数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件

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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a



4 解的物理意义
u (,) x t ( x a t ) ( x a t ) a. 只有初始位移时，
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
u u u u u y y y
2 2 2 2 u u u u u u u u 2 2 2 y y y 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：
无界域内波动方程，等…
2 2 2 2 u u u u u u u 2 u 2 A B A B A 2 AB B 2 2 2 x x x
2 2 2 2 u u u u u u u u A B A B A ( A B ) B 2 2 x y y y
2 2 2 a 2, 2 t x ( x , ) ( x , ) 0 , f( x , ) , t t u ( xt , ) ( xt ,, ) d 则： 2 0 t1 t 令： 2 2 2 a 2, 2 t x 1 ( x ,0 ) ( x ,0 ) 0 , f( x , ) , t 1



5 达朗贝尔公式的应用
2 u a u 0 , x tt xx 2 2 x x u |t e , u 2 axe 0 t| t 0
x at 2 2 2 ( x a ) t ( x a ) t 1 s 1 u ( x ) [ e e ] 2 ase ds 2 2 a x at
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第3章行波法与积分变换法
2 2 u 2 u a 2, x ,t 0 2 t x u ( x , 0 ) u ( x , 0 ) ( x ), ( x ), x t f2 u f ( x at ) f ( x at ) 1 2 t



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数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u x ,0 )0 , 0 , x 2( t 利用齐次化原理，若 满足：


u ,t) (x ,t,) d 2(x
0
t
1 t xa(t) f( ,)d d 2 a 0 xa(t)
从而原问题的解为 a t 1 1 x uxt ( , ) ( x a t ) ( x a t ) () d a t 2 2 ax at ( ) 1 t x f( ,) dd at ( ) 2 a0 x
P ( x, t)
t
依赖区间
x x1 at
x at
x at
x
决定区域
x1
x x2 at
x
x
2
x x1 at
t
x a t C 特征线
特征变换 x at
xat
影响区域
x
6
1
x
x
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行波法又叫特征线法
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第3章行波法与积分变换法
2 2 2 u u u ( A B ) AB 2 2 x x y y 2 2 2 2 2 2 u u 2 u u u u 2 A 2 2 A B B 2 ( AB ) A ( AB ) B 2 2
] e ds
e
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第3章行波法与积分变换法
6 相关概念 x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a



x x2 at
t
(x at) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 (x at) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波 a t 1 x ( , ) () d b. 只有初始速度时： uxt x a t 2 a
1 2
假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u ( x , t ) ( x a t ) 1 ( x a t ) 1
2 2 ( x a ) t ( x a ) t 1 [ e e 2
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
x at 2 s 2 1 2x at at 2 2 2x ( x at ) ( x at ) s 1 1 [ e e ] [ e 2 2 x at 2 ( xat)
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2 2 2 u u u ( A B ) AB2 0 2 x x y y u u u u u A B x x x
第3章行波法与积分变换法
yA x y Bx
7 非齐次问题的处理(齐次化原理) 2 2 u 2 u a 2 f( xt ,) , x ,t 0 2 t x ux ( ,0 ) ux ( ,0 ) ( x ) , ( x ) , x t u u1 u2 利用叠加原理将问题进行分解：
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第3章行波法与积分变换法
2 2 u 2 u a 2, x ,t 0 2 t x u ( x , 0 ) u ( x , 0 ) ( x ), ( x ), x t 2 x at 2 2 xat 2 u 1 u 1 t 0 u 0 2 2 2 2 2 2 x x a t x a t 2a 2 2 2 1 x t u0 x a t x t 1 1 1 1 u 0 x a t x a t 2 x a t 1 1 x t x a t x a t x t 2u u 1 1 0 2 x a t u u f ( x at ) f ( x at ) f ( ) u f ( ) f ( ) 1 2 1 2 2 2019/3/8
x ,t x

x ,t 0 1 x
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第3章行波法与积分变换法

2 2 2 a 2, x ,t 0 1 2 t x 1 ( x ,0 ) ( x ,0 ) 0 , f( x , ) , x t 1 x a t x a ( t ) 1 1 1 ( x ,) t f ( ,) d f ( ,) d 1 x a t x a ( t ) 1 2 a 2 a
行波法
f1
u ( x , 0 ) f ( x ) f ( x ) ( x ) 1 2

1
u ( x , 0 ) 1x a f ( x ) a f ( x ) ( x ) f ( x ) f ( x ) ( ) d C 1 2 1 2 0 t a 1 1x C 1 1x C f ( x ) ( x ) ( ) d f ( x ) ( x ) ( ) d 1 2 0 0 2 2 a 2 2 2 a 2 x at x at 1 1 C 1 1 C u ( x at ) ( ) d ( x at ) ( ) d 0 0 2 2 a 2 2 2 a 2 x a t 1 1 u ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a 一维波动方程的达朗贝尔公式


结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
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第3章行波法与积分变换法

x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a