专题2 球的内接外切问题(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

专题2：球的内接外切问题（解析版）
几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。

几何体的外接球问题你通常会想到：
①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。

这类题80%以上都不用画图，只需要2步搞定：
①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径R 常见几何体的外接球半径：
例1．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是上底面1111D C B A 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为414
π
，则此时点P 构成的图形面积为________. 【答案】π. 【分析】
设三棱锥P ABC -的外接球为球O '，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，先确定球心O '在线段AC 和11A C 中点的连线上，先求出球O '的半径R 的值，然后利用勾股定理求出OO '的值，于是得出11O O OO OO ''=-，再利用勾股定理求出点P 在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案． 【详解】
如图所示，设三棱锥P ABC -的外接球为球O '，
a
正方体
a
b
c
长方体
1
O O
V
A
B
C
正四面体 a
分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，则点O '在线段1OO 上， 由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 则ABC 的外接圆的半径为2OA =，
设球O 的半径为R ，则2
41
44
R ππ=，解得41R =.
所以，223
4OO R OA '=
-=
， 则1135
244
O O OO OO ''=-=-=
而点P 在上底面1111D C B A 所形成的轨迹是以1O 为圆心的圆， 由于41
O P R '==
，所以22111O P R OO =-=， 因此，点P 所构成的图形的面积为2
1O P ππ⨯=.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．10 B ．20π C ．24π D ．32π
【答案】C 【分析】
各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解. 【详解】
因为正四棱柱高为4，体积为16，
所以正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2， 正四棱柱的底面的对角线为2
正四棱柱的对角线为
即2R =
2
424R S R ππ===球,
故选：C
例3．在直三棱柱111ABC A B C -
中，AB =3BC =，14AA =，π
4
ABC ∠=，则该直三棱柱的外接球体积为______.
【分析】
由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积. 【详解】
在ABC 中，由余弦定理得2
2
2
π
2cos
54
AC AB BC AB BC =+-⋅=
，得AC =所以ABC
的外接圆半径112sin 22AC r ABC =⨯==
∠.
所以该三棱柱的外接球半径2R ===.
所以外接球体积3
4ππ323
V ⎛== ⎝⎭.
. 【点睛】
本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.
模型一——圆柱外接球模型
一个底面半径为r ，高为h 的圆柱，求它的外接球半径.
变形一：
如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示： 我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。

在这里棱柱的高就是公式中的h ，
而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r
例4，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a cm ，则球的表面积为（ ） A ．2
3πα B ．2
πα
C ．3
33πα
D ．3
3πα
【答案】A 【分析】
由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项. 【详解】
如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R ，则
2
2
2
2+a a R a =+，解得3
R a =
， 所以外接球的表面积为2
2
343a a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
， 故选：A .
A
B
C
1
A 1
B 1
C
【点睛】
本题考查正方体的外接球的表面积，关键在于求出球的半径，属于基础题. 例5．在直三棱柱111ABC A B C -中，22AB =3BC =，π
4
ABC ∠=，若该三棱柱的外接球表面积为26π，则三棱柱的高为（ ） A ．2 B ．42C ．4
D ．2
【答案】C 【分析】
利用余弦定理求得AC ，利用正弦定理求得三角形ABC 外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高. 【详解】
在ABC 中，2
2
2
π
2cos
54
AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=，得5AC =所以ABC 的外接圆半径115102sin 222
2
AC r ABC =⨯==
∠. 设该三棱柱的高为h ，
则该三棱柱的外接球半径2
2
211022h R r h ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
. 所以外接球表面积()2
21
4π4π1026π4
S R h ==⨯+=.解得4h = 故选：C 【点睛】
本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力.
变形二：
如果把上面的那个三棱柱上面的B 1,C 1两点去掉我们将得到右图三棱锥：
1.
ABC ⊥⊥这个三棱锥的特点是AA 底面，即有一根侧棱底面的锥体，依然符合这个模型1,.
AA h ABC r 那条垂直于底面的棱就是公式中的底面的外接圆半径就是公式中的
例
6．已知A ､B ､C ､D 为同一球面上的四个点.在△ABC 中，
23
BAC π
∠=，AB AC ==；AD =6，AD ⊥平面ABC ，则该球的体积为___________. 【答案】 【分析】
设ABC 的外接圆圆心为E ，球心为O ，根据线面垂直关系先求出OE ，再求出由余弦定理求出BC ，由AO 为球的半径，所以AOE △为直角三角形，用勾股定理及可求出球的半径，再由球的体积公式即可求解. 【详解】
由题设ABC 的外接圆圆心为E ，球心为O ，所以OE ⊥平面ABC ，因为AD ⊥平面
ABC ，所以AD 与OE 平行，因为6AD =,OA OD =，所以1
32
OE AD =
=, 因为23
BAC π
∠=
，AB AC == 6BC ==，所以122AE =⨯=，
A B
C
1
A 1
B 1
C
所以球的半径AO ==，
所以球的体积为
3
43
V π=
⨯=.
故答案为： 【点睛】
本题主要考查球体积的求法，球的内接问题，考查学生空间想象能力和计算能力. 变形三
⊥这个几何体的特点：有一个侧面矩形底面的四棱锥
规律总结：
-----R =圆柱外接球模型
①圆柱-------r,h 自带
②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高
③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；
h:垂直于底面的那条侧棱
④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径； h:垂直于那个侧面的底边长
A B C
1A 1
B 1
C A B
C
1
A 1
B
小结：求r的几种方法：
①等边三角形：
②直角三角形：
③已知一组对边和对角的非特殊三角形：
例7．如图，在棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是正方形，2
PD AB
==，PD⊥平面ABCD．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）
A2B21
C．2D21
【答案】D
【分析】
设球心为S，连接SD，SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥P ABCD
-的体积，则球的最大半径可求.
【详解】
解：由PD⊥平面ABCD，PD AB
⊥，又AB AD
⊥，PD AD D
⋂=，
所以AB⊥平面PAD，所以PA AB
⊥，222
PA DA DP
=+=，
设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接SD，SA、SB、SC、
r=斜边的一半
利用正弦定理！！！
3
3
r a
=
SP ，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R ．
四棱锥的体积
2
11
33
P ABCD ABCD V S PD -=⨯⨯=⨯=
四棱锥的表面积
2
2
11
2222242
2
PAD PAB ABCD
S S S S
=++=⨯⨯
+⨯⨯=+△△
因为13P ABCD V S R -=⨯⨯
，所以31P ABCD V R S -====． 故选：D. 【点睛】
考查利用等体积法求四棱锥内切球的半径，基础题.
模型二——补全立方体模型
类型一.正四面体：转化成正方体的外接球 方法：如图所示正四面体ABCD 的外接球， 可转化为正方体的外接球.
例8．三棱锥P ABC -的所有顶点都在半径为2的球O 的球面上.若PAC ∆是等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，则三棱锥P ABC -体积的最大值为________. 【答案】3 【分析】
作图，设PA x =，则112AO x =
，1PO
=x ，
11222PO x OO ==+=，求出x ，根据图像得，底面三角形ABC 的面
积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥P ABC -的体积最大，进而求解可得答案 【详解】
A B
C
D
根据AB BC ⊥可知，AC 为三角形ABC 所在截面圆1O 的直径，
又平面PAC ⊥平面ABC ，APC △为等边三角形，所以P 在1OO 上，如图所示，设PA x =，则112
AO x =
，1PO =
3
2
x ， 2
11312422PO x OO x ⎛⎫∴==+=- ⎪⎝⎭，2
2
312422x x ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 2
230x x ∴-=，23x ∴=11
2332
AO ∴=
⨯= 13
233PO =
⨯=，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥P ABC -的体积最大，此时，1
1
3
ABC V S
PO =⨯112333332⎛=⨯⨯⨯= ⎝ 故答案为：3 【点睛】
关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心O 的位置，得出B 到平面APC 的最大距离，难度属于中档题
类型二.有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球
A
B
例9：已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
DA=AB=BC=3
，则球O 的体积等于 .
解析：DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利
用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积等于92π
.（如图4）
类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球
例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若
A
O
图4
A
B
C
P
A
B
C
6,AB =，则球的体积是 .
解析：构造下面的长方体，于是AD 为球的直径（如图5）
类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球
,,A BCD AC BD AD BC AB CD A BCD -===-方法：如图所示，在三棱锥中，所有对棱相等，即则三棱锥的外接球可转化为长方体的外接球.
例11．在三棱锥S ABC -中，5,SA BC SB AC SC AB ======则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．20π B ．25π C ．26π D ．34π
【答案】C 【分析】
图
A
C
D
B
由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积． 【详解】
因为5,17,10
SA BC SB AC SC AB ======，所以可以将三棱锥S ABC -如图放
置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a ，b ，c ，则有2222
2217,25,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
整理得
22226a b c ++=，则该棱锥外接球的半径26
R =
，S 球2426R ππ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线．
三 .确定球心位置法
例12．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A ．
23
π
B ．
43
π C ．4π D ．5π
【答案】C 【分析】
根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积. 【详解】
因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ， 又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB 平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，
所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥.
因为21SA AC AB ===,，
所以2SC =，3SB =，1BC =，
根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点， 则外接球半径1
12
R SC =
=， 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=. 故选：C.
,
【点睛】
本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.
例13．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ） A ．30 B ．1010C ．1210D ．36
【答案】C 【分析】
设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2a r =，正方体的外接球半径3
R =，再已知条件和球的表面积公式可得选项. 【详解】
设正方体的棱长为a ，正方体的内切球半径为2
a r =
，
正方体的外接球半径R 满足：2
2
2
222a R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3R a =. 由题意知：33122
a
R r a -=
-=-，则2a =，3R =， 该正方体的外接球的表面积为12π，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即2π5
168
=，所以π10=，
所以外接球的表面积为1210. 故选：C. 【点睛】
本题考查正方体的外接球，内切球的相关计算，以及数学文化，属于中档题.
四．寻求轴截面圆半径法
例14．如图所示的三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当四棱锥
11B A ACC -体积最大时，三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）
A ．
163
π B ．
2
3
C ．
82
3
D ．
43
π 【答案】C 【分析】
四棱锥11B A ACC -体积是三棱柱111ABC A B C -体积的
23
，因此要三棱柱111ABC A B C -体积，而棱柱的高h 最大值为12AA =，因此只要ABC S ∆最大即可，此时三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，且底面ABC ∆是直角三角形，AB 是斜边，因此其外接球球心是1A B 和1AB 的交点．由此可得外接球半径．
【详解】
∵11111113B A B C ABC A B C V V --=，∴111112
3
ABC B A ACC A B C V V --=
，∴只要三棱柱111ABC A B C -体积取最大值，则四棱锥11B A ACC -体积最大，三棱柱111ABC A B C -的高h 最大值为12AA =， ∴此时111ABC A B C V -11
2
AC BC AA AC BC =
⨯⨯=⨯，22242AC BC AB AC BC +==≥⨯，当且仅当AC BC =时等号成立，∴AC BC ⨯的最大值为2（此时2AC BC ==
）
，∴max 2V =．连接1AB 交1A B 于点O ，设,E F 分别是11,A B AB 的中点，则O EF ∈，且
EF AB ⊥，从而EF ⊥平面ABC ，由AC BC ⊥知F 是ABC ∆的外心，∴O 是三棱柱111ABC A B C -外接球的球心，在正方形11ABB A 中，2OA =，
∴334482
(2)33V OA πππ=
=⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上．
例15．如图所示，在三棱锥P ABC -中，面PAC ⊥面ABC ，90ABC ∠=，
32PA PC ==，2BA BC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为______.
【答案】243
16
π 【分析】
先确定底面等腰直角三角形的外接圆圆心是AC 中点O ，则球心G 一定在面ABC 的垂线
PO 上，再利用G 是APC △的外心列关系计算半径，即求得体积.
【详解】
如图，取AC 中点O ，连接,BO PO ，
2BA BC ==，90ABC ∠=，22AC ∴=，且O 为ABC 的外心.
32PA PC ==O 是AC 中点，PO AC ∴⊥，又面PAC ⊥面ABC ，交线是AC ，
故PO ⊥面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球的球心在PO 上，
设为点G ，则点G 是APC △的外心，AG GP =即为球半径R . APC △中，
32PA PC ==，22AC =4PO =，
在Rt AOG 中222GO AO AG +=，()2
2
242
R R -+
=，解得92
R =
， 故球的体积为3
344924333216V R πππ
⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
.
故答案为：243
16
π. 【点睛】
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.
走进高考
1．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A ．12π B ．
323
π C ．8π D ．4π
【答案】A 【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以该球的表面积为24(3)12ππ⋅=，故选A. 【考点】 正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为32a 、2a
和
22
a .
2．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱
内有一个体积为V 的球，若，
，
，
，则该球体积V 的最大值是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 试题分析：设
的内切圆半径为，则
，故球的最大半径为
，故选B.
考点：球及其性质.
3．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知是球
的球面
上两点,
,
为该球面上的动点.若三棱锥
体积的最大值为36,则球
的表面积为（ ） A ．36π B ．64π
C ．144π
D ．256π
【答案】C 【详解】
如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时23111
36326
O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．
4．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的
表面积为（ ） A ．64π B ．48π
C ．36π
D ．32π
【答案】A 【分析】
由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】
设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，
ABC 为等边三角形，
由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，
123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，
222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
5．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文设A B C D ，
，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为3D ABC -体积的最大值为
A ．123
B ．183
C ．243
D ．543【答案】B
【详解】
分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC
时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，
当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大
此时，OD OB R 4===
233ABC S AB ==AB 6∴=,
点M 为三角形ABC 的中心
2BM 233
BE ∴== Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=
DM OD OM 426∴=+=+=
()max 19361833
D ABC V -∴=⨯=故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE =
=OM ，进而得到结果，属于较难题型．
6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱
内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设的内切圆半径为，则
，故球的最大半径为
，故选B.
考点：球及其性质.
7．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20 ，则r=（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为：22222111142222542222
r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ， 又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴22541620r r ππ+=+ ，解得r=2，
本题选择B 选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．
【答案】36π
【解析】
三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，
若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9， 可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，
可得112932
r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3. 球O 的表面积为：2436r ππ= .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，
如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.。