五年级下册数学试题-计算综合.裂项(B级)(解析版)全国通用

（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。

（4） 通项归纳
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b
=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111
[]()(2)2()()(2)
n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
3、 对于分子不是1的情况我们有：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11
)(
()11h h n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
考试要求
知识结构
裂项
()()()()()
211
22k n n k n k n n k n k n k =-+++++
()()()()()()()()
311
23223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
()()
()()()11
222h
h n n k n k k
n n k n k n k ⎡⎤=
-⎢⎥+++++⎣⎦
()()()()()()()()11
233223h h
n n k n k n k k
n n k n k n k n k n k ⎡⎤=
-⎢⎥++++++++⎣⎦
()()()
2
21111212122121n n n n n ⎛⎫
=+- ⎪-+-+⎝⎭
二、裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

三、复杂整数裂项型运算
复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N 。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

四、“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。

（3）通项归纳及其
一、用裂项法求
1
()(2)
n
n
k n k
++
型分数求和
【例 1】
111
123234789
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
1111
...
12323434599100101
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
例题精讲
重难点
【例 2】
计算：
111
1
135357579
200120032005
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
11
1
123234
9899100
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
二、用裂项法求
2()(2)k
n n k n k ++型分数求和
分析：2()(2)k
n n k n k ++（n,k 均为自然数）
211
()(2)()()(2)
k n n k n k n n k n k n k =-
+++++
【例 3】 4444
......135357939597959799++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
444
(135357939597)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
三、用裂项法求1
()(2)(3)
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
1
()(2)(3)
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
1111
()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)
n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例 4】 计算： 111
......1234234517181920+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
四、用裂项法求3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++型分数求和
分析：
3()(2)(3)
k
n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
311
()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++
【例 5】 计算：333
(1234234517181920)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】333
(1234234521222324)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
五、复杂裂项
【例 6】1111 11212312100 ++++
++++++
【巩固】
2310
1
112(12)(123)(1239)(12310) ----
⨯++⨯++++++⨯++++
（）
【例 7】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【巩固】计算：2222
22
111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-
⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
⨯-=
【例 8】 计算：2222222222315171
19931199513151711993119951
++++++++
++=----- ．
【巩固】计算：222222
22
2222
13243598100213141991
+++++++
+=---- ．
【例 9】 计算：
222222
22
357
15
12233478++++
⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：222
212350133557
99101
+++
+=⨯⨯⨯⨯ ．
【例 10】
2350
1(12)(12)(123)(12349)(12350) +++
⨯++⨯++++++⨯++++
【巩固】
234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) ++++
⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
1、
计算：3245671 25577111116
1622222929
++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
2、22222222
122318191920
122318191920
++++
++⋯⋯++
⨯⨯⨯⨯
3、
100
2
1
1
3
2
1
1
2
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
课堂检测
4、
9998971123234345
99100101
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、
333 (1234234517181920)
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
1、 计算：
57191232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ． 家庭作业
2、 计算：5717191155234345891091011
⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）
3、 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
4、
计算：
1111135246357202224
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
5、计算：11111 2232342345234200 +++++
++++++++++。