B．
9．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）
A．﹣1 B．0.5 C．1 D．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】由轴对称的性质可知AM=AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
【解答】解：如图所示：连接AM．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC==．
∵点D与点M关于AE对称，
∴AM=AD=1．
∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．
如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．
∴CM的最小值=AC﹣AM′=﹣1．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），分别以点O，A为圆心，大于OA长为半
径作弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（m，n+1）（m≠1，n≠0），则n关于m的函数表达式为（）
A．n=﹣m+1 B．n=﹣m+2 C．n=m+1 D．n=m+2
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【分析】利用基本作图得到点P在线段OA的垂直平分线上，则PO=PA，然后根据两点间的距离公式得到m2+（n+1）2=（m﹣2）2+（n+1﹣2）2，再整理即可得到n关于m的函数表达式．
【解答】解：由作法得PO=PA，则m2+（n+1）2=（m﹣2）2+（n+1﹣2）2，
整理得n=﹣m+1，
即n关于m的函数表达式为n=﹣m+1．
故选A．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．因式分解：a2﹣a=a（a﹣1）．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
12．在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，半径为1的圆与x轴的位置关系是相切．（填“相切”、“相离”或“相交”）
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】本题可先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比较，若圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．
【解答】解：依题意得：圆心到x轴的距离为：1=半径1，
所以圆与x轴相切；
故答案为：相切．
13．抛物线y=﹣（x﹣1）2+4的顶点坐标为（1，4）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y=﹣（x﹣1）2+4为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（1，4）．
故答案为：（1，4）．
14．已知▱ABCD中，AB=4，∠ABC与∠DCB的角平分线交AD边于点E，F，且EF=3，则边AD的长为11或5．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义证出∠ABE=∠AEB，得出AE=AB=4，同理：DF=CD=4，再分两种情况计算即可．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，CD=AB=4，
∴∠AEB=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
同理：DF=CD=4，
分两种情况：
①如图1所示：∵EF=3，
∴AD=AE+EF+DF=4+3+4=11；
②如图2所示：∵EF=4，AE=DF=4，
∴AF=1，∴AD=AF+DF=1+4=5；
综上所述：AD的长为11或5；
故答案为：11或5．
15．当﹣2≤x≤2时，函数y=kx﹣k+1（k为常数且k＜0）有最大值3，则k的值为﹣．
【考点】一次函数的性质．
【分析】先根据k＜0判断出函数的增减性，再由x的取值范围得出x=﹣2时，y=3，代入函数解析式得出k的值即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴函数y=kx﹣k+1是减函数．
∵当﹣2≤x≤2时，函数y=kx﹣k+1（k为常数且k＜0）有最大值3，
∴当x=﹣2时，y=3，
∴﹣2k﹣k+1=3，解得k=﹣．
故答案为：﹣．
16．如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG：GH：HC=3：2：3．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∴AG=CH，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴=，
∵HE∥BC，
∴∠AEH=90°，
∴∠HEO=∠GEO=∠BAC，
∴，
∴AO=4OG，
∴AG═CH=3OG，
∵CH=2OG，
∴AG：GH：HC=3：2：3，
故答案为：3：2：3．
三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．
17．（1）计算：（﹣1）0﹣|﹣3|+cos60°．
（2）化简：（a﹣2）2﹣a（a+2）．
【考点】实数的运算；整式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣3+=﹣；
（2）原式=a2﹣4a+4﹣a2﹣2a=﹣6a+4．
18．先化简：，然后从0≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入
求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先通分，再把分子相加减，选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=﹣
=
=
=x+1，
当x=0时，原式=1．
19．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．（1）求证：△ABP≌△CAQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ；（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAQ=60°，
∴△APQ是等边三角形．
20．数学复习课上，老师出示5张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写有下列方程：
（1）若把这5张卡片的背面朝上且搅匀，从中随机抽取一张卡片，则抽到卡片上有一元二次方程的概率是多少？
（2）请按一定的规则把这5个方程分成两类，写出你的分类规则，并把分类结果分别填在下列两个大括号内（只需填方程的序号）．
{ ①②③⑤}；{ ④}．
【考点】概率公式．
【分析】（1）先根据一元二次方程的定义找出一元二次方程，再根据概率公式即可得出结论；（2）根据整式方程与分式方程的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）∵共有5个方程，一元二次方程有2个，
∴抽到卡片上有一元二次方程的概率=．
故答案为：；
（2）∵一元二次方程和一元一次方程是整式方程，
∴可以把方程分为整式方程和分式方程，即①②③⑤；④．
故答案为：①②③⑤，④．
21．某商场对A、B两款运动鞋的销售情况进行了为期5天的统计，得到了这两款运动鞋每天的销售量及总销售额统计图（如图所示）．已知第4天B款运动鞋的销售量是A款的．
（1）求第4天B款运动鞋的销售量．
（2）这5天期间，B款运动鞋每天销售量的平均数和中位数分别是多少？
（3）若在这5天期间两款运动鞋的销售单价保持不变，求第3天的总销售额（销售额=销售单价×销售量）．
【考点】折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．
【分析】（1）由统计图可知第4天A款运动鞋销量是6双且B款运动鞋的销售量是A款的
可得；
（2）根据平均数与中位数定义求解可得；
（3）设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为x元/双，根据第1天和第5天的总销售额列方程组求出A、B款运动鞋单价，即可得解．
【解答】解：（1）6×=4（双）．
答：第4天B款运动鞋的销售量是4双；
（2）B款运动鞋每天销售量的平均数为：=5.8（双），
销售量从小到大排列为：3，4，6，7，9，故中位数为6（双）；
（3）根据题意，设A款运动鞋的销售单价为x元/双，B款运动鞋的销售单价为x元/双，
则：，
解得：．
故第3天的总销售额为11×100+9×200=2900（元）．
22．某农户共摘收水蜜桃1920千克，为寻求合适的销售价格，进行了6天试销，试销情况如下：
第1天第2天第3天第4天第5天第6天
售价x（元/千克）20 18 15 12 10 9
销售量y（千克）45 50 60 75 90 100
由表中数据可知，试销期间这批水蜜桃的每天销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足我们曾经学过的某种函数关系．若在这批水蜜桃的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足这一函数关系．
（1）你认为y与x之间满足什么函数关系？并求y关于x的函数表达式．
（2）在试销6天后，该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克．
①若每天都按15元/千克的售价销售，则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完？
②该农户按15元/千克的售价销售20天后，发现剩下的水蜜桃过于成熟，必须在不超过2天内全部售完，因此需要重新确定一个售价，使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完，则新的售价最高可以定为多少元/千克？
【考点】反比例函数的应用．
【分析】（1）观察表格不难发现x与y的积是定值，由此即可解决问题．
（2）①根据销售天数=即可解决问题．
②由题意可知每天必须至少销售150千克，把y=150代入y=即可解决问题．
【解答】解：（1）y与x之间满足反比例函数关系，y=．
（2）①试销6天共销售水蜜桃45+50+60=75+90+100=420千克．
水蜜桃的销售价定为15元/千克时，每天的销售量为60千克，
由题意，=25天，
所以余下的水蜜桃预计还要销售25天．
②农户按15元/千克的售价销售20天后，
还剩下水蜜桃1500﹣60×20=300千克，
∵必须在不超过2天内全部售完，
∴每天必须至少销售150千克，
把y=150代入y=解得x=6，
∴新的销售价最高定为6元/千克．
23．如图，动直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x2﹣3x和y=x2﹣4x于点P，E，F，设点A，B为抛物线y=x2﹣3x，y=x2﹣4x与x轴的一个交点，连结AE，BF．
（1）求点A，B的坐标．
（2）当m＜3时，判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）连结BE，当时，求△BEF的面积．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把y=0分别代入y=x2﹣3x和y=x2﹣4x中，进而得出A，B点坐标；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠PAE=∠PBF，进而得出直线AE与BF的位置关系；（3）利用AE∥BF，得出△PAE∽△PBF，进而求出m的值，即可得出△BEF的面积．【解答】解：（1）把y=0分别代入y=x2﹣3x和y=x2﹣4x中，得
x2﹣3x=0，
解得：x1=0，x2=3，
x2﹣4x=0，
解得：x1=0，x2=4，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0）；
（2）直线AE和BF的位置关系是AE∥BF，
理由如下：
由题意得，点E的坐标为（m，m2﹣3m），
点F的坐标为（m，m2﹣4m），
∴tan∠PAE===m，
∴tan∠PBF===m，
∴∠PAE=∠PBF，
∴AE∥BF；
（3）如图1，
∵AE∥BF，
∴△PAE∽△PBF，
∴==，
即=，
解得：m=2，
∴S△BEF=EF•PB=2×2=2；
如图2，∵AE∥BF，
∴△PAE∽△PBF，
∴==，
即=，
解得：m=，
∴S△BEF=EF•PB=×=．
24．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．
（1）理解：
如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积．
（2）探究：
小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB2+CD2=AD2+BC2．你认为他的发现正确吗？试说明理由．
（3）应用：
①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP 是“垂直四边形”时，求t的值．
②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据勾股定理列出算式，比较即可；
（3）①作PD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质用t表示出AP、CQ、AD、PD，根据垂直四边形的性质列出方程，解方程即可；
②作CP⊥AB于P，GH⊥EA交EA的延长线于H，证明△CAP≌△GAH，得到PC=GH，设CA=x，根据勾股定理分别用x表示出BC和EG，计算即可．
【解答】解：（1）理解：
四边形ABCD的面积=×BD×AO BD×OC
=BD×AC
=28；
（2）探究：
∵AC⊥BD，
∴AB2=OA2+OB2，
CD2=OD2+OC2，
AD2=OA2+OD2，
BC2=OC2+OB2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，
AD2+BC2=OA2+OB2+OD2+OC2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）应用：
①如图2，作PD⊥AC于D，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB==10，
∵PD∥BC，
∴==，
由题意得，AP=5t，CQ=6t，
则==，
解得，AD=3t，PD=4t，
∵四边形BCQP是“垂直四边形”，
∴BP2+CQ2=PQ2+BC2，即（10﹣5t）2+（6t）2=（4t）2+（6﹣9t）2+82，
解得，t=，
当t=时，四边形BCQP是“垂直四边形”；
②如图3，作CP⊥AB于P，GH⊥EA交EA的延长线于H，
∵∠EAG+∠BAC=360°﹣90°﹣90°=180°，
∠EAG+∠GAH=180°，
∴∠BAC=∠GAH，
在△CAP和△GAH中，
，
∴△CAP≌△GAH，
∴PC=GH，
设CA=x，则AB=3x，
由勾股定理得BC=2x，
则PC==x，
∴AH=x，
由勾股定理得，EG==2x，∴==，
∴EG=BC．
2020年9月21日
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