高考数学微专题15答案

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2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)

数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。

函数的图象(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向12 函数的图象【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．（2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．(1)若()()f m x f m x +=-恒成立，则()y f x =的图像关于直线x m =对称.(2)设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()y f x m =-与()y f m x =-(0)m >的图象关于直线x m =对称.(3)若()()f a x f b x +=-，对任意x ∈R 恒成立，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称. (4)函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称. (5)函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称. (6)函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换（1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y f x -=与()y f x =的图像关于y x =对称. （3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到.1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()ln sin f x x x =+B ．()ln cos f x x x =-C ．()ln cos f x x x =+D ．()ln sin f x x x =-3．（2022·浙江·三模）函数1sin 22x xxy -+=+在区间[,]-ππ上的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数()2222x xx xf x -+=+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)x x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=3．（2022·湖北·模拟预测）函数()[]()0,1y f x x =∈对任意()10,1a ∈，由()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列{}n a 均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（）A ．B ．C ．D ．4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()2ln1(),cos x x f x a R x a+-=∈+的图像如图所示，则实数a 的值可能是（）A ．2-B ．12-C ．12D ．25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））函数sin 22cos x xy x=-的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-8．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()()2()ln 1cos 3f x x x x ϕ=++⋅+.则当[0,]ϕπ∈时，()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．9．（2022·吉林·三模（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x=A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）图象为如图的函数可能是（）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．22cos ()ln 2cos xf x x x +=+-B ．32cos ()ln 2cos xf x x x+=-C ．32sin ()ln2sin xf x x x+=+-D ．22sin ()ln2sin xf x x x+=-12．（2022·四川眉山·三模（理））四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（） A ．类似递增的双曲线 B ．类似递增的对数曲线 C ．类似递减的指数曲线D ．是一条S 形曲线13．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．15．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．16．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．1．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x x y x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 3．（2021·天津·高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．4．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =5．（2020·天津·高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．6．（2020·浙江·高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是 A ． B ．C ．D ．8．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．9．（2017·全国·高考真题（文））函数y ＝1＋x ＋2sin xx 的部分图象大致为（） A ． B ． C ． D ．10．（2015·浙江·高考真题（文））函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．11．（2018·浙江·高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．12．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．13．（2017·全国·高考真题（文））函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．14．（2015·安徽·高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c ，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <1．【答案】D【解析】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D 2．【答案】B【解析】对于A ，()ln sin ,0f x x x x =+≠，()ln sin ()f x x x f x -=--≠，即()ln sin ,0f x x x x =+≠不是偶函数，不符合题意；对于C, ()ln cos ,0f x x x x =+≠，()πln πcos π=ln π11f =+-<，不符合题意；对于D ，()ln sin ,0f x x x x =-≠，()ln sin ()f x x x f x -=-+≠，不符合题意；对于B ，()ln cos ,0f x x x x =-≠，()ln cos ()f x x x f x -=--=，故()f x 为偶函数，结合函数cos y x =的性质，可知B 符合题意，故选:B 3．【答案】A【解析】当0x =时，12y =，排除C 选项；当2x π=-时，0y =，排除B 、D 选项.故选：A. 4．【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ． 5．【答案】ABD【解析】当0a b >>时，A 正确；当0b a >>时，B 正确；当0a b >>时，D 正确；当0b a >>时，无此选项．故选：ABD ．1．【答案】B【解析】函数的定义域为R ，因为()()2222x xx x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ． 2．【答案】D【解析】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象关于原点对称，函数是奇函数， 1x >时()0f x >，据此，ln ()||xf x x =定义域不符合，排除A; 若 ()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，则1x >时，()0f x <，不符合图象，故排除B ；若()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩，则当x 趋向于0+时，1()e x x f x -=趋向于1-，当x 趋向于0-时，()(1)e x f x x =+趋向于1，不符合图象，故排除C;故选：D3．【答案】A【解析】由题可知()()*1n n a f a n +=∈N ，1n n a a +>，∴()n n f a a >，故函数()f x 满足()f x x >，即函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，故排除BCD.故选：A.4．【答案】C 2210x x x x x x +=-≥210x x +>，分子一定有意义.又根据图象可得，当23x π=时分式无意义，故此时分母为0，故2cos 03a π+=，即102a -+=，12a = 故选：C5．【答案】A【解析】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项；当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项. 故选：A.6．【答案】A【解析】设()sin 22cos x x f x x =-，则对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则()()()()sin 2sin 22cos 2cos x x x x f x f x x x---===---，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，则sin 20x >，所以()0f x >，排除C ．故选：A ．7．【答案】C【解析】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数，与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()4f π=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．8．【答案】D【解析】【详解】首先设()(2ln 1g x x x =++，得到()g x 为奇函数，再分别令0,,2πϕπ=，依次判断选项即可.9．【答案】A【解析】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x=>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④② 当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x << ()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 54f x f ≤=> ①对应的为第三个函数故选：A ．10．【答案】A【解析】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ．故选：A ．11．【答案】B【解析】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，由图象可得(2)0f <，对于函数22cos ()ln 2cos x f x x x+=+-，因为()()()222cos 2cos ()ln ln ()2cos 2cos x x f x x x f x x x+-+-=-+=+=---，所以函数22cos ()ln 2cos x f x x x +=+-为偶函数，A 错，对于函数32sin ()ln 2sin x f x x x+=+-，()32sin ()ln ()2sin x f x x f x x --=-+=-+，所以函数32sin ()ln2sin x f x x x +=+-为奇函数，又32sin 2(2)2ln 02sin 2f +=+>-，与图象不符，故C 错误，对于函数22sin ()ln 2sin x f x x x+=-，()22sin ()ln ()2sin x f x x f x x --=-=-+，所以函数22sin ()ln 2sin x f x x x+=-为奇函数，又22sin 2(2)2ln 02sin 2f +=>-，与图象不符，故D 错误，对于函数32cos ()ln 2cos x f x x x+=-，因为()32cos ()ln ()2cos x f x x f x x +-=-=--，所以函数32cos ()ln2cos x f x x x +=-为奇函数，且32cos 2(2)2ln 02cos 2f +=<-，与图象基本相符，B 正确，故选：B.12．【答案】A【解析】解：依题意可得拟合函数为13 11y x-=++，()0x >，即()31333114111x x y x x x +--=+=+=++++，()0x >，由3 y x -=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >，因为3 y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A13．【答案】C【解析】12()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③ ①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.14．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减，又()11a y a x -=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.15．【答案】A【解析】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ，故选：A16．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒= 而,,r H v 2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A1．【答案】A【解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A.2．【答案】A【解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 3．【答案】B【解析】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.4．【答案】D【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.6．【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.7．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.8．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.9．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.10．【答案】D【解析】【详解】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.12．【答案】D【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得2x <20x <<C ，故选D. 13．【答案】C【解析】【详解】由题意知，函数sin 21cos x y x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．14．【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ．考点：函数的图像。

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题

2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ．【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−．【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−．由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ．故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+，则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−，故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确．又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=，整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ，两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=，即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=．故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有，设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−，即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ，则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−，又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=，又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解；（2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−，因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。

【高考数学】《函数切线问题》微专题

【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为．析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ，是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭．考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况，即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图，很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -，结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。

函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质（1）两个奇函数的和仍为奇函数；（2）两个偶函数的和仍为偶函数；（3）两个奇函数的积是偶函数；（4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

2023年高考数学微专题练习专练15定积分与微积分基本定理含解析理

专练15 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A .－1B ．－13C ．13D ．13．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5.⎠⎛－11(1－x 2＋sin x)d x ＝( )A ．π4B ．π2C ．πD ．π2＋26．设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A .－1B ．0C ．1D ．2567．设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1），x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B ．π2＋3C ．π4＋43D ．π4＋38．如图是函数y ＝cos (2x －5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )A ．34B ．54C ．32D ．32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝e x，则⎠⎛01[f′(x)＋2x]d x________．11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________.13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的平面图形的面积为________．14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．15．[2022·宁夏石嘴山一模]⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝________．16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是________．专练15 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |21 ＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝(13x 2＋2mx)|10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)， ∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20 ＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20 ＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20 ＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛－11(1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛－11sin x d x ＝0，又⎠⎛－111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛－111－x 2d x＝π2， ∴⎠⎛－11( 1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x |π0 －sin x |π0 ＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛－12f(x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋(13x 3－x)|21 ＝π2＋43.故选A .8．B S ＝－∫π60cos (2x －5π6)d x ＋∫2π3π6cos (2x －5π6)d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （2x －5π6）|π60＋[12sin (2x －5π6)]|2π3π6＝－[12sin (－π2)－12sin (－5π6)]＋[12sin π2－12sin (－π2)]＝14＋1＝54.故选B .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0 ＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．e解析：因为f(x)＝e x，所以错误!错误!0＝e ＋1－1＝e . 11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1，1). 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)|10 ＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得－⎠⎛0－a f(x)d x ＝274，即－⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x ＝274，即－(14x 4＋a 3x 3)－a 0 ＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a3×（－a ）3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3. 13.163解析：由定积分知 S ＝⎠⎛4x －(x －2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|1＝(23×8－8＋8)－0＝163. 14.13解析：由题可知矩形面积为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝2x(0≤x≤1)，抛物线及BD 围成的面积为2(1－⎠⎛01x d x)＝23，点落在阴影部分的概率为232＝13.15．e －1e＋1解析：⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝⎠⎛－1(e x－x)d x ＋⎠⎛01(e x＋x)d x ＝(e x－x 22)|0－1 ＋(e x ＋x 22)|10 ＝(e－0)[e －1－（－1）22]＋(e 1＋122)－[e 0＋0]＝1－1e ＋12＋e ＋12－1＝e －1e ＋1.16.43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设点P(x ，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2－z ，因为BC⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ，所以，BC⊥BP，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP →|＝（x －2）2＋z 2，由已知可得（z －2）2＋z 2＝2－z ，化简可得z ＝x －x24，当x ＝2时，z ＝1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2，0，1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是⎠⎛02(x －x 24)d x ＝(12x 2－x 312)|20 ＝43.。

不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <．另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c < ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ，所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)，故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。

2023年新高考数学创新题型微专题15 集合专题(新定义)(解析版)

专题15集合专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A ，B 满足{}1,2,3A B = ，若A B ≠，且[]&A B ，[]&B A 表示两个不同的“AB 互衬对”，则满足题意的“AB 互衬对”个数为（）A ．9B ．4C ．27D ．8【答案】C【分析】直接列举可得.【详解】当A =∅时，集合B 可以为{1,2,3}；当{1}A =时，集合B 可以为{2,3},{1,2,3}；当{2}A =时，集合B 可以为{1,3},{1,2,3}；当{3}=A 时，集合B 可以为{1,2},{1,2,3}；当{1,2}A =时，集合B 可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；当{1,3}A =时，集合B 可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；当{2,3}A =时，集合B 可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；当{1,2,3}A =时，集合B 可以为,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}∅.故满足题意的“AB 互衬对”个数为27.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合{A B x x A ⊗=∈∣且}x B ∉，已知集合{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--，则A B ⊗=（）A ．{3,2}-B ．{1,1}-C ．{2,3}-D ．{0}【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合{A B xx A ⊗=∈∣且}x B ∉，{3,2,2,3},{3,1,1,2}A B =--=--，所以A B ⊗={2,3}-故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合{}*,,A B z z xy x A y B ==∈∈∣，设集合{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，则*A B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据集合的新定义求得*A B ，从而确定正确答案.【详解】因为{}1,0,1A =-，{}1,1,3B =-，所以{}*3,1,0,1,3A B =--，故*A B 中元素的个数为5.故选：B.4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P ，Q 是两个非空集合，定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，若{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，则P Q ⨯中元素的个数是（）A ．3B ．4C ．12D ．16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义(){},,P Q a b a P b Q ⨯=∈∈，且{}3,4,5P =，{}4,5,6,7Q =，所以()()()()()()()()()()()(){}3,4,3,5,3,6,3,7,4,4,4,5,4,6,4,7,5,4,5,5,5,6,5,7P Q ⨯=，P Q ⨯中元素的个数是12，故选：C.5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U ，定义一种运算，(){}U M N x x M N =∈⋂ ð，若全集U =R ，{}2M x x =≤，{}31N x x =-<<，则M N = （）A ．{}21x x -≤<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤≤D ．{}21x x -≤≤【答案】C【分析】解不等式求得集合M ，求得U N ð，根据集合运算新定义，即可求得答案.【详解】由题意得{}2{|22}M x x x x =≤=-≤≤，{3U N x x =≤-ð或1}x ≥，则M N = {}12x x ≤≤，故选：C6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G 满足“如果a 、b G ∈，则a b +、a b -、ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）①0是任何数域中的元素；②若数域G 中有非零元素，则2022G ∈；③集合{2,}P xx k k ==∈Z ∣是一个数域；④有理数集Q 是一个数域．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据数域定义逐一验证即可.【详解】由定义可知，a a G -∈，即0是任何数域中的元素，①正确；若域G 中有非零元素a ，则1aG a=∈，所以112G +=∈，123G +=∈，…，120212022G +=∈，②正确；记2,4,a b ==则,a b P ∈，但12a Pb =∉，故③错误；易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.故选：C7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U 是非空数集，若非空集合A ，B 满足以下三个条件，则称(,)A B 为集合U 的一种真分拆，并规定(,)A B 与(,)B A 为集合U 的同一种真分拆．①A B ⋂=∅；②A B U ⋃=；③A 的元素个数不是A 的元素个数不是B 中的元素．则集合{1,2,3,4,5}U =的真分拆的种数是（）A ．4B ．8C ．10D ．15【答案】A【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.【详解】根据真分拆定义，当集合A 只有一个元素时，B 有四个元素，此时只能是{}{}114,1,2,3,5A B ==；当集合A 有两个元素时，B 有三个元素，此时包括{}{}223,1,2,4,5A B ==、{}{}333,4,2,1,5A B ==、{}{}443,5,2,1,4A B ==，因为(,)A B 与(,)B A 为集合U 的同一种真分拆，故只有四种真分拆.故选：A8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个n 位正整数的所有数位上数字的n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A ，集合{}34B x Z x =∈-<<，则A B ⋂真子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.【详解】由题中定义可知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，而{}34B x Z x =∈-<<，所以{}1,2,3A B = ，因此A B ⋂真子集个数为3217-=，故选：C9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A 同时具有以下三个性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若,x y A ∈，则x y A -∈；（3）若x A ∈且0x ≠，则1A x∈．则称A 为“好集”．已知命题：①集合{}1,0,1-是好集；②对任意一个“好集”A ，若,x y A ∈，则x y A +∈．以下判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【详解】对于①，因为{}{}11,0,1,11,0,1∈--∈-，而{}1121,0,1--=-∉-，所以集合{}1,0,1-不是好集，故①错误；对于②，因为集合A 为“好集”，所以0,0A y y A ∈-=-∈，所以()x y x y A --=+∈，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选：D.10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M ，定义函数1,()1,M x Mf x x M -∉⎧=⎨∈⎩，对于两个集合M N 、，定义集合，{}()()1M N M N x f x f x ∆=⋅=-∣，已知{}2,4,6,8,10A =，{}1,2,4,8,16B =，用||M 表示有限集合M 中的元素个数，则对于任意集合M ，||||M A M B ∆+∆的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【分析】先根据定义化简M A ∆，M B ∆，再根据文恩图确定||M A ∆+||M B ∆最小值取法，即得结果.【详解】解：因为1,()1,M x Mf x x M -∉⎧=⎨∈⎩，所以()(){}()(){}Δ|1|1,1M N M N M N x f x f x x f x f x =⋅=-===-⋃{}|()1,()1M N x f x f x =-=，{}|,U x x M x N =∈∈⋃ð{}|,()()U U U x x M x N M N N M ∈∈= 痧，所以，M A ∆()()U U M A A M = 痧,M B ∆()()U U M B B M = 痧，所以，当()M A B ⋂⋂元素个数最多且M 中不含有A ,B 的元素之外的元素时，||M A ∆+||M B ∆最小，因为{2,4,8}A B = ,所以当{}2,4,8M A B =⋂=时，||M A ∆+||M B ∆最小，为|{6,10}||{1,16}|224+=+=，故选：B11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若x A ∈且1A x ∈就称A 是伙件关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）A ．15B ．16C ．64D ．128【答案】A【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1-，“3和13”，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A ∈，111A =∈；1A -∈，111A =-∈-；2A ∈，12A ∈；3A ∈，13A ∈；这样所求集合即由1，1-，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为42115-=，故选:A.12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合{}2,3,4,5M =，对它的非空子集A ，可将A 中的每一个元素k 都乘以()1k-再求和（如{}2,3,5A =，可求得和为：()()()2352131516⋅-+⋅-+⋅-=-），则对M 的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（）A ．18B ．16C ．-18D ．-16【答案】D【分析】由已知，先求解出集合M 的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.【详解】由已知，因为{}2,3,4,5M =，那么每个元素在集合M 的所有非空子集分别出现32个，则对于M 的所有非空子集执行乘以()1k-再求和的操作，则这些数的总和为：()()()()4235322131415116⎡⎤⋅-+⋅-+⋅⋅-=-⎣⎦+-.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如{4,6,9}的交替和是9647-+=；而{5}的交替和是5，则集合{1,2,3,4,5,6}M =的所有非空子集的交替和的总和为（）A ．32B ．64C ．80D ．192【答案】D【分析】依次计算集合{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得．【详解】集合{1}的所有非空子集的交替和的总和为1=1S ，集合{1,2}的所有非空子集的交替和的总和为212(21)4S =++-=，集合{1,2,3}的所有非空子集的交替和的总和为3123(21)(32)(31)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1,2,3,4}的所有非空子集的交替和的总和为41234(21)(32)(43)(31)S =++++-+-+-+-(42)(41)+-+-(321)+-+(432)+-+(421)(431)(4321)32+-++-++-+-=，由此猜测集合{1,2,3,,}n 的所有非空子集的交替和的总和为12n n S n -=⋅，证明如下：将集合{1,2,3,,}n 中所有的子集分为两类：第一类，集合中无n ，第二类，集合中有n 这个元素，每类中集合的个数为12n -我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第一类中集合A 对应着第二类中集合{}A n ，此时这两个集合的交替和为n ，故集合{1,2,3,,}n 的所有非空子集的交替和的总和为12n n S n -=⋅，所以5662192S =⨯=．故选：D ．14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若{,,}{1,2,3,4,5}A a b c =⊆，且A 为互斥集，则111a b c++的最大值为（）A ．116B ．1312C ．74D ．4760【答案】C【分析】由集合的新定义先确定集合A ，而要想111a b c++取得最大值，则,,a b c 要最小，从而确定,,a b c ，即可求解【详解】因为{,,}{1,2,3,4,5}A a b c =⊆，所以A 为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5又且A 为互斥集，所以A 为{}{}{}{}{}{}1,2,4,1,2,5,1,3,5,2,3,4,2,4,5,3,4,5，要想111a b c++取得最大值，则,,a b c 要最小，此时{},,1,2,4a b c ∈，不妨令1,2,4a b c ===，则11111171244a b c ++=++=，故选：C15．（2022·上海·高一专题练习）设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可．【详解】解：①中由于{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故①不是集合X 上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D ．16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算{=A B x x A -∈且}x B ∉称为集合A 与集合B 的差集；定义集合运算()()A B A B B A ∆=--U 称为集合A 与集合B 的对称差，有以下4个命题：①A B B A∆=∆②()()A B C A B C ∆∆=∆∆③()()()A B C A B A C ∆=∆I I I ④()()()A B C A B A C ∆=∆U U U 则4个命题中是真命题的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.【详解】对于①，()()()()B A B A A B A B B A A B ∆=--=--=∆ ，①对；对于②，{=A B x x A -∈且}{x B x x A ∉∈且()}()=x A B A A B ∉⋂-⋂，同理()B A B A B -=- ，则()()()()A B A B B A A B A B ∆=--=- ，所以，()()()A B C A B C A B C ∆∆=∆-∆ 表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：同理()()()A B C A B C A B C ∆∆=∆-∆ 也表示如上图阴影部分区域所示，故()()A B C A B C ∆∆=∆∆，②对；对于③，()()()()A B C A B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ，③对；对于④，如下图所示：所以，()()()A B C A B A C ∆≠∆U U U ，④错.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.二、多选题17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，其中{}0,1,2,3k ∈，记为[k ，即[]{}4,Z k x x n k n ==+∈，以下判断正确的是（）A ．[]20221∈B ．[]33-∈C ．[][][][]0123Z = D ．若[]0a b -∈，则整数a ，b 属于同一个类【答案】CD【分析】根据给定的定义，计算判断A ，B ；推理判断C ，D 作答.【详解】{}0,1,2,3k ∈，[]{|4,Z}k x x n k n ==+∈，202245052=⨯+，即2022[2]∈，而[1][2]=∅ ，因此2022[1]∉，A 不正确；34(1)1-=⨯-+，即3[1]-∈，而[1][3]=∅ ，因此33[]-∉，B 不正确；因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即[][][][]()Z 0123⊆⋃⋃⋃，反之，集合[][][][]0123⋃⋃⋃中任一数都是整数，即[][][][]()0123Z ⋃⋃⋃⊆，所以[][][][]0123Z = ，C 正确；,Z a b ∈，不妨令1122124,4,,Z,a n k b n k n n =+=+∈{}12,0,1,2,3k k ∈，则12124()()a b n n k k -=-+-，因[]0a b -∈，于是得120k k -=，即12k k =，因此整数a ，b 属于同一个类，D 正确.故选：CD18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）A ．{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 没有最大元素，N 没有最小元素D ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素【答案】ABC【分析】根据戴德金分割的定义可判断A ；举例{}{Q 0},Q 0M x x N x x =∈<=∈≥判断B;结合A 中例子可判断C;假设M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ,根据戴德金分割定义判断D.【详解】对于A ，{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割的定义，A 正确；对于B,取{}{Q 0},Q 0M x x N x x =∈<=∈≥，符合戴德金分割，M 没有最大元素，N 有一个最小元素，B 正确；对于C ，取{{Q Q M x x N x x =∈<=∈≥满足戴德金分割的定义，M 没有最大元素，N 没有最小元素，C 正确；对于D ，假设M 有一个最大元素m ，N 有一个最小元素n ,根据戴德金分割定义，必有m n <，则无法满足Q M N ⋃=，D 错误，故选：ABC .19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合A ，若对于任意a ，b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合，以下结论正确的是（）A ．集合{}0A ＝为闭集合；B ．集合{}42024A =--,，，，为闭集合；C ．集合{}3|A n n k k =∈Z ＝，为闭集合；D ．若集合12A A 、为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．【答案】AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断a b A +∈,且a b A -∈是否满足即可得到结论.【详解】对于A ：按照闭集合的定义，000,000,0.A +=-=∈故A 正确;对于B ：当4,2a b =-=-时,()()426a b A +=-+-=-∉.故{}42024A =--,，，，不是闭集合.故B 错误;对于C ：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故{}3|A n n k k =∈Z ＝，是闭集合.故C 正确;对于D ：假设{}1|3,Z A n n k k ==∈,{}2|5,Z A n n k k ==∈.不妨取123,5A A ∈∈,但是,12358A A +=∉⋃,则12A A ⋃不是闭集合.故D 错误.故选：AC三、填空题20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合{}1,2,3,I A I =⊆，若把集合M A I ⋃=的集合M 叫做集合A 的配集，则{}1,2A =的配集有___________个.【答案】4【分析】直接按定义求出符合条件的集合M ，计算个数，得到答案.【详解】解：由题意，M 可以是{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个.故答案为：4.21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合{}()123,,,,0,1,2,3,n i A a a a a a i n =≥= ，其所有元素的几何平均数记为()E A ，即()E A =．若非空数集B 满足下列两个条件：①B A ；②()()E B E A =，则称B 为A 的一个“保均值真子集”，据此，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有__个．【答案】6【分析】求出()4E A =，由此利用列举法能求出集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”的个数．【详解】因为集合{}1,2,4,8,16A =，则()4E A ==，所以，集合{}1,2,4,8,16的“保均值真子集”有：{}4、{}1,16、{}2,8、{}1,4,16、{}2,4,8，{}1,2,8,16，共6个.故答案为：6.22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合{}1,2,3,,n S n = ，若n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，则5S 的所有奇子集的容量之和为______.【答案】47【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.【详解】当5n =时，{}51,2,3,4,5S =，含有一个元素的奇子集为{}{}{}1,3,5，含有两个元素的奇子集为{}{}{}1,3,1,5,3,5，含有三个元素的奇子集为{}1,3,5，故所有奇子集的容量之和为13513153513547+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.故答案为：47.23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”，集合{}1235T =,,,中的“孤立元”是___________；对给定的集合{}123456S =,,,,,，由S 中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．【答案】56【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可.【详解】解：①对于1，112T +=∈，则1不是“孤立元”；对于2，211T -=∈，且213T +=∈，则2不是“孤立元”；对于3，312T -=∈，则3不是“孤立元”；对于5，514T -=∉，且516T +=∉，则5是“孤立元”；②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素，所以由S 中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有{}1,2,3,4，{}1,2,4,5，{}1,2,5,6，{}2,3,4,5，{}2,3,5,6，{}3,4,5,6，共6个，故答案为：5；6.24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有a F b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1b F b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是的倍数，当6,3a b ==时，623a Pb ==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，a F b ∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：325．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合A ，B 满足：（1）A B =Q ，A B ⋂=∅；（2）1x A ∀∈，若2Q x ∈且21x x <，则2x A ∈；（3）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈.给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数；④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是___________.【答案】②③【分析】根据集合中元素的特点进行判断A ，B 的关系．【详解】解：依题意可判断集合A 中的元素都小于集合B 中的元素，若集合A 的元素没有最大数，则必然存在一个数x ，使得1x A ∀∈，1x x <；如果x 是有理数，则x B ∈，且1y B ∀∈，1y x ≥，则B 有最小数为x ；如果x 是无理数，则x B ∉，且1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故②正确；若集合A 的元素有最大数，则必然存在一个有理数x ，使得1x A ∀∈，1x x ≤；1y B ∀∈，1y x >，则B 没有最小数；故③正确；故答案为：②③．26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用()Card A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),,Card A Card B Card A Card B A B Card B Card A Card A Card B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，若{}2,3A =，()(){}2210B x x mx x mx =+++=，且1A B = ，若B 中元素取最少个数时m =______.若B 中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B =______.【答案】0{}2,1,0--或{}0,1,2【分析】由题意，分情况求得()Card B ，可得方程根的情况，可得答案．【详解】由题意，可知()2Card A =，当()()Card B Card A >时，()()1A B Card B Card A =-= ，则()3Card B =；当()()Card A Card B ≥时，()()1A B Card A Card B =-= ，则()1Card B =；故B 中元素最少个数为1，此时，方程()()2210x mx x mx +++=存在唯一根，由2()x mx x x m +=+知该方程必有一个根为0，故0m -=，即0m =；同时，也可知B 中元素最多个数为3，则方程()()2210x mx x mx +++=存在三个根，则0m ≠，此时，20x mx +=必定存在两个不等实根10x =和2x m =-，则方程210x mx ++=存在唯一实根或存在两个不相等的实根但其中一个根为m -，①当210x mx ++=存在唯一实根时，由240m ∆=-=得2m =±，当m ＝2时，方程为2210x x ++=，其根31x =-，同时22x =-，故此时{}0,2,1B =--；当m ＝－2时，方程为2210x x -+=，其根31x =，同时22x =，故此时{}0,2,1B =；②当210x mx ++=存在两个不相等的实根但其中一个为m -时，()()210m m m -+⋅-+=，不成立；综上，B 中元素最多个数为3时，{}0,2,1B =--或{}0,2,1．故答案为：0；{}0,2,1--或{}0,2,1．【点睛】根据题目中的新定义，直接应用，求得结论，根据集合中元素的个数，可得方程根的情况，结合二次方程的解法，可得答案．27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合{|}x a x b ≤≤，我们把b a -称为该集合的长度，设集合2{|1927},{|(21094)(1094)0}A x a x a B x x b x b b =≤≤+=--+-≤，且,A B 都是集合{|02022}U x x =≤≤的子集，则集合A B ⋂的长度的最小值是_______．【答案】999【分析】根据题中定义，结合解一元二次不等式的方法、子集的定义、交集的定义分类讨论进行求解即可.【详解】()(){}{}221094109401094B xx b x b b x b x b =--+-≤=-≤≤∣，因为,A B 都是集合{}02022U xx =≤≤∣的子集，所以019272022001094109420222022a a ab b b ≤⎧⎪+≤≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤-≤≤⎩⎪⎪≤⎩，所以{}10941927A B x b x a ⋂=-≤≤+或{}A B x a x b ⋂=≤≤，所以A B ⋂的长度为1927(1094)3021a b a b +--=-+或b a -，所以当0,2022a b ==时，或95,1094a b ==，A B ⋂的长度的最小值为999故答案为：99928．（2023·全国·高一专题练习）设S 、T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：（ⅰ）(){}T f x x S =∈；（ⅱ）对任意12,x x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①N A =，B 为正整数集；②{}13A x x =-≤≤，{}810B x x =-≤≤；③{}01A x x =<<，R B =．其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）【答案】①②③【分析】利用两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S 到T 的函数进行判断即可【详解】条件（ⅰ）（ⅱ）说明S 到T 是一个一一映射，且函数为单调递增函数.对于①，可拟合函数1()y x x N =+∈满足上述两个条件，故是保序同构；对于②，可拟合函数8,(1)5(1),(13)2x y x x -=-⎧⎪=⎨--<≤⎪⎩满足上述两个条件，故是保序同构；对于③，可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构；故答案为：①②③四、解答题29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M 是满足下列条件的集合：①0M ∈，1M ∈；②若x y M ∈，，则x y M -∈；③若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断1M -∈是否正确，说明理由；（2）证明：13M ∈；（3）证明：若x y M ∈，，则x y M +∈且xy M ∈.【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据定义确定M 包含元素1-；（2）根据定义依次确定M 包含元素11,2,3,3-；（3）根据定义确定M 包含元素y -，即得x y M +∈结论；根据定义依次确定M 包含元素2221111()()1,,,(1),,,,1(1)22x y x y x x x x xy x x x x x +---=---,即得xy M ∈结论．【详解】（1）1M -∈正确，证明如下：由①知0M ∈，1M∈由②可得011M -=-∈；（2）证明：由（1）知1M -∈，又1M∈∴()112M --=∈，()213M--=∈由③得13M ∈；（3）证明：由①知0M∈由题知y M ∈，∴由②可得0y y M-=-∈又∵x M ∈，∴()x y M --∈，即x y M +∈；证明：由x M ∈，y M ∈，当0x =时，则0=∈xy M ；当1x =时，则=∈xy y M ；当0x ≠且1x ≠时，由②可得1x M -∈，再由③可得1M x∈，11M x ∈-∴111M x x -∈-即()11M x x ∈-，∴()1x x M -∈即2x x M -∈，∴2x M ∈即当x M ∈，2x M∈又因为当,x y M ∈，x y M +∈，∴112M x x x +=∈，∴2M x∈∴当,x y M ∈，可得()22222,,,22x y x y x y M ++∈∴()22222x y x y xy M ++-=∈．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的关键．30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A 是实数集的非空子集，称集合{},,B u v u v A u v =+∈≠且为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值．【答案】(1){}5,7,8(2)7【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解.【详解】（1）根据题意，{}2,3,5A =，235,257,358+=+=+=，{}5,7,8B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，12131415253545a a a a a a a a a a a a a a ∴+<+<+<+<+<+<+所以B 中元素个数大于等于7个，所以生成集合B 中元素个数最小值为7.。

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>1．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值．【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.02e a =， 1.02b =，ln2.02c =，则（） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()02,B ．[)0,1C ．()0,∞+D ．()2,+∞3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f xf x ->-的解集为（）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．13a ≥ B ．13a ≤C ．13a >D ．13a <1．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（） A ．a b c <>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<，若()()1262f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，则下列不等式成立的（） A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（） A ．ln()1a b +> B ．ln()0-<a b C ．122a b +<D ．3222a b +<8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（） A ．()()20212022f ef C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ，()ln e k x x =-，e 为自然对数的底数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1x >时，不等式()()f x k x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a ，求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=，若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01，内是单调函数，求实数a 的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)当0a <时，求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性； (2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若对任意[)1,x ∈+∞，都有1()ef x >成立，求实数a 的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．4．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.7．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．。

高考数学微专题---外接球(含答案)

微专题几何体的外接球一选择题1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（）A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．12πB ．28πC ．44πD ．60π3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为（）A ．32πB ．27πC ．18πD ．9π4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==O 的表面积为（）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π167．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（）A ．16π9B ．16π3 C ．64π9D ．64π38．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（） A ．18πB ．86C ．36πD ．323π9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（） A ．19π2B 1938πC ．17πD 1717π11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π312．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．4343π24B ．4343π6C ．43π2D ．43π二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．16. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足6BA BC ==，π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________ 17. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积____ 18．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______________．三解答题已知三棱锥A-BCD 中，AB=AC=BC =2，2==CD BD ，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，求该三棱锥外接球的表面积.培优点十四外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．2．补形法（补成长方体）图2图3例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．【答案】9π【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．3．依据垂直关系找球心例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32π3【答案】D【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是12r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1632ABC S =⨯=△，BD =116336ABC V S h h ==⨯=△，最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2233R R =-+，解之得2R =，所以外接球的体积是3432ππ33R =，故答案为D ．一、单选题1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==⨯=．本题选择B 选项．2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =，设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327R =+=，外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接对点增分集训球的表面积为（） A ．32π B ．27πC ．18πD ．9π【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A ．2πaB ．22πaC ．23πaD ．24πa【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以222323R a a a a R =++⇒=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a ⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭，故选C ． 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（）A ．16πB ．32πC ．60πD ．64π【答案】D【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠==-⨯⨯，2π3CBD ∴∠=，因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CDCBD=∠，设外接球半径为R ，则222=2+412162AB R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2=4π64πS R ∴=，故选D ．6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．9π16B ．25π16C ．49π16D ．81π16【答案】D【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()222222x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：98x =，则该球的表面积229814π4ππ816S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．本题选择D 选项．7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（） A ．16π9B ．16π3C ．64π9D ．64π3【答案】D【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232sin120r =︒，则2r =，又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项．8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（） A ．18π B ．86C ．36πD ．323π【答案】C 【解析】如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， 105EA ∴=正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=⨯⨯=，则5PE =，5OE R ∴=-，在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3V R ∴==球，故选C ．9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A ．7πB ．5πC ．3πD ．π【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ，PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形，由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =7R =∴该球的表面积274π4π7π4S R ==⨯=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=︒，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（） A ．19π2B 1938πC ．17πD 1717π【答案】A 【解析】由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=︒，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ∵60ABC ABD ∠=∠=︒，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①，)2226πEF R +=……②由①②解得：19R =2194ππ2S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π3【答案】B【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=︒，底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =⇒=，见图示：AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O ，∴32OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．∴球的半径37142OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ⨯=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．4343π24B ．4343π6C ．43π2D ．43π【答案】D【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ，由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线，球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=，∴72GF =，球半径743942DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =⨯=．故选D ．二、填空题13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为1616232sin60232r =⨯=⨯=︒，则外接球的半径()2232391221R =+=+=，则外接球的表面积为24π4π2184πS R ==⨯=．14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】()32163π-【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则2341634a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得4a =．于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN △的内切圆，其中4MN =，23PM PN ==22PE =．设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ≅△△，得FO PO EN PN =，即22223r r -=，解得226231r ==+∴内切球的表面积为(224π4π6232163πS r ===-． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______．【答案】8π【解析】∵三棱柱111ABC A B C -32AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，1121sin 6032AA ∴⨯⨯⨯︒⨯=，12AA ∴=， 2222cos60412BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-，3BC ∴=，设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BC R ︒＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π⨯=．故答案为8π．16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．【答案】82π3【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为AD 最小，()224AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222 故体积的最小值为82π3．。

导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)

考向14导数的概念及应用【2022·全国·高考真题】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】1ey x = 1e y x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-【2022·全国·高考真题】若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．（3）曲线()y f x ＝“在”点00(,)P x y 处的切线与“过”点00(,)P x y 的切线的区别：曲线()y f x ＝在点00(,)P x y 处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为()0k f x '＝，是唯一的一条切线；曲线()y f x ＝过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．1．在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩． 2．过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．一、导数的概念和几何性质1．概念函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='．诠释：①增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；②当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2．几何意义函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3．物理意义函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．二、导数的运算 1．求导的基本公式基本初等函数导函数 ()f x c =（c 为常数） ()0f x '= ()a f x x =()a Q ∈1()a f x ax -'=()x f x a =(01)a a >≠， ()ln x f x a a '=()log (01)a f x x a a =>≠， 1()ln f x x a'=()x f x e =()x f x e '=()ln f x x = 1()f x x'=()sin f x x = ()cos f x x '= ()cos f x x =()sin f x x '=-2．导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；（2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；（3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3．复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为x u x y y u '''=：1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线2e x y x -=在2x =处的切线方程为（） A ．34y x =+ B ．43y x =+ C ．34y x =- D ．43y x =-【答案】C【解析】()21e x y x -'=+，2|3x y ='=，曲线2x y xe -=在点（2，2）处的切线方程为()232y x -=-，即34y x =-．故选：C.2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310 B ．±310C ．35D ．±35【答案】C【解析】因为()2ln 1sin y x x =++ 所以2cos 1y x x '=++ 当0x =时，3y ，此时tan 3α=，∴2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα⋅=⋅====+++．故选：C.3．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln 3C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)3,0⎡⎣ B ．)22,0⎡⎣C ．(,23-∞D ．(,22-∞【答案】D【解析】因为)2ln 3y x x a x =++，所以123y x a x'=++，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan33y ≥'0x >恒成立，即1233x a x++-≥对任意0x >恒成立，即12a x x≤+，又1222x x +≥，当且仅当12x x =，即22x =时，等号成立，故22a ≤，所以a 的取值范围是(,22⎤-∞⎦．故选：D ．4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A【解析】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①；由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②；对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③，联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.1．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“连续不一定可导”知，“()f x 在0x x =处连续”不能推出“()f x 在0x x =处可导”, 比如函数()f x x =在0x =处连续，但是()f x x =在0x =处不可导；由“可导一定连续”知，“()f x 在0x x =处可导”可以推出“()f x 在0x x =处连续”. 因此()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的必要不充分条件答案选：B2．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（） A ．30n m <<- B ．3n m >- C ．0n < D ．30n m <=-【答案】A【解析】设切点为()3,t t -，由323y x y x '=-⇒=-，故切线方程为()323y t t x t +=--，因为()(),0m n m <在切线上，所以代入切线方程得32230t mt n --=，则关于t 的方程有三个不同的实数根，令()3223g t t mt n =--，则()2660g t t mt t m '=-=⇒=或0=t ，所以当(),t m ∈-∞，()0,∞+时，()0g t '>，()g t 为增函数，当(),0t m ∈-时，()0g t '<，()g t 为减函数，且t →-∞时，()g t →-∞，t →+∞时，()g t →+∞，所以只需()()()()300g t g m m n g t g n ⎧==-->⎪⎨==-<⎪⎩极大值极小值，解得30n m <<-故选：A3．（2022·全国·模拟预测（理））过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】设切点为(),e mm m ，()1e x y x '=+，∴切线斜率()1e m k m =+， ∴切线方程为：()()e 1e m m y m m x m -=+-；又切线过()0,P b ，()2e 1e e m m mb m m m m ∴=-+=-；设()2e m f m m =-，则()()2e mf m m m '=-+，∴当()(),20,m ∈-∞-+∞时，()0f m '<；当()2,0m ∈-时，()0f m '>；()f m ∴在(),2-∞-，()0,∞+上单调递减，在()2,0-上单调递增，又()242e f -=-，()00f =，()0f m ≤恒成立，可得()f m 图象如下图所示，则当240e b -<<时，y b =与()f m 有三个不同的交点，即当240eb -<<时，方程2e m b m =-有三个不同的解，∴切线的条数为3条. 故选：D.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（） A ．8B ．9C ．10D ．13【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅，当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B5．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（） A ．e 2B ．eC eD ．2e【答案】B【解析】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x 在e)上递增，在(e,)+∞上递减，∴max ()(e)e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B.6．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若函数()y f x =的图象上存在两个不同的点A ，B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则称函数()y f x =为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是A ．ln y x x =+B ．3y x =C ．cos y x x =-D ．sin y x x =+【答案】D【解析】对于A ，C ，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B ，23y x '=，若斜率相同，则切点300()A x x ，，300()B x x --，，代入解得切线方程分别为230032y x x x =-，230032y x x x =+；若切线重合，则00x =，此时两切点A ，B 为同一点，不符合题意，故B 错误；对于D ，1cos y x '=+，令1cos 1y x '=+=，得π()2k x k =∈Z ，则取ππ5π5π112222A B ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，切线均为1y x =+，即存在不同的两点A ，B 使得切线重合，故D 正确. 故选：D ．7．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（）A ．25e em -<-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()xf x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B8．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线2y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则下列不等式一定成立的是（） A ．219ab+≥ B ．19ab ≤C 225a b +D 22a b ≤【答案】ACD【解析】设切点为()00,x y ，因为1e x y -'=，所以0010010e 12e 1x x y x a y b --⎧=⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得01x =， 122a b +=-，即21a b +=，对于A ，2121(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2255249b a a b=++≥+=，当且仅当13a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，122a b ab =+≥18ab ≤，当且仅当14a =，12b =时，等号成立，故B 不正确；对于C 2222(12)a b a a ++-2541a a -+2215555a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当25a =，15b =时，等号成立，故C 正确；对于D ，由2222a b a b ++≥⎝⎭22a b ⇒≤D 正确. 故选：ACD9．（多选题）（2022·山东潍坊·模拟预测）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（） A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值 B ．直线P 1P 2的斜率为定值 C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1] 【答案】ABC【解析】因为ln ,01ln ln ,1x x y x x x -<<⎧==⎨≥⎩，所以，当01x <<时，1y x '=-；当1≥x 时，1y x'=，不妨设点1P ，2P 的横坐标分别为12,x x ，且12x x <，若1201x x <<≤时，直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =-，221k x =-，此时121210k k x x =>，不合题意；若211x x >≥时，则直线1l ，2l 的斜率分别为111k x =，221k x =，此时121210k k x x =>，不合题意. 所以1201x x <≤<或1201x x <<≤，则111k x =-，221k x =，由题意可得121211k k x x =-=-，可得121=x x ，若11x =，则21x =；若21x =，则11x =，不合题意，所以1201x x <<<，选项A 对；对于选项B ，易知点()111,ln P x x -，()222,ln P x x ，所以，直线12PP 的斜率为()1212212121ln ln ln 0P P x x x x k x x x x +===--，选项B 对；对于选项C ，直线1l 的方程为()1111ln y x x x x +=--，令0x =可得11ln y x =-，即点10,1ln A x ，直线2l 的方程为()2221ln y x x x x -=-，令0x =可得21ln 1ln 1y x x =-=--，即点()10,ln 1B x --，所以，()()111ln 1ln 2AB x x =----=，选项C 对；对于选项D ，联立112211ln {1ln 1y x x x y x x x =-+-=+-可得1212121221P x x xx x x x ==++，令()221xf x x =+，其中()0,1∈x ，则()()()2222101x f x x -'=>+，所以，函数()f x 在0,1上单调递增，则当()0,1∈x 时，()()0,1f x ∈，所以，()121210,121ABP P x S AB x x =⋅=∈+△，选项D 错. 故选：ABC.10．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）设函数()()()2e R xf x x ax a a -=++∈的导函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，当a 变化时，记点()()11,x f x 构成的曲线为1C ，点()()22,x f x 构成的曲线为2C ，则（）A ．曲线1C 恒在x 轴上方B ．曲线1C 与2C 有唯一公共点C ．对于任意的实数t ，直线y t =与曲线1C 有且仅有一个公共点D ．存在实数m ，使得曲线1C 、2C 分布在直线y x m =-+两侧【答案】AD【解析】对于A 选项，因为()()()2e R x f x x ax a a -=++∈，则()()22e x f x a x x -'⎡⎤=--⎣⎦，令()0f x '=可得0x =或2x a =-，因为函数()f x '存在两个零点1x 、()212x x x >，则20a -≠，即2a ≠. 当20a -<时，即当2a >时，10x =，则()12f x a =>，当20a ->时，即当2a <时，12x a =-，则()()()()121124e 2e x a f x f a a x --=-=-=+，则曲线1C 为函数()()()2e0xg x x x -=+>的图象以及射线()02x y =>，且当0x >时，()()2e 0xg x x -=+>，所以，曲线1C 在x 轴上方，A 对；对于B 选项，当20a -<时，即当2a >时，22x a =-，则()()()()222224e 2e x a f x f a a x --=-=-=+，当20a ->时，即当2a <时，20x =，则()22f x a =< 所以，曲线2C 为函数()()()2e0xh x x x -=+<的图象以及射线()02x y =<，由图可知，曲线1C 、2C 无公共点，B 错；对于C 选项，对于函数()2e x x g x +=，()()1210e exx x x g x -++'==-<，此时函数()g x 在()0,∞+上单调递减，且()0g x >，结合图象可知，当0m ≤时，直线y t =与曲线1C 没有公共点，C 错；对于D 选项，对于函数()2e x x x ϕ+=，()1ex x x ϕ+'=-，则()01ϕ'=-，又因为()02ϕ=，所以，曲线()y x ϕ=在0x =处的切线方程为2y x -=-，即2y x =-+. 构造函数()()2222e e x xx x p x x x ++=--+=+-，则()00p =， ()1e 11e e x x xx x p x +--'=-=，令()e 1xm x x =--，则()e 1x m x '=-，当0x <时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，当0x >时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增，所以，()()00m x m ≥=，所以，()e 10ex xx p x --'=≥且()p x '不恒为零，所以，函数()p x 在R 上为增函数，当0x <时，()()00p x p <=，即22e xx x +<-+，当0x >时，()()00p x p >=，即22e xx x +>-+，所以，曲线1C 、2C 分布在直线2y x =-+的两侧，D 对.故选：AD.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________．【答案】1【解析】设函数22f xx ，()3ln g x x ax =-的公共点为()00,x y ，则()()()()0000,,f xg x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩即200000023,32,0,x lnx ax x a x x ⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪⎪>⎩则2003ln 10x x +-=．令()23ln 1h x x x =+-，易得()h x 在()0,∞+上单调递增，所以以由2003ln 10x x +-=，解得01x =，所以切点为()1,1-，所以13ln1a =-，则1a =．故答案为：1.12．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________. 【答案】8【解析】设直线y x a =+与曲线121x y e b -=-+相切于点()00,x y 由函数121x y e b -=-+的导函数为1x y e -'=，则001|e 1x x x k y -='===解得01x =所以0122y a b =+=-，即21a b +=则()21214424428b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⨯ ⎪⎝⎭当且仅当4b aa b =，即11,24a b ==时取得等号. 故答案为：813．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线. 【答案】32()f x x x （答案不唯一）【解析】若()f x 同时满足所给的两个条件，则2()320f x x ax '=-+≤对[1,)x ∈+∞恒成立，解得：min32a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即32a ≤，且2()321f x x ax '=-+=-在[)1,+∞上有解，即3122x a x=-在[)1,+∞上有解，由函数的单调性可解得：31122x a x=-≥. 所以312a ≤≤.则32()f x x x （答案不唯一，只要()f x 满足32()f x x ax =-+（312a ≤≤即可）故答案为：32()f x x x14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知()e 1xf x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，请写出()f x 与()g x 的一条公切线的方程______．【答案】e 1y x =-或y x =【解析】设公切线与()f x 相切于点(),e 1mm -，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，()e x f x '=，()1g x x '=，∴公切线斜率1e mk n==； ∴公切线方程为：()e 1e m m y x m -+=-或()1ln 1y n x n n--=-，整理可得：()e 1e 1m my x m =---或1ln y x n n=+， ()1e 1e 1ln m m n m n⎧=⎪∴⎨⎪-+=-⎩，即()ln 1e 1ln mm n m n =-⎧⎨-+=-⎩， ()()()1e 11e 10m m m m m ∴-+-=--=，解得：1m =或0m =， ∴公切线方程为：e 1y x =-或y x =.故答案为：e 1y x =-或y x =.15．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数()()2e ,xf xg x x a==，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a 的取值范围__________．【答案】2e (,0),4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】数形结合可得：当0a <，存在一条直线同时与两函数图象相切；当0a >，若存在一条直线同时与两函数图象相切，则,()0x ∈+∞时，2e xx a=有解，所以21,(0,)ex x x a ∞=∈+，令2(),(0,)ex x h x x ∞=∈+，因为22(2)()e e x x x x x x h x --=='，则当(0,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 为单调递增函数；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 为单调递减函数；所以()h x 在2x =处取得极大值，也是最大值，最大值为24(2)eh =，且()0h x >在,()0x ∈+∞上恒成立，所以2140,e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即2e (,0),4a ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭．故答案为：2e (,0),4a ∞∞⎡⎫∈-⋃+⎪⎢⎣⎭16．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数()()211ln 21,4212,2x x f x x x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪++≤⎪⎩，函数在1x =处的切线方程为____________．若该切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是____________．【答案】 210x y --=【解析】切点坐标为()1,0，()142f x x '=-，()112k f '==，所以切线l 方程为1122y x =-．函数5124f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()f x 过点15,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当切线l 过点15,24a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，切线l 与函数()f x 的图象有三个公共点，将其代入切线l 方程得32a =-；当切线l 与()22f x x x a =++（12x ≤）相切时直线与函数()f x 的图象只有两个公共点，设切线l ：1122y x =-与()22f x x x a =++（12x ≤）在0x x =处相切，()001222k f x x '==+=，034x =-，所以切点坐标为315,416a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入切线方程解得116a =，因此直线与曲线有三个交点时，31216a -<≤．故答案为：32-；31,216⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1．（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l 在曲线y x =(00x x ，则00x >，函数y x =2y x'=，则直线l 的斜率02k x ，设直线l 的方程为)0002y x x x x =-，即0020x x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +=00145x + 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 4．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（） A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >3x <，令()0f x '<得33x <<，所以()f x 在33(上单调递减，在3(,-∞，3()+∞上单调递增，所以3x =是极值点，故A 正确；因323(10f =>，323(10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当3x ≥()30f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在3⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 故选：AC.5．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】 1e y x = 1ey x =- 【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =- 6．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+ 【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围. 【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++,切线方程为：()()()0000e 1e x xy x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()0000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞, 故答案为：()(),40,-∞-+∞7．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．【答案】0,1 【解析】【分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1211x e A x M +，2221x e B x N =+，化简即可得解.【详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11xxxxe e x x e AM e y M x -+=---+，所以()112221111x x x e x e x AM ++，同理2221x e B x N +, 所以()1111212222122221110,1111x x x x x x x e x e e e e e e Nx AM B -===+⋅++∈+++⋅=. 故答案为：0,1 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 8．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+= 【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．9．（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x =【解析】【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.10．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．【答案】(1)3 (2)[)1,-+∞ 【解析】【分析】（1）先由()f x 上的切点求出切线方程，设出()g x 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上的切点坐标，分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. (1)由题意知，(1)1(1)0f -=---=，2()31x f x '=-，(1)312f '-=-=，则()y f x =在点()1,0-处的切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()22g x x '==，解得21x =，则(1)122g a =+=+，解得3a =；(2)2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y xx x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,11 ()1,+∞()h x '-+-0 +()h x527141-则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==，当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭，113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在113113,33a a ⎡⎤⎢⎥⎣-+-⎦-上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 12．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()St 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()St 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t t =⋅，令a t 2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a +=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2)(2)2a a a a a a a -++==．因为0a >，所以令()0g a '=，得2a =随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表： a()0,22()2,+∞()g a '-0 +()g a减极小值增所以min [()](2)822g a g === 所以当2a =2t =时，2min 1[()](82)324S t =⨯=．因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a+=>的最小值．令433412444444()482a g a a a a a a a a a a+==+++≥⋅⋅⋅= 当且仅当34a a=，即2a = 所以当2a =2t =时，2min 1[()](82)324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41626416324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.。

高考数学培优微专题解答题部分(学生版)

高考数学培优微专题讲义解答题篇数学培优微专题《等差等比的证明》 2数学培优微专题《明确等差等比求通项》 5数学培优微专题《给和式求通项》 7数学培优微专题《裂项相消法求和》 10数学培优微专题《错位相减法求和》 14数学培优微专题《数列中多规律求和》 18数学培优微专题《数列的和与不等式》 22数学培优微专题《边角互化》 26数学培优微专题《知三解三角形》 30数学培优微专题《爪型三角形》 34数学培优微专题《多边多角问题》 38数学培优微专题《解三角形中的最值问题》 41数学培优微专题《平行的证明》 45数学培优微专题《垂直的证明》 48数学培优微专题《度量角度》 51数学培优微传题《度量体积和距离》 56数学培优微专题《探索点的位置及边长的大小》 60数学培优微专题《求标准方程》 66数学培优微专题《建设限代化处理轨迹方程》 68数学培优微专题《圆锥曲线中的三定问题》 70数学培优微专题《圆锥曲线中的静态求值》 75数学培优微专题《圆锥曲线中的动态最值》 80数学培优微专题《回归分析与独立性检验》 84数学培优微专题《概率分布列》 92数学培优微专题《确定函数处理切线单调极值》 98数学培优微专题《已知单调性求参数范围》 101数学培优微专题《单调性由一个因式决定》 103数学培优微专题《单调性由两个因式决定》 105数学培优微专题《零点极值点个数问题》 107数学培优微专题《不等式恒成立与分离》 110数学培优微专题《不等式恒成立与端点相关》 113数学培优微专题《指对与隐零点问题》 117数学培优微专题《极值点偏移》 120数学培优微专题《双变量问题》 125数学培优微专题《等差等比的证明》1.数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n -3n (n ∈N *).2.已知数列a n 中，a 1=1,a 2=4,a n +2-4a n +1+3a n =0,n ∈N *3.数列{a n }满足a 1=12 ，a n +1-a n +a n a n +1=0(n ∈N *)(1)求证1a n为等差数列，并求{a n }的通项公式；4.已知数列a n 满足a 1=0，a n +1=2a n +n -1,n ∈N ∗，{a n }的前n 项和为S n ，(1)求证：数列{a n +n }是等比数列，并求a n ;(2)求S 10．5.已知数列{a n }的首项a 1=35,a n +1=3a n 2a n +1 ,n ∈N *．(1)求证：数列1a n -1 为等比数列；(2)记S n =1a 1+1a 2 +⋯+1a n ，若S k <100，求正整数k 的最大值；(3)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m -1，a s -1，a n -1成等比数列?如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由．6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=3,nS n +1=(n +1)S n +2n 2+n -1 ．(1)证明数列S n -2n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式;(2)若bn =2n ⋅a n ，求数列{b n }的前项和T n ．数学培优微专题《明确等差等比求通项》1.已知等差数列a n的公差d为整数，且a2+a3+a4=18，a3是a2和a5-1的等比中项．2.已知数列a n是递增的等比数列，满足a1=4，且54a3是a2、a4的等差中项，数列b n满足b n+1=b n+1，其前n项和为S n，且S2+S6=a4．3.在①S3=12，②2a2-a1=3，③a8=24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，__，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．4.已知等差数列{a n}与正项等比数列{b n}满足a1=b1=3，且b3-a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；5.已知等比数列{a n}的首项a1=3，前n项和为S n，公比不为1，4S9是S3和7S6的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式;6.给出以下三个条件：①4a3，3a4，2a5成等差数列;②对于∀n∈N*，点(n,S n)均在函数y=2x-a的图像上，其中a为常数;③S3=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{a n}是一个公比为q(q>0,q≠1)的等比数列，且它的首项a1=1，．(1)求数列{a n}的通项公式;数学培优微专题《数列求通项之给S n 求a n 》1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n -2n +1．(1)求a n 和S n ；2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=12 ，a n+2S n S n -1=0(n ≥2)．(I )问：数列1S n是否为等差数列？并证明你的结论；(II )求S n 和a n ；3.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a n =S n +n 2．(1)若数列a n +t 是等比数列，求t 的取值；(2)求数列a n 的通项公式；4.在①S n+1=S n+1，②4S n-1是2n+1与a n的等比中项，③4S n=(1+a n)2(a n >0)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且满足________，若b n=1a n a n+1 ，求使不等式b1+b2+⋯+b n>919成立的最小正整数n．5.设数列a n的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1-2S n=1，n∈N*．(1)证明：S n+1为等比数列，求出a n的通项公式；6.在①S n +1=4S n +1，②3S n =a n +1-2，③3S n =22n +1+λ(λ∈R )三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面问题中，并加以解答．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n 与S n 满足______，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列b n =a n (a n +1)(a n +1+1)，数列{b n }的前n 项和T n ，求证：T n <19 ．数学培优微专题《裂项相消法求和》1.已知数列{2a n }是等比数列，且a 1=3,a 3=7(1)证明：数列a n 等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列{1(a n -1)(a n +1)}的前n 项和S n 2.设数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+(2n -1)a n =2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列a n 2n +1 的前n 项和．3.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a n =S n +n 2．(1)若数列a n +t 是等比数列，求t 的取值；(2)求数列a n 的通项公式；(3)记b n =1a n +1 +1a n a n +1 ，求数列b n 的前n 项和T n ．4.已知数列n a n -1的前n 项和为n ，数列{b n }满足b 1=1，b n +1-b n =a n ，n ∈N *．(Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n }满足c n =a2n b 2n ,n ∈N *，证明：c1+c 2+⋅⋅⋅+c n <4．5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=12 ，a n +1=n +12n a n．(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n =2-S n n (n +1),n ∈N *，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明34 ≤T n <1．6.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n +1=2S n +1n ∈N + ，数列b n 满足b 1=1，b n +1=b n +a n ．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)若数列c n 满足c n =a n b n ⋅b n +1且c 1+c 2+...+c n ≥(2b n -1)λ+1对任意n ∈N +恒成立，求实数λ的取值范围．数学培优微专题《错位相减法求和》1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2n 2+n ，n ∈N *，数列b n 满足a n =4log 2b n +3，n ∈N *．(Ⅰ)求a n 、b n ；(Ⅱ)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 3=14，且2a 1，a 2，12 a 3依次构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)请从①b n =a n +n ；②b n =na n ；③b n =1log 2a n ⋅log 2a n +1这三个条件选择一个，求数列{b n }的前n 项和T n ．3.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3 =12，b3=a4-2a1，S11=11b4．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2n b2n-1}的前n项和(n∈N*).4.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)证明数列{a n}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b n=log3a n，记数列b n an的前n项和为Tn，证明13≤Tn<34 ．5.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1=a n+2(n∈N*)，a3+a4=12，数列{b n}为等比数列，且b1=a2，b2=S3．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=(-1)n a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．6.已知数列a n满足a1=2，a n+1=2(S n+n+1)(n∈N*)(1)求证：a n+1的通项公式是等比数列；并写出a n(2)求数列na n的前n项和S n数学培优微专题《数列中多规律求和》1.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数.(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；(2)求{a n}的前20项和．2.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5．(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)数列{a n}和{b n}中的所有项分别构成集合A、B，将集合A∪B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n}，求数列{c n}的前50项和S503.已知数列a n的前n项和为S n，且n、a n、S n成等差数列，b n=2log2(1+a n)-1．(1)证明数列a n+1是等比数列，并求数列a n的通项公式；(2)若数列b n中去掉数列a n的项后余下的项按原顺序组成数列c n，求c1+c2+⋯+c100的值．4.已知数列a n的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=na n+1，n∈N*．(1)求a n的通项公式；(2)设数列b n：a1,b2,a3,b4,a5,b6, 满足b1=1，b n b n+1=2n，n∈N*，按照如下规律构造新数列c n⋯，求c n的前2n项和．5.数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1-1=S n+2a n(n∈N*).(1)若数列{a n+1}不是等比数列，求a n；(2)若a1=1，在a k和a k+1(k∈N*)中插入k个数构成一个新数列{b n}：a1，1，a2，3，5，a3，7，9，11，a4，⋯，插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求{b n}的前50项和T50．6.已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a5+1，a23+1成等比数列．数列{b n}满足：b1+b2+⋯+b n=2n+1-2．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)令数列{c n}的前n项和为T n，且c n=1a n a n+2,n为奇数-1bn,n为偶数，若对n∈N*，T2n≥T2k恒成立，求正整数k的值；数学培优微专题《数列的和与不等式》1.已知数列a n是公差为正的等差数列，a2是a1和a3+1的等比中项，a4=4．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)若b n=2a n，S n是数列a n⋅b n的前n项和，求使得S n<2020成立的最大整数n．2.已知数列{a n}，{b n}满足：a1=3，当n≥2时，a n-1+a n=4n；对于任意的正整数n，b1+2b2+⋯+ 2n-1b n=na n.设{b n}的前n项和为S n．(1)求数列{a n}及{b n}的通项公式；(2)求满足13<S n<14的n的集合．3.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a n=2S n-1．(1)求a1的值，并求数列{a n}的通项a n；(2)设b n=a n+2a n，数列{b n}的前n项和为T n，求使不等式T n<n2+6×2n-6成立的所有正整数n的取值组成的集合．4.已知数列a n的前n项和为S n，且满足S n=2a n-2n+1．(1)求a n和S n；(2)设数列S n的前n项和为T n，若不等式T n-t⋅2n≥0对于n∈N*恒成立，求t的取值范围．5.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 3=7，S 4=22，数列b n 是各项均为正数的等比数列，b 1=4，b 3=64．(I )求数列a n 和b n 的通项公式；(II )令p n =32+a n ，数列p n p n +2 的前n 项和A n ，求证：A n <34．6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=12 ，a n +1=n +12n a n．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =n (2-S n ),n ∈N ∗，若b n ≤λ对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．(3)设c n =2-S n n (n +1),n ∈N *，T n 是数列{c n }的前n 项和，若不等式m ≤T n <k 对于任意的n ∈N *恒成立，求实数m 的最大值与整数k 的最小值．数学培优微专题《边角互化》1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m =cos A ,cos B ，n =a ,2c -b ，且m ⎳n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =4,b =43 3，求▵ABC 面积．2.在①(a +c )(a -c )=b (b -c )，②sin A 2sin B -sin C =cos A cos C，③2b cos A =a cos C +c cos A 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在▵ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A 的大小；3.在①2a cos C +c =2b ，②cos 2B -C 2 -cos B cos C =34，③(sin B +sin C )2=sin 2A +3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．(1)求角A 的大小；4.在①2a-b=2c cos B，②S=34 (a2+b2-c2)，③3sin(A+B)=1+2sin2C2 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题。

【知识梳理】解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)

【知识梳理】解析几何的20个微专题[1]专题1：直线与方程知识梳理：（1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3）过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定（1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题（1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --. ②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程. (2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -. ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行. 本章知识结构专题2：圆的标准方程与一般方程知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当时，二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

课后答案-2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块15-圆锥曲线

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平面向量的概念及线性运算(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

考向17 平面向量的概念及线性运算1．（2022新高考1卷第3题）在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =，则CB =A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n + 【答案】B【解析】因为3CB CA AB CA AD =+=+，又因为AD CD CA =-，所以23CB CA CD =-+，即23CB m n =-+．故选B ．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=-11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2020江苏第13题）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-．在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠，即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．1.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．2.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．3.共线向量定理的应用（1）证明向量共线∶对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb （b ≠0），则a 与b 共线（2）证明三点共线若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线（3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值1．三点共线的等价转化:A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →.(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)2．向量的中线公式:若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．1．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A.12a ＋12b B ．12a －12b C ．－12a －12b D ．－12a ＋12b2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |3.如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝( )A.AC →－AD → B ．2AC →－2AD → C.AD →－AC → D ．2AD →－2AC →4．如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点F 满足CF →＝2FB →，那么EF →＝( )A.12AB →－13AD → B ．13AB →＋12AD → C.12AB →－23AD → D ．14AB →＋12AD →5.在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝( )A.13 B ．12 C ．－12 D ．－136．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上7．(多选)如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式正确的是( )A.AP →＝13AB → B ．AQ →＝23AB → C ．BP ＝－23AB → D ．AQ →＝BP →8．(多选)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( )A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)D ．已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b9．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________．10．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)一、单选题1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（） A ．2 B ．2-C ．12-D ．123．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B三点共线，则x =（） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2022·全国·模拟预测（理））在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB yAC x y =+>>，则12x y+的最小值为（）A ．9B ．8C ．4D ．25．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，()1220,0AC be e a b =->>，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（）A ．8B ．6C ．4D ．26．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边ABC 中，O 为重心，D 是OB 的中点，则AD =（） A ．AB AC + B ．2132AB AC +C ．1124AB AC +D ．2136AB AC +7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在ABC 中，P 、Q 分别是边AB 、AC 上的点，且13AP AB =，13BQ BC =，若AB a =，AC b =，则PQ =（） A ．1133a b +B ．1133a b -+C ．1133a b -D ．1133a b --9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（）A ．83B ．2C ．43D ．110．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，则()21PA PB O O +⋅=（） A ．4 B ．42C ．8D ．8211．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为510.6182-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，BF ⊥AC ，DH ⊥AC ，AE ⊥BD ，CG ⊥BD ，512BE BO -=，则BF =（）A 355510BG -++ B 355510BG --+ C 515510BG --+ D 3555BG -+12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列关系错误的是（）A ．AD DB OB OA +=- B ．0AO BE ⋅=C ．3AC AD AO +=D ．AO AD BO BD ⋅=⋅二、多选题13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形ABCDEF 中，下列说法正确的是（）A ．AC AE BF -=B ．32AC AE AD +=C ．2||AD AB AB ⋅= D ．AD 在AB 上的投影向量为AB14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（） A ．若平面上四个点P ，A ，B ，C ，1344PA PB PC =+，则A ．B ，C 三点共线 B ．已知向量(1,1),(3,)a b x ==-，若3x <，则,a b 为钝角.C ．若G 为△ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．若sin2sin2A B =，△ABC 一定为等腰三角形三、填空题15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数2,3,5,的图形，设四边形ABCD 的对角线交于点O ，若CO OA λ=，则λ=___________________．16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点P 在椭圆2214x y +=上，P 不在坐标轴上，()2,0A ，()2,1C ，()10,1B ，()20,1B -，直线1B P 与2x =交于点T ，直线2B P 与x 轴交于点S ，设OS OA λ→→=，AT AC μ→→=，则λμ+的值为______．1.（2015）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A.1433AD AB AC =-+ B.1433AD AB AC =-C.4133AD AB AC =+ D. 4133AD AB AC =-2．（20181）在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( )A ．34AB → - 14AC → B ． 14AB → - 34AC → C ．34AB → + 14AC →D ． 14AB → + 34AC → 3.ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =( )A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b+4.（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB （）A ．ADB ． AD 21C ． BC 21D ． BC5.（20132）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅= ．6.（20173）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．22C ．5D ．27.在ABC ∆所在平面内有一点O ，满足02=++AC AB OA ，1===AB OB OA ，则CB CA ⋅等于_______.8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为．若=+（，），则= ．9．(2015北京)在中，点，满足，，若，则；．1．【答案】D【解析】MD →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a)＝－12a ＋12b. 【解析】因为向量a |a|的方向与向量a 相同，向量b |b|的方向与向量b 相同，且a |a|＝b|b|，所以向量a 与向量b方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a|＝2b |2b|＝b |b|，故a ＝2b 是a |a|＝b|b|成立的充分条件． 3.【答案】D【解析】连接CD ，因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD.所以AB →＝2CD →＝2(AD →－AC →)＝2AD →－2AC →，故选D. 4．【答案】C【解析】因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为CF →＝2FB →，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选C. 5.【答案】A【解析】由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →)＝－16AB →＋12AC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13，故选A. 6．【答案】B【解析】由CB →＝λPA →＋PB →得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →.则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在直线AC 上． 7．【答案】ABC【解析】由数乘向量的定义可以得到A ，B ，C 都是正确的，只有D 错误． 8．【答案】AB【解析】对于A ，因为向量a ，b 是两个非零向量，2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ，所以a ＝27e ，b ＝－87e ，此时能使a ，b 共线，故A 正确；对于B ，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0，则非零向量a ，b 是共线向量，故B 正确；对于C ，xa ＋yb ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)，如果x ＝y ＝0，则不能保证a ，b 共线，故C 不正确；对于D ，已知梯形ABCD 中，AB ＝a ，CD ＝b ，AB ，CD 不一定是梯形的上、下底，故D 错误．故选AB. 9【答案】-4【解析】因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4. 10．【答案】b －a －a －b【解析】如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .1．【答案】B 【解析】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭．故选：B. 【解析】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠，所以12121212()22=k k e e e e e e e e k λλ-+⇒-=+，因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-，故选：C ．【解析】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥ 所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=- 整理得：()()531x m n λλ-=+又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ．【解析】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），所以21x y +=，故()12122222214529y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时等号成立，故选：A 【解析】1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，()1220,0AC be e a b =->>，由A ，B ，C 三点共线，则AB AC ∥，则()1212(21)a e e e b e λ-+=-则有121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，则有21a b +=()0,0a b >>则212144(2)4428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当11,24a b ==时等号成立）故选：A 6．【答案】D【解析】O 为ABC 的重心，延长AO 交BC 于E ，如图，E 为BC 中点，则有2211()()3323AO AE AB AC AB AC ==⋅+=+，而D 是OB 的中点，所以111121()222636AD AB AO AB AB AC AB AC =+=++=+. 故选：D 7．【答案】C【解析】因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+，所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-. 故选：C. 8．【答案】A 【解析】如图所示：1233PQ BQ BP BC BA =-=-()1233AC AB AB =-+1133AB AC =+1133a b =+.故选：A.【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP AE AF λμ=+，则1λμ+=， ∵BC//EF ，∴设AE AF k AB AC ==，则4[0,]3k ∈ ∴,AE k AB AF k AC ==，AP AE AF k AB k AC λμλμ=+=+ ∴,x k y k λμ==∴22x y=+8223k k λμ+=≤（）故选：A. 10．【答案】C【解析】设圆柱的高为h ，底面半径为r 若圆柱12O O 的轴截面是边长为2的正方形，则：22h r ==，因为AB 为圆1O 的直径，P 为圆2O 上的点，所以在PAB △中，1O 为AB 中点 ()2112112112122cos ,PA PB O O PO O O PO O O PO O O ∴+⋅=⋅=⋅⋅<>又在12PO O 中，1222,1O O h PO r ====，且122O O PO ⊥，则15PO = 如图：为圆柱的一个轴截面所以12121121225cos ,cos 55O O PO O O PO O PO <>=∠=== ()21121121252cos ,25285PA PB O O PO O O PO O O ∴+⋅=⋅⋅<>=⨯⨯⨯=故选：C. 11．【答案】D【解析】在矩形ABCD 中，由已知条件得O 是线段EG 中点，||||,||||AO BO AF BE ==，因512BE BO -=，由黄金分割比可得2515135()222EO BE BO BO ---===，于是得552BG BO OG BO EO BO -=+=+=，即有5510BO BG +=，同理有512AF AO -=，而AO BO BA =-，即5155210()AF BG BA -+=-55512BG BA =--，从而有5135255255BA BA BF BA AF BA BG BG +---=+==+，所以35525BF BA BG -=+. 故选：D 12．【答案】C【解析】对于A ，,AD DB AB OB OA AB +=-=，故A 正确，对于B ：因为AB AE =，OB OE =，所以AO BE ⊥，故B 正确，对于C ：由题意O 是ACD △的外心，不是ACD △的重心设CD 中点为M ，则2||=||||||||cos36||2cos 18AM AO OM AO AO AO +=+︒=⋅︒，24cos 18AC AD AO +=︒，故C 错误，对于D ：2211||||22AO AD AD BD BO BD ⋅===⋅，故D 正确．故选：C13．【答案】BCD【解析】因为ABCDEF 为正六边形，即每个内角都为120︒ 对于A ，AC AE EC FB BF -==≠,故A 错误.对于B ，连接,AE AC ,CE ，AD 则ACE 为等边三角形，设六边形边长为a ，CE 中点为M ，连接AM ，则3CE a =，2AD a =，32AM a =，所以322AM AD =即322AC AE AM AD +==，故B 正确. 对于C ，由B 选项可知，21cos6022AD AB AD AB a a a ⋅=︒=⋅⨯= 且22AB a =，故C 正确.对于D ，因为2AD AB =，所以AD 在AB 上的投影向量为cos60AB AD AB AB⋅︒⋅=故D ，正确. 故选:BCD. 14．【答案】AC 【解析】对于A ，由1344PA PB PC =+，所以1344PA PC PB PC PC -=+-，即14CA CB =，所以,CA CB 共线，因为,CA CB 有公共端点，所以A ．B ，C 三点共线，所以A 正确，对于B ，当3x =-时，(3,3)b =--，此时3b a =-，则,b a 的夹角为180︒，不是钝角，所以B 错误，对于C ，延长AG ，交BC 于D ，因为G 为△ABC 的重心，所以D 为BC 的中点，2AG GD =，所以2GB GC GD +=，所以AG GB GC =+，所以0GA GB GC ++=，所以C 正确，对于D ，因为sin2sin2A B =，(),0,A B π∈，所以22A B =或22180A B +=︒，所以A B =或90A B +=︒，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，所以D 错误，故选：AC15．【答案】21-【解析】,ABC ACD 都为直角三角形，45ACB ∠=，∴135BCD ∠=，22.5α∠==CDB ，22tan tan 211tan ααα==-，解得tan 21α=-，∴21OC =-，2(21)1OA =--= ∴21OCOAλ==-．故答案为：21-. 16．【答案】1【解析】：设直线1B P 的直线方程为1y kx =+，联立椭圆方程化简得22(14)80k x kx ++=，所以0x =或2814k x k -=+，当2814k x k -=+时，221414k y k -=+，所以222814(,)1414k k P k k--++.当2x =时，21y k =+，所以(2,21)T k +，所以22221411148414B Pk k k k k k -++==--+，所以直线2B P 的方程为11,4y x k =-- 当0y =时，所以4x k =-. 所以(4,0)S k -，因为OS OA λ→→=，AT AC μ→→=，所以=λ4021=2,2121k k k u k ----=-=+，所以1λμ+=. 故答案为：11.【答案】A【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB 1433=-+AB AC ．故选A2．【答案】B 【解析】11312444EB EA ABAD AB AB AC ABAB AC 故选A3.【答案】B【解析】()222,133b AD CD CA AD CA AB CA CB CA DB a 由题意：===+=+=+-21213333CB CA a b =+=+,故选B4.【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=,故选A5.【答案】2【解析】在正方形中，12AE AD DC =+,BD BA AD AD DC =+=-, 所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=6.【答案】3【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ， (2,1)D ，(,)P x y ，由等面积法可得圆的半径为25，所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，所以|2|21514z -+≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 7.【答案】3【解析】,0,02=+++=++AC OA AB OA AC AB OA ,,,OB OC O B C 三点共线又1==OB OA ，1,OA OB OC ABAC6,3,2,1π=∠==∴==ACB AC BC AB OA 故 cos36CA CB CA CB ，故答案为38．【答案】3 【解析】由可得，，由=+得，即，两式相加得，y PABCD，所以，所以．9．【答案】【解析】由=．所以，．。

《隐零点问题》高考数学培优微专题

《隐零点问题》高考数学培优微专题1.已知函数f (x )=axe x -x -ln 【考点辨析】隐零点主要指在研究导数问题中遇到的对于导函数f ′(x )=0时,不能够直接运算出来或是不能够估算出来,导致自己知道方程有根存在,但是又不能够找到具体的根是多少,通常都是设x =x 0,使得f ′(x )=0成立,这样的x 0就称为“隐零点”.【知识储备】针对隐零点问题的解决步骤:(1)求导判定是不是隐零点问题;(2)设x =x 0,使得f ′(x 0)=0成立;(3)得到单调性,并找到最值,将x 0代入f (x ),得到f (x 0);(4)再将x 0的等式代换,再求解(注意:x 0的取值范围).【例题讲解】类型一：确定函数的隐零点问题x(2)当a =1时，求f (x )的最小值．【解析】【答案】(1)当a =0时，g (x )=-x -ln x x ，定义域为0,+∞ ，则g ′(x )=-1+ln x x 2，由g ′(x )>0⇒x >e ；g ′(x )<0⇒0<x <e ，故函数g (x )的增区间为e ,+∞ ，减区间为0,e ．(2)当a =1时，f (x )=xe x -x -ln x ，定义域为0,+∞ ，则f ′(x )=x +1 e x -1-1x =x +1 e x -1+x x =x +1 e x -1x 令h (x )=e x -1x (x >0)，则h ′(x )=e x +1x2>0，所以h (x )在0,+∞ 单调递增，又h (1)=e -1>0，h 12 =e -2<0，∴h (x )存在唯一零点x 0，x 0∈12,1 ，即e x 0=1x 0，且x 0为也是f ′(x )的唯一零点，则0,x 0 x 0,+∞f ′(x )-+f (x )单调递减单调递增∴f (x )≥f (x 0)=x 0e x 0-x 0-ln x 0，由e x 0=1x 0，有x 0=-ln x 0，则f (x 0)=x 0⋅1x 0+ln x 0-ln x 0=1，从而f (x )≥f (x 0)=1，即证2.已知函数f x =ae x +b ln x ，且曲线y =f x 在点(1,f (1))处的切线方程为y =e -1 x +1．⑴求f x 的解析式；⑵证明：f x >136．【解析】【答案】解：(1)f ′(x )=ae x +b x，k =f ′(1)=ae +b =e -1，又f (1)=ae =e ，解得：a =1，b =-1，∴f (x )=e x -ln x ，(2)由(1)知f ′(x )=e x -1x ，∴f (x )=e x +1x 2>0在(0,+∞)上恒成立，∴f ′(x )在(0,+∞)上为增函数，又f ′12 =e 12-2<0，f ′23 =e 23-32>0，故存在x 0∈12,23 使f ′(x 0)=e x 0-1x 0，当x 0∈(0,x 0)，f ′(x 0)<0，当x 0∈(x 0,+∞)，f ′(x 0)>0，f (x )min =f (x 0)=e x 0-ln x 0=x 0+1x 0，又函数g (x )=x +1x 在12,23 上单调递减，故x 0+1x 0>23+32=136，即f (x )>136．3.已知函数f (x )=ax +x ln x (a ∈R )(2)当a =1且k ∈Z 时，不等式k (x -1)<f (x )在x ∈(1，+∞)上恒成立，求k 的最大值．【解析】【解答】解：(2)a =1时，f (x )=x +ln x ，k ∈Z 时，不等式k (x -1)<f (x )在x ∈(1，+∞)上恒成立，∴k <(x +xlnx x -1)min，令g (x )=x +xlnx x -1，则g ′(x )=x -lnx -2(x -1)2，令h (x )=x -ln x -2(x >1)．则h ′(x )=1-1x =x -1x>0，∴h (x )在(1，+∞)上单增，∵h (3)=1-ln3<0，h (4)=2-2ln2>0，存在x 0∈(3，4)，使h (x 0)=0．即当1<x <x 0时h (x )<0即g ′(x )<0x >x 0时h (x )>0即g ′(x )>0g (x )在(1，x 0)上单减，在(x 0+∞)上单增．令h (x 0)=x 0-ln x 0-2=0，即ln x 0=x 0-2，g (x )min =g (x 0)=x 0(1+lnx 0)x 0-1=x 0(1+x 0-2)x 0-1=x 0∈(3，4)．k <g (x )min =x 0∈(3，4)，且k ∈Z ，∴k max =3．类型二：含参函数的隐零点4.已知函数f (x )=e x +(a -e )x -ax 2.(2)若函数f (x )在区间(0，1)内存在零点，求实数a 的取值范围.【解析】【解析】(2)由题意得f ′(x )=e x -2ax +a -e ，设g (x )=e x -2ax +a -e ，则g ′(x )=e x -2a .若a =0，则f (x )的最大值f (1)=0，故由(1)得f (x )在区间(0，1)内没有零点.若a <0，则g ′(x )=e x -2a >0，故函数g (x )在区间(0，1)内单调递增.又g (0)=1+a -e <0，g (1)=-a >0，所以存在x 0∈(0，1)，使g (x 0)=0.故当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.因为f (0)=1，f (1)=0，所以当a <0时，f (x )在区间(0，1)内存在零点.若a >0，由(1)得当x ∈(0，1)时，e x >ex .则f (x )=e x +(a -e )x -ax 2>ex +(a -e )x -ax 2=a (x -x 2)>0，此时函数f (x )在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a 的取值范围为(-∞，0).5.已知函数f (x )=e x -a -ln (x +a )(a >0).(2)若函数f (x )在区间(0,+∞)上的最小值为1,求实数a 的值.【解析】(1)证明:因为f (x )=e x -a -ln (x +a )(a >0),所以f ′(x )=e x -a -1x +a .因为y =e x -a 在区间(0,+∞)上单调递增,y =1x +a在区间(0,+∞)上单调递减,所以函数f ′(x )在(0,+∞)上单调递增.又f ′(0)=e -a -1a =a -e a aea ,令g (a )=a -e a (a >0),g ′(a )=1-e a <0,则g (a )在(0,+∞)上单调递减,g (a )<g (0)=-1,故f ′(0)<0.令m =a +1,则f ′(m )=f ′(a +1)=e -12a +1>0,所以函数f ′(x )在(0,+∞)上存在唯一的零点.(2)解:由(1)可知存在唯一的x 0∈(0,+∞),使得f ′(x 0)=e x 0-a -1x 0+a =0,即e x 0-a =1x 0+a.(*)函数f ′(x )=e x -a -1x +a在(0,+∞)上单调递增,所以当x ∈(0,x 0)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.所以f (x )min =f (x 0)=e x 0-a -ln (x 0+a ),由(*)式得f (x )min =f (x 0)=1x 0+a-ln (x 0+a ).所以1x 0+a-ln (x 0+a )=1,显然x 0+a =1是方程的解.又因为y =1x -ln x 在定义域上单调递减,方程1x 0+a-ln (x 0+a )=1有且仅有唯一的解x 0+a =1,把x 0=1-a 代入(*)式,得e 1-2a =1,所以a =12,即所求实数a 的值为12.6.已知函数f (x )=a ln x -1x，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若关于x 的不等式f (x )≤x -2e在(0，+∞)上恒成立，求a 的取值范围．【解析】解　(1)因为f (x )=a ln x -1x 的定义域为(0，+∞)，且f ′(x )=a x +1x 2=ax +1x 2.①若a ≥0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，+∞)上单调递增．②若a <0，令f ′(x )=0，得x =-1a .当x ∈0，-1a 时，f ′(x )>0；当x ∈-1a ，+∞ 时，f ′(x )<0.所以f (x )在0，-1a 上单调递增，在-1a ，+∞ 上单调递减．(2)不等式f (x )≤x -2e 在(0，+∞)上恒成立等价于a ln x -x -1x +2e ≤0在(0，+∞)上恒成立，令g (x )=a ln x -x -1x +2e，则g ′(x )=a x -1+1x 2=-x 2-ax -1x 2.对于函数y =x 2-ax -1，Δ=a 2+4>0，所以其必有两个零点．又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x 0∈(0，+∞)，则x 20-ax 0-1=0，即a =x 0-1x 0.此时g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，+∞)上单调递减，故g (x 0)≤0，即x 0-1x 0 ln x 0-x 0-1x 0+2e≤0.设函数h (x )=x -1x ln x -x -1x +2e，则h ′(x )=1+1x 2 ln x +1-1x 2-1+1x 2=1+1x2 ln x ．当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0；当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增．又h 1e =h (e )=0，所以x 0∈1e ，e .由a =x 0-1x 0在1e ，e 上单调递增，得a ∈1e -e ，e -1e.【教考衔接】1.函数f(x)=xe x-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1．(1)求a和b的值；(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)≥ln x-x+m，求实数m的取值范围．【解析】【解答】解：(1)∵f(x)=xe x-ax+b，∴f′(x)=(x+1)e x-a，由函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1，知：f(0)=b=1f'(0)=1-a=-1，解得a=2，b=1．(2)∵f(x)满足：当x>0时，f(x)≥ln x-x+m，∴m≤xe x-x-ln x+1，令g(x)=xe x-x-ln x+1，x>0，则g'(x)=(x+1)e x-1-1x=(x+1)(xe x-1)x，设g′(x0)=0，x0>0，则e x0=1x0，从而ln x0=-x0，g′(12)=3(e2-1)<0，g′(1)=2(e-1)>0，由g′(12)-g′(1)<0，知：x0∈(12,1)，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增．∴g(x)min=g(x0)=x0e x0-x0-ln x0=x0e x0-x0-ln x0=x0•1x-x0+x0=1．m≤xe x-x-ln x+1恒成立⇔m≤g(x)min，∴实数m的取值范围是：(-∞，1]．2.已知函数f(x)=e x-(k+1)ln x+2sinα.(1)若函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，求实数k的取值范围；(2)当k=0时，证明：函数f(x)无零点．【解析】(1)解　f′(x)=e x-k+1x，x>0，∵函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴e x-k+1x≥0在(0，+∞)上恒成立，即k+1≤xe x在(0，+∞)上恒成立，设h(x)=xe x，则h′(x)=(x+1)e x>0在(0，+∞)上恒成立．∴函数h(x)=xe x在(0，+∞)上单调递增，则h(x)>h(0)=0，∴k+1≤0，即k≤-1，故实数k的取值范围是(-∞，-1]．(2)证明　当k=0时，f′(x)=e x-1x，x>0，令g(x)=e x-1x，x>0，则g′(x)=e x+1x2>0，∴f′(x)在(0，+∞)上单调递增，且f′12 =e-2<0，f′(1)=e-1>0，∴存在m∈12，1，使得f′(m)=0，得e m=1m，故m=-ln m，当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(m，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min=f(m)=e m-ln m+2sinα=1m+m+2sinα>2+2sinα≥0，∴函数f(x)无零点．3.设函数f(x)=e x-ax-2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.【解析】解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=e x-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(2)由于a=1,所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于k<x+1e x-1+x(x>0).①令g(x)=x+1e x-1+x,则g′(x)=e x(e x-x-2)(e x-1)2.由(1)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0, +∞)上存在唯一的零点.故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.4.已知函数f(x)=e x+1-2x+1，g(x)=ln x x+2.(1)求函数g(x)的极值；(2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)．【解析】(1)解　g(x)=ln xx+2定义域为(0，+∞)，g′(x)=1-ln xx2，则当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，+∞)时，g′(x)<0，g(x)在(e，+∞)上单调递减，故函数g(x)的极大值为g(e)=1e+2，无极小值．(2)证明　f(x)≥g(x)等价于证明xe x+1-2≥ln x+x(x>0)，即xe x+1-ln x-x-2≥0.令h (x )=xe x +1-ln x -x -2(x >0)，h ′(x )=(x +1)e x +1-1+x x =(x +1)e x +1-1x ，令φ(x )=e x +1-1x，则φ(x )在(0，+∞)上单调递增，而φ110 =e 1110-10<e 2-10<0，φ(1)=e 2-1>0，故φ(x )在(0，+∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈110，1，当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，h ′(x )<0，h (x )在(0，x 0)上单调递减；当x ∈(x 0，+∞)时，φ(x )>0，h ′(x )>0，h (x )在(x 0，+∞)上单调递增，故h (x )min =h (x 0)=x 0e x 0+1-ln x 0-x 0-2，又因为φ(x 0)=0，即e x 0+1=1x 0，所以h (x 0)=-ln x 0-x 0-1=(x 0+1)-x 0-1=0，从而h (x )≥h (x 0)=0，即f (x )≥g (x )．5.已知函数f (x )=a cos x +be x (a ，b ∈R )，曲线y =f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y =-x .(1)求实数a ，b 的值；(2)当x ∈-π2，+∞ 时，f (x )≤c (c ∈Z )恒成立，求c 的最小值．【解析】解　(1)因为f ′(x )=-a sin x +be x ，所以f ′(0)=b =-1，f (0)=a +b =0，解得a =1，b =-1.(2)由(1)知f (x )=cos x -e x ，x ∈-π2，+∞ ，所以f ′(x )=-sin x -e x ，设g (x )=-sin x -e xg ′(x )=-cos x -e x =-(cos x +e x )．当x ∈-π2，0 时，cos x ≥0，e x >0，所以g ′(x )<0；当x ∈0，+∞ 时，-1≤cos x ≤1，e x >1，所以g ′(x )<0.所以当x ∈-π2，+∞ 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，即f ′(x )单调递减．因为f ′(0)=-1<0，f ′-π4 =22-e -π4=12 12-1e π2 12,因为e π2>e >2，所以1e π2 12<12 12,所以f ′-π4>0，所以∃x 0∈-π4，0，使得f ′(x 0)=-sin x 0-e x 0=0,即e x 0=-sin x 0.所以当x ∈-π2，x 0 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(x 0，+∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )max =f (x 0)=cos x 0-e x 0=cos x 0+sin x 0=2sin x 0+π4 .因为x 0∈-π4，0 ，所以x 0+π4∈0，π4 ，所以sin x 0+π4 ∈0，22 ，所以f (x 0)∈(0,1)．由题意知，c ≥f (x 0)，所以整数c 的最小值为1.。

多解思维,多层拓展,多向归纳——以２０２１年高考数学新高考Ⅰ卷第１５题为例

㊀㊀㊀多解思维,多层拓展,多向归纳以２０２１年高考数学新高考Ⅰ卷第１５题为例◉山东省淄博第七中学㊀孙丽云㊀㊀函数的最值问题,一直是高考中比较常见的一类题型,背景新颖,创新多变．此类问题可以选择题或填空题的形式出现,也可融入解答题中,形式多样．既可以基本初等函数的组合形式来设置,也可与其他数学知识的交汇与融合来设置,变化多端．具体破解时,思维多样,方法多变,可以很好地考查学生的数学知识㊁数学思想方法和数学能力等,充分体现高考的选拔性与区分度．１真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学新高考Ⅰ卷第１５题)函数f (x )＝|２x －１|－２l n x 的最小值为．２真题剖析该题题目简洁明了,条件简单易懂,以一个一次函数的绝对值与一个对数函数的差式来建立相应的函数,进而确定该函数的最小值．以简单条件进行复合与提升．破解本题的思维各异,方法多样,可以通过去绝对值符号进行分类讨论,结合函数的单调性来确定相应的最小值;也可以借助函数图象,通过数形结合并利用导数的几何意义加以求解;还可以借助对数不等式的重要结论合理放缩,巧妙转化,利用不等式的性质加以处理等．３真题破解方法１:分类讨论法．解析:函数f (x )＝|２x －１|－２l n x 的定义域为(０,＋ɕ)．当０＜x ɤ１２时,f (x )＝－２x ＋１－２l n x ,此时函数f (x )在区间(０,１２]上为减函数,所以f (x )ȡf (１２)＝－２ˑ１２＋１－２l n １２＝２l n ２．当x ＞１２时,f (x )＝２x －１－２l n x ,则f ᶄ(x )＝２－２x ＝２(x －１)x．当x ɪ(１２,１)时,f ᶄ(x )＜０,f (x )单调递减;当x ɪ(１,＋ɕ)时,f ᶄ(x )＞０,f (x )单调递增．所以当x ＝１时,f (x )取得极小值为f (１)＝２ˑ１－１－２l n １＝１．而２l n ２＝l n ４＞l ne ＝１,所以函数f (x )在x ＝１时取得最小值,且最小值为１．故填答案:１．点评:根据函数的解析式确定函数的定义域,结合绝对值定义对自变量x 进行分段处理,进而分类讨论．一方面直接利用函数的单调性来确定极值,另一方面通过对函数求导,结合函数的单调性来确定相应的极值,最后再确定函数的最小值．分类讨论法综合了函数的单调性㊁导数及其应用等．方法２:导数的几何意义法．解析:令f (x )＝０,可得|２x －１|＝２l n x ．图１在同一平面直角坐标系中,作出函数g (x )＝|２x －１|,h (x )＝２l n x 的图象,如图１所示．数形结合可知,要使函数f (x )＝|２x －１|－２l n x 取得最小值,那么当自变量x ȡ１２时,考虑函数h (x )＝２l n x 图象的切线与直线y ＝２x －１平行的情形．求导可得h ᶄ(x )＝２x ,则由２x＝２,解得x ＝１ȡ１２．所以当x ＝１时,函数f (x )＝|２x －１|－２l n x 取得最小值f (１)＝|２ˑ１－１|－２l n １＝１．所以函数f (x )＝|２x －１|－２l n x 的最小值为１．故填答案:１．３５２０２２年１２月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀复习指引复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀点评:根据函数与方程的转化,将题目条件中的函数解析式转化为两个基本初等函数,通过作出对应函数的草图,数形结合确定函数取得最小值时的情形,结合导数的几何意义,进而求解对应的最小值．利用数形结合法,在考试中只能作出简单的草图,加以直观想象,巧妙应用．方法３:重要结论法．解析:根据对数不等式的重要结论 l n xɤx－１,当且仅当x＝１时等号成立 ,可知f(x)＝|２x－１|－２l n xȡ|２x－１|－２(x－１)ȡ(２x－１)－２(x－１)＝１．当且仅当x＝１且２x－１ȡ０,即x＝１时等号成立．所以函数f(x)＝|２x－１|－２l n x的最小值为１．故填答案:１．点评: 对数不等式的重要结论作为一个基本结论,在一些小题(选择题或填空题)中可以直接应用,利用其来合理放缩,化归转化,巧妙应用,是破解一些相关不等式问题比较常用的手段．对数不等式这一重要结论,作为课外知识的提升与拓展,有必要对其加以理解与掌握．４变式拓展通过适当改变条件,以不同的形式来巧妙设置问题,得到以下对应的变式问题．变式１㊀函数f(x)＝x２－２l n x的最小值为．解析:函数f(x)＝x２－２l n x的定义域为(０,＋ɕ)．求导可得fᶄ(x)＝２x－２x＝２(x＋１)(x－１)x．令fᶄ(x)＝０,解得x＝１．当xɪ(０,１)时,fᶄ(x)＜０,f(x)单调递减;当xɪ(１,＋ɕ)时,fᶄ(x)＞０,f(x)单调递增．所以当x＝１时,f(x)取得最小值,且最小值为f(１)＝１２－２l n１＝１．故填答案:１．变式２㊀已知函数f(x)＝a x２－x＋l n x,当xȡ１时,试求函数g(x)＝|f(x)－２l n x|的最小值．解析:g(x)＝|f(x)－２l n x|＝|a x２－x－l n x|．可设函数h(x)＝a x２－x－l n x,xȡ１．当aɤ０时,hᶄ(x)＝２a x－１－１x＜０,即h(x)在[１,＋ɕ)上单调递减,可得h(x)ɤh(１)＝a－１＜０,从而函数g(x)在[１,＋ɕ)上单调递增,可得函数g(x)的最小值为g(１)＝１－a．当aȡ１时,hᶄ(x)＝２a x－１－１xȡ２a－２ȡ０,即函数h(x)在[１,＋ɕ)上单调递增．又h(１)＝a－１ȡ０,则函数g(x)在[１,＋ɕ)上单调递增,可得函数g(x)的最小值为g(１)＝a－１．当０＜a＜１时,hᶄ(x)＝２a x－１－１x．令hᶄ(x)＝０,则方程２a x２－x－１＝０的两根异号,设x＝１＋㊀１＋８a４a．所以函数h(x)在(１,１＋㊀１＋８a４a)上单调递减,在(１＋㊀１＋８a４a,＋ɕ)上单调递增,可得函数h(x)在x＝１＋㊀１＋８a４a处取得极小值,且极小值小于０．故可得函数g(x)的最小值为０．综上可得,当aɤ０时,函数g(x)的最小值为１－a;当aȡ１时,函数g(x)的最小值为a－１;当０＜a＜１时,函数g(x)的最小值为０．５解后反思破解函数的最值问题常见的思维方法主要有以下几种:(１)导数方法领衔通过对函数进行求导运算,结合导函数零点的确定,利用导函数的正负取值情况确定函数的单调性,进而确定对应的极值,从而确定函数的最值问题．直接通过导数运算,可以解决一些熟悉或不熟悉的函数问题,合理求导,以代数运算代替逻辑推理,通过运算来分析与判断．(２)数形结合判断通过作出相应函数的图象,结合函数的图象与性质来分析与处理．利用数形结合判断函数的最值问题时,必须是一些常见的基本初等函数,或一些熟悉的特殊函数,或把不熟悉的函数合理分解并转化为熟悉的函数后再数形结合．对于复合类或不熟悉的函数类型,无法借助图象来数形结合处理．(３)不等式性质放缩在具体解决一些特殊函数的最值问题时,有时根据函数的对应关系式的特征,借助基本不等式或柯西不等式㊁不等式性质以及特殊的不等式,如上面提到的对数不等式的重要结论等,也可以很好地处理函数的最值问题．函数最值问题的求解,借助合理的代数运算与变形,结合通分㊁因式分解㊁配凑㊁平方㊁配方㊁构造等运算手段加以辅助处理,或导数方法领衔,或数形结合判断,或不等式性质放缩等,全面促进数学知识的理解与掌握,有效提高数学能力,提升数学品质,培养数学核心素养．Z４５复习备考复习指引㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年１２月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

微专题15答案

微专题15例题答案：[6－2，6＋2]．解法1设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则AB →·AC →＝(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，得到x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)＋(y 1＋y 2)－2.又x 12＋y 12＝4，x 22＋y 22＝4，则x 12＋y 12＋x 22＋y 22＋2(x 1x 2＋y 1y 2)＝2(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)＋4，即(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝2(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)＋4.设BC 的中点P(x ，y)，则(x －12)2＋(y －12)2＝32. 又BC 2＝4(4－OP 2)，OP ∈[6－22，6＋22]，则BC ∈[22－3，22＋3]＝[6－2，6＋2]．解法2设BC 的中点为M(x ，y)，因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2，有4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得(x －12)2＋(y －12)2＝32，所以点M 的轨迹是以(12，12)为圆心，62为半径的圆，所以AM 的取值范围是[6－22，6＋22]，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]．解法3由平面内长方形的性质可知OC 2＋OB 2＝OA 2＋OD 2，即OD 2＝6.则BC ＝AD ∈[6－2]，6＋2]．变式联想变式1 答案：[1，5)．解法1设A(x ，y)，B(m ，n)，因为PA →－2AB →＝0，所以(x －2，y －2)＝2(m －x ，n －y)，解得m ＝3x －22，n＝3y －22.因为两点A ，B 都在以点C 为圆心，r 为半径的圆上，所以错误! 即错误!(*)由题意得方程组(*)有解，即两个圆有公共点，故r －23r ≤错误!≤r ＋错误!r ，解得1≤r ≤5，又因为点P 在圆C 外，所以r<CP ＝5，从而1≤r<5. 解法2设点C 到直线AB 的距离为d ，则d ∈[0，r)．由题意得PM ＝5AM ，其中M 为AB 中点，因此PC 2－d 2＝5r 2－d 2，解得r 2＝1＋2425d 2∈[1，1＋2425r 2)，解得1≤r<5. 变式2解析：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋(MN 2)2，所以4＝（2＋m ）22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.串讲激活串讲1 答案：[2－1，2＋1]．解析：设圆C 1上存在点P(x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q(y 0，x 0)，则错误!故只需圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2与圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以|r－1|≤（1－0）2＋（2－1）2≤r ＋1，解得2－1≤r ≤2＋1. 串讲2解析：(1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心H(0，3)，半径12＋32＝10，圆H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以d ＝（10）2－1＝3.当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k(x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P(m ，n)(0≤m ≤1)，N(x ，y)，因为点M 是线段PN 的中点，所以M(m ＋x 2，n ＋y2)，又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以错误!即错误! 因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m ，4－n)为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r ＋2r)2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对m ∈[0，1]成立．而f(m)＝10m 2－12m ＋10在[0，1]上的值域为[325，10]，所以r 2≤325且10≤9r 2.又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对m ∈[0，1]成立，即r 2<325.故圆C 的半径r 的取值范围为[103，4105)．新题在线答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5.解析：直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴的交点A 的坐标为(－2，0)，因为点P 在直线l 上，设P(a ，a ＋2)，则以AP 为直径的圆Q 的方程为(x ＋2)(x －a)＋y[y －(a ＋2)]＝0，即[x ＋(2－a 2)]2＋[y －(a ＋22)]2＝a 2＋4a ＋42.因为AB ⊥BP ，所以点B 在以AP 为直径的圆Q 上，因为点B 在圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上，有且仅有一个，所以圆C 与圆Q 有且只有一个公共点，由A ，D 位置知直线AD 和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＝209至多一个公共点．故两圆相切(包含内切和外切)，从而|CQ|＝r Q ±2，即错误!＝a 2＋4a ＋42±2，整理得3a 2－16a ＋5＝0，解得a ＝13或a ＝5.。

【对点题型探究重点突破】第15讲用导数的几何意义研究曲线的切线(原卷及答案)高考数学复习(新高考)

第15讲用导数的几何意义研究曲线的切线真题展示2022新高考一卷第15题若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 (-∞，4)(0-⋃，)+∞ ．知识要点整理用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

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微专题15
例题
答案：[6－2，6＋2]．
解法1设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则AB →·AC →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，得到
x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)＋(y 1＋y 2)－2.又x 12＋y 12＝4，x 22＋y 22＝4，
则x 12＋y 12＋x 22＋y 22＋2(x 1x 2＋y 1y 2)＝2(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)＋4，即(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2
＝2(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)＋4.
设BC 的中点P(x ，y)，则(x －12)2＋(y －12)2＝32
.
又BC 2＝4(4－OP 2)，OP ∈[
6－22，6＋2
2
]，则BC ∈[2
2－3，
22＋3]＝[6－2，6＋2]．
解法2设BC 的中点为M(x ，y)，因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2，有4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得(x －12)2＋(y －12)2＝3
2
，
所以点M 的轨迹是以
(12，12)为圆心，6
2为半径的圆，所以AM 的取值范围是[
6－22，6＋2
2
]，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]．
解法3由平面内长方形的性质可知OC 2＋OB 2＝OA 2＋OD 2，即OD 2＝6.则BC ＝AD ∈[6－2]，6＋2]．
变式联想
变式1
答案：[1，5)．解法1设A(x ，y)，B(m ，n)，因为PA →－2AB →
＝0，所以(x －2，y －2)＝2(m －x ，n －y)，解得m ＝
3x －2
2
，n ＝3y －2
2
.因为两点A ，B 都在以点C 为圆心，r 为半径的圆上，所以
错误! 即
错误!(*)由题意得方程组(*)有解，即两个圆有公共点，故r －23
r ≤
错误!≤r ＋错误!r ，解得1≤r ≤5，又因为点P 在圆C 外，所以r<CP ＝5，
从而1≤r<5.
解法2设点C 到直线
AB 的距离为d ，则d ∈[0，
r)．由题意得PM ＝5AM ，其中M 为AB 中点，因此PC 2－d 2＝5r 2－d 2，解得r 2＝1＋2425d 2∈[1，1＋24
25r 2)，
解得1≤r<5. 变式2 解析：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.
因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为
2－0
1－（－1）
＝1，设
直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|
2
.
因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋(
MN 2
)2
，所以4＝（2＋m ）2
2＋2，解得m ＝0或m ＝－4，
故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.
(2)假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，
PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，
即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－
2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，
所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)
2
＝4相交，所以点P 的个数为2.
串讲激活
串讲1 答案：[2－1，2＋1]．解析：设圆C 1上存在点P(x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q(y 0，x 0)，
则
错误!故只需圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2与圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以
|r
－
1|≤
（1－0）2＋（2－1）2≤r ＋1，解得2－1≤r ≤2＋1.
串讲2 解析：(1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心H(0，3)，半径12＋32＝10，圆H 的方程为x 2
＋(y －3)2＝10.
设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆H 截得的弦长为2，所以
d ＝（10）2－1＝3. 当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；
当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝
k(x －3)，则|3k ＋1|
1＋k 2＝3，解
得k ＝43
，
综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.
(2)直线BH 的方程为
3x ＋y －3＝0，设P(m ，n)(0≤m ≤1)，N(x ，y)，
因为点M 是线段PN 的中点，所以M(m ＋x 2，n ＋y
2)，
又M ，N 都在半径为r 的圆
C 上，
所以
错误!即错误!
因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3，2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m ，4－n)为圆心，
2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r ＋2r)2，又3m ＋n －3＝0，所以r 2
≤10m 2
－12m ＋10≤9r 2对m ∈[0，1]成立．而f(m)＝10m 2－12m ＋10在[0，1]上的值域为[325，
10]，所以r 2≤32
5且10≤9r 2.
又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2>r 2对m ∈[0，1]成立，即r 2<32
5.故圆C 的半径r 的
取值范围为[
103，4105
)．新题在线
答案：⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
13，5.
解析：直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴的交点A 的坐标为(－2，0)，因为点P 在直线l 上，设P(a ，a ＋2)，则以AP 为直径的圆Q 的方程为(x ＋2)(x －a)＋y[y －(a ＋2)]＝0，
即[x ＋(
2－a 2
)]2
＋[y －(a ＋22)]2＝a 2＋4a ＋42.因为AB ⊥BP ，所以点B 在以AP 为直径的圆Q 上，因为点B 在圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上，有且仅有一个，所以圆C 与圆Q 有且只有一个公共点，由A ，D 位置知直线AD 和圆⎝⎛⎭⎫x －432
＋⎝⎛⎭⎫y ＋232
＝209至多一个公共点．
故两圆相切(包含内切和外切)，从而|CQ|＝r Q ±2，即
（a －22－2）2＋（a ＋22）
2＝
a 2＋4a ＋4
2
±2，整理得3a 2－16a ＋5＝0，解得a ＝1
3或a ＝5.。