概率论1-6

此定义可以推广到任意有限多个事件的情形 :
一般, 个事件, 一般 设A1,A2,...,An(n≥2)个事件 如果对于其中 ≥ 个事件 任意2个 任意3个 任意n个事件的积事件的概 任意 个, 任意 个, ..., 任意 个事件的积事件的概 都等于各事件概率之积, 则称事件A 率, 都等于各事件概率之积 则称事件 1,A2,...,An 相互独立. 相互独立
2 1 2 1 1 P( A) = = , P(B) = = , P( AB) = , 4 2 4 2 4 1 P(B | A) = . 2
可知P(B|A)=P(B), 而P(AB)=P(A)P(B). 可知
是试验的两事件, 设A,B是试验的两事件,若P(A)>0,则可定义 是试验的两事件 ,则可定义P(B|A). 一般, 的发生对 发生的概率有影响 的发生对B发生的概率有影响时 一般,A的发生对 发生的概率有影响时, P(B|A) ≠P(B) 影响不存在时 影响不存在时,P(B|A)=P(B),此时有 , P(AB)=P(B|A)P(A)=P(B)P(A) 定义:若两事件 定义:若两事件A,B满足 P(AB)= P(A) P(B), 满足 , 则称A 相互独立, 独立. 则称 ,B相互独立,简称 ,B独立 相互独立 简称A 独立
§6独立性
首先我们考虑下面问题: 首先我们考虑下面问题: 个产品, "有放回抽样"的产品抽样问题,总共a个产品, 有放回抽样"的产品抽样问题,总共 个产品 其中有b个次品,若前后抽样两次,有放回抽样, 其中有b个次品,若前后抽样两次,有放回抽样, 则注意到第1次是否取得正品并不影响第2 则注意到第1次是否取得正品并不影响第2次取得 正品的概率,即假设Ai表示"第i次取得正品", 正品的概率,即假设A 表示" 次取得正品" i=1,2, i= ,则P(A2|A1)=P(A2), 此时乘法公式为P(A1A2)=P(A1)P(A2) 此时乘法公式为 这就是说,已知事件 发生 并不影响事件B发生的概 这就是说 已知事件A发生 并不影响事件 发生的概 已知事件 发生,并不影响事件 这时称事件A 独立. 率,这时称事件 ,B独立 这时称事件 独立
由定义可以得到以下两点推论. 由定义可以得到以下两点推论 1,若事件A1,A2,...,An(n≥2)相互独立 则其中任意 ,若事件 相互独立, ≥ 相互独立 k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的 ≤ ≤ 个事件也是相互独立的. 个事件也是相互独立的 2,若n个事件 1,A2,...,An(n≥2)相互独立 则将 , 个事件A ≥ 相互独立, 个事件 相互独立 A1,A2,...,An中任意多个换成它们的对立事件 所得 中任意多个换成它们的对立事件, 个事件仍相互独立. 的n个事件仍相互独立 个事件仍相互独立
定理二 若 , 相互独立,则 与B A B A B A B A , 与, 与
各对事件均相互独立.
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 例2 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到 抽到K}, B={抽到的牌是黑色的 ,问事件 ,B 抽到的牌是黑色的}, 抽到 抽到的牌是黑色的 问事件A 是否独立? 是否独立?
甲乙两人进行乒乓球比赛, 例7 甲乙两人进行乒乓球比赛 每局甲胜的概率 问对甲而言, 采用三局二胜制有利, 为p, p≥1/2. 问对甲而言 采用三局二胜制有利 ≥ 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 还是采用五局三胜制有利 设各局胜负相互独立
�
P( ABC) = P( A) P( B) P( C)
不一定成立 .
袋中有4张相同大小的卡片,上面分别印有: 例3 1袋中有4张相同大小的卡片,上面分别印有: 111,001,100,010,从中任取一张,用A,B,C分 从中任取一张, A,B,C分 从中任取一张 别表示取到的卡的第1 位为1 别表示取到的卡的第1,2,3位为1 对于三个事件A 对于三个事件 ,B,C,若 , P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件 相互独立. 四个等式同时成立 则称事件A,B,C相互独立 则称事件 相互独立
一个元件(或系统 或系统)能正常工作的概率称为元件 例5 一个元件 或系统 能正常工作的概率称为元件 (或系统 的可靠性 如图 设有 个独立工作的元件 或系统)的可靠性 或系统 的可靠性. 如图, 设有4个独立工作的元件 1,2,3,4按先串联再并联的方式联接 设第 个元件 按先串联再并联的方式联接. 按先串联再并联的方式联接 设第i个元件 的可靠性为p 求系统的可靠性. 的可靠性为 i(i=1,2,3,4), 求系统的可靠性
A
P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
B
即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A,B不独立 不独立
前面我们看到独立与互斥的区别和联系, 前面我们看到独立与互斥的区别和联系, 再请你做个小练习. 再请你做个小练习 为互斥事件, 设A,B为互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四 为互斥事件 下面四 个结论中,正确的是: 个结论中,正确的是: 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的含义是:它们中一个已发生 两事件相互独立的含义是 它们中一个已发生, 不 它们中一个已发生 影响另一个发生的概率. 影响另一个发生的概率 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两 在实际应用中 往往根据问题的实际意义去判断两 事件是否独立. 事件是否独立 例如 甲,乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中 甲命中}, 乙两人向同一目标射击 记 甲命中 B={乙命中 ,A与B是否独立? 乙命中}, 与 是否独立 是否独立? 乙命中 由于"甲命中"并不影响"乙命中"的概率, 由于"甲命中"并不影响"乙命中"的概率, 故认为A 故认为 ,B独立 . 独立 (即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率) 即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)
设 A ,A2 , …, An 为n 个事件 ,如果对于任意的 1
k (1< k ≤ n) ,和任意的 1≤ i1 ≤ i2 ≤…≤ ik ≤ n 有
等式P A1 A2 …Ak = P A1 P A2 …P Ak ,则称 i i i i i i A ,A2 , …, An相互独立)
前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 也可以通过计算条件概率去做: 的,也可以通过计算条件概率去做 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记 A={抽到 抽到K}, B={抽到的牌是黑色的 则 抽到的牌是黑色的}, 抽到 抽到的牌是黑色的 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13 可见 P(A)= P(A|B), 即事件 ,B独立 即事件A 独立. 独立
又比如, 分别表示甲乙两人患感冒. 又比如 A,B分别表示甲乙两人患感冒 如果甲乙 分别表示甲乙两人患感冒 两人的活动范围相距甚远, 就认为A,B相互独立 相互独立, 两人的活动范围相距甚远 就认为 相互独立 若甲乙两人是同住在一个房间里的, 若甲乙两人是同住在一个房间里的 那就不能认 相互独立了. 为A,B相互独立了 相互独立了 但注意!并非所有问题均可利用直觉判断 但注意! 一个家庭有若干孩子,假定生男生女等可能, 例4 一个家庭有若干孩子,假定生男生女等可能, 表示" 令A表示"一个家庭里有男孩有女孩",B表示一 表示 一个家庭里有男孩有女孩" 表示一 个家庭至多只有一个女孩,在以下两种情况下讨 个家庭至多只有一个女孩, 的独立性: 论A,B的独立性: , 的独立性 个孩子;( (1)家里有 个孩子;( )家里有三个孩子. )家里有2个孩子;(2)家里有三个孩子.
为独立事件, 设A,B为独立事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四 为独立事件 下面四 个结论中,正确的是: 个结论中,正确的是: 1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0 2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
是两事件, 定理一 设A,B是两事件 且P(A)>0, 若A,B相互独 是两事件 相互独 反之亦然. 立, 则P(B|A)=P(B)反之亦然 反之亦然
多个事件的独立性
定义 设 A B C 为 事 ,如 满 等 ,, 三 件 果 足 式
P( AB) = P( A) P( B) P( AC) = P( A) P( C) P( BC) = P( B) P( C)
则称三事件 A B,C 为两两独立的事件 . ,
当 件 , , 两 立 ,等 事 A B C两 独 时 式
( )
请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 对 n (n > 2)个事件 个事件 相互独立 两两独立
?
个事件, 注1:对n个事件,定义相互独立中的定式有 :
2 3 n 0 1 Cn + Cn ++ Cn = 2n Cn Cn
= 2n 1 n
相互独立, 注2:A,B,C相互独立,则A∪B,AB,A-B与C独 : 相互独立 ∪ , , 与 独 立.
注意 若P(A)>0, P(B)>0,则A,B相互独立与 , 相互独立与 互不相容不能同时成立 A,B互不相容不能同时成立. 互不相容不能同时成立. 即若A 互斥, 不独立. 即若 ,B互斥,且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立 互斥 则 与 不独立 独立, 不互斥. 若A与B独立,且P(A)>0,P(B)>0,则A ,B不互斥 与 独立 则 不互斥 我们来计算: 我们来计算:
设试验E为 抛甲 乙两枚硬币, 抛甲,乙两枚硬币 例1 设试验 为"抛甲 乙两枚硬币 观察正反面出 现的情况". 设事件A为 甲币出现 甲币出现H", 事件 为"乙 事件B为 乙 现的情况 设事件 为"甲币出现 币出现H". E的样本空间为 币出现 的样本空间为 S={HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT}, B={HH,TH} AB={HH}. 则有
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要验收一批(100件)乐器 验收方案如下 自该 乐器, 例6 要验收一批 件 乐器 验收方案如下: 批乐器中随机地取3件测试 件测试(设 件乐器的测试是相 批乐器中随机地取 件测试 设3件乐器的测试是相 互独立的), 如果3件中至少有一件在测试中被认为 互独立的 如果 件中至少有一件在测试中被认为 音色不纯, 则这批乐器就被拒绝接收. 音色不纯 则这批乐器就被拒绝接收 设一件音色 不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为 0.95, 而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的 概率为0.01. 如果已知这 如果已知这100件乐器中恰有 件音色 件乐器中恰有4件音色 概率为 件乐器中恰有 不纯的. 试问这批乐器被接收的概率是多少? 不纯的 试问这批乐器被接收的概率是多少
又如: 一批产品共n件 从中抽取 件 又如: 一批产品共 件,从中抽取2件,设 Ai={第i件是合格品 i=1,2 件是合格品} 第 件是合格品 若抽取是有放回的, 独立. 若抽取是有放回的 则A1与A2独立 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 不受第一次抽取的影响 若抽取是无放回的, 不独立. 若抽取是无放回的,则A1与A2不独立 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响. 抽取的影响