运筹学例题及答案

3 y
y
3
1 1
y
2
y3
4
解方程组得对偶问题的最优解为Y*=(4/5,3/5,1,0)
2。已知线性规划问题
max z 3 x 1 2 x 2
x1 2 x2 6
2
x
1
x2
8
s .t . x 1 x 2 1
x2
2
x1, x2 0
及最终单纯形表
表1
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x2 4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 3 x1 10/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 x6 2/3 0 0 -2/3 1/3 0 1
达到最优解，且最优解唯一
2。用大M或两阶段法解LP问题
max z 2 x 1 x 2 2 x 3
x1 x2 x3 6
s
.t
.
2 x1 x3 2x2 x3 0
2
x 1 , x 2 , x 3 0
cB xB -M x7 -M x8 -M x9
cj 2 b x1 61 2 -2 00
月份
1
2
3
4
所需仓库面 15
10
20
12
积（100m2）
合同租借 期限
租借费用
1个月 2800
2个月 4500
3个月 6000
4个月 7300
解:设一月初签订合同期限为一个月，两个月，三个 月，四个月的仓库面积分别为 x11 ，x12，x13 ，x14，二月
初签订合同期限为一个月，两个月，三个月的仓库 面积分别为 x21,x22,x23 ，三月初签订合同期限为一 个月，两个月的仓库面积分别为 x31, x32，四月初签
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0
分析下列各种条件单独变化时，最优解将如何变化。
（a）第1，2个约束条件的后端项分别由6变7，8变4； （b）目标函数变为 mza 2 xx15x2;
（c） 增加一个变量 x 3 ，系数为 c34,p3(1,2,3,2)T （d）问题中变量 x 2 的系数变为 (4,3,2,1,2)T （e）增加一个新的约束 x1 4
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0 1/3
因x2已变化为x/2，故用单纯形法算法将x/2替换出基变 量中的x2，并在下一个表中不再保留x2，得表（9）
表9
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 X’2 x3 x4 x5 x6 4 X’2 1 0 1 1/2 -1/4 0 0 3 x1 3 1 0 -1/2 3/4 0 0 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 x6 0 0 0 -1 1/2 0 1
cj－ zj 0 0 -8/3 1/3 0 0
继续迭代,得表（5）
第25页
表5
cj 2 5 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 x2 2 0 1 0 0 0 1 2 x1 2 1 0 1 0 0 -2 0 x5 1 0 0 1 0 1 -3 0 x4 2 0 0 -2 1 0 3
cj－ zj 0 0 -2 0 0 -1
即新解为 x (2,2)T
c）
1
7 41/3
4/3
0
02 10
3Hale Waihona Puke 22/3 1/3 0 01 0
p7/
B1p7
1/3 1
2/3 1
0 021 1 03 4
2/3 1/3 0 12 2
将其加到最终单纯形表上得表（6）
表6
cj 3 2 0 0 0 0 4 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2 x2 4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 3 x1 10/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 1 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 4 0 x6 2/3 0 0 -2/3 1/3 0 1 2
y1 2 y2 y4 2
3
y
1
y2
y3
y4
4
s.t. y3 y4 1
y
1
y3
1
y1, y2 , y3 , y4 0
将原问题的最优解带入约束，发现第4个约束为严格
不等式，所以，得y4*=0
又因为，原问题最优解的前三个分量都大于0，所以， 有如下三个等式成立。
y1 2 y2 2
即新解为 x(1,2,2,0,0,0)T
b) 将cj的改变反应到最终单纯形表上,得表（4）
cj 2 5 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 x2 4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 2 x1 10/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 x6 2/3 0 0 -2/3 1/3 0 1
4000 0.06 11 7000 0.11
4000 0.05 0.50 2.80
解：设第Ⅰ种产品中，分别在 (A 1,B j)(,A 2,B j)j,1 ,2 ,3 上加工的数量依次为 x1,x2,x3;x4,x5,x6 ，第Ⅱ种 产品中分别在A1,B1和A2,B1 上加工的数量为 x7 , x8 生产Ⅲ种产品数量为 x 9 。
运
决
筹 作业及答案 胜
帷
千
幄
里
之
之
中
外
线性规划
1。用单纯形法解LP问题
max z 6 x1 2 x2 3 x3
s.t
2 .
x1 x1
x2 2x3 4x3 4
2
x1 , x2 , x3 0
cj
cB xB b
0
x4 2
0
x5 4
cj - zj
6
x1 1
0
x5 3
cj - zj
6 -2 3 0 0
cj－ zj 0 0 0 -3/2 0 -1/2 0
即新解为 x(3,4/3,1/3)T
d）
3
2 41/3
4/3
0
021/30
1
2
2/3 1/3 0 03 4/3
p2/
B1p2
1/3 1
2/3 1
0 021/3 1 01 0
2/3 1/3 0 12 2/3
将其加到最终单纯形表上得表（8）
表8
x1
x2
x3
x4
x5
2 -1 2 1 0
10401
6 -2 3 0 0
1 -1/2 1 1/2 0 0 1/2 3 -1/2 1 0 1 -3 -3 0
cj
cB xB b
6
x1 4
-2 x2 6
cj - zj
6 -2 3 0 0
x1
x2
x3
x4
x5
10401
0 1 6 -1 2
0 0 -9 -2 -2
5(x1 x2 x3)10x7 6000 7(x4 x5 x6)9x8 12x9 10000
6(x1 x4)8(x7 x8)4000 4(x2 x5)11x9 7000
7(x3 x6)4000
xj 0
对偶理论
1. 已知线性规划问题：
max z 2 x 1 4 x 2 x 3 x 4
-M x7 3 4 0 0 -1 3/2 1/2 1 -3/2 -1/2
2 x3 2 -2 0 1 0 0 0 0 1 0
-1 x2 1 -1 1 0 0 -1/2 -1/2 0 1/2 1
Cj-zj 5+4M 0
0
-M 0 3/2M 1/2M+3/2 1/2
-5/2M- -
3/2
3/2M+
1/2
2 x1 3/4 1 0 0 -1/4 3/8 1/8 1/4 -3/8 -1/8
订合同期限为一个月的仓库面积为 x41 。
则 m z 2 in ( 8 x 1 1 0 x 2 0 1 x 3 1 x 4) 14( 5 x 1 2 0 x 2 0 2 x 3)2
6( 0 x 1 3 0 x 2) 0 3 73 x 14 00
x11
x12
x13
x14
15
x12 x13 x14 x21 x22 x23 10
2 x3 7/2 0 0 1 -1/2 -1/4 1/4 1/2 1/4 -1/4
-1 x2 7/4 0 1 0 -1/4 -1/8 -3/8 1/8 1/8 3/8
Cj-zj 0 0 0 5/4 - - - - -
无界解
3，某厂在今后四个月内需租用仓库堆放物资。已知各月份需
租用仓库面积见表，仓库租借费用随合同期不同而不同，期 限越长折扣越大，具体数字见表。租借合同每个月月初都可 办理，合同规定具体的租借面积和月数，因此该厂可根据需 要，在任何一个月月初办理合同，每次办理可签一份或多份， 总目标是总的租借费用最低，请建立数学模型并用软件给出 结果。
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0
表（2）中原问题为非可行解，故用对偶单纯形法继续 计算得表（3）
cj cB xB b 2 x2 2 3 x1 1 0 x3 2 0 x6 0
cj－ zj
（表3）
3200 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 1 0 1/3 2/3 0 1 0 0 1/3 -1/3 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 -1/3 -2/3 1 0 0 0 -5/3 -1/3 0
Cj-zj 2-M
-1 2 0 0 0 -M -M -M x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 1 1 -1 0 0 1 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 2 -1 0 0 -1 0 0 1 3M-1 M+2 -M -M -M 0 0 0
-M x7 6 1 0 3/2 -1 0 1/2 1 0 -1/2
x13
x14
x22
x23
x31
x32
20
x14
x23
x32
x41
12
xij 0
计算结果如下
4，某厂生产I,II,III三种产品，都分别经过A,B两道工 序加工。设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有 B1，B2，B3三种设备可用于完成B工序。已知产品 I可在A,B任何一种设备上加工；产品II可在任何规 格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设 备上加工；产品III只能在A2和B2设备上加工。加
maxz (1.250.25)(x1 x2 x3 x4 x5 x6)(20.35)(x7 x8)(2.80.5)x9
0.05[5(x1 x2 x3)10x7]0.03[7(x4 x5 x6)9x8 12x9]0.06[6(x1 x4)
8(x7 x8)]0.11[4(x2 x5)11x9]0.057(x3 x6)
cj－ zj 0 0 -1/3 -4/3 0 0 1
继续迭代,得表（7）
表7
cj 3 2 0 0 0 0 4 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 2 x2 4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 0 3 x1 3 1 0 0 1/2 0 -1/2 0 0 x5 5/3 0 0 1/3 1/2 1 -2 0 4 x7 1/3 0 0 -1/3 1/6 0 1/2 1
解：a）
1
b
4
0
0
2/3 1/3 0 0 1 2 b 1/3 2/3 0 043
1 1 1 0 0 5 2/3 1/3 0 1 0 2
将其加到表（1）的最终单纯形表的基变量b这一列数 字上得表（2）
（表2）
cj 3 2 0 0 0 0 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 x2 10/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 3 x1 1/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 0 x5 -2 0 0 -1 1 1 0 0 x6 -4/3 0 0 -2/3 1/3 0 1
工单位产品所需的工序时间及其它各项数据见表， 试安排最优生成计划，使该厂获利最大。
设备 I
产品 II
A1 5
A2 7
B1
6
B2
4
B3
7
原料费（元/ 件）
0.25
售价（元/件） 1.25
10 9 8
0.35 2.00
设备有效 设备加工费
III
台时
（元/h）
6000 0.05 12 10000 0.03
x1 3 x2 x4 8
2 x1
x2
6
s.t. x 2 x 3 x4 6
x1
x2
x3
9
x1, x2, x3, x4 0
要求：a)写出对偶问题，b)已知原问题最有解
X*=(2,2,4,0),用互补松弛性求出对偶问题的 最优解。
解：对偶问题：
min w 8 y1 6 y 2 6 y 3 9 y4
-M x8 2 -2 0 1 0 -1 0 0 1 0
-1 x2 0 0 1 -1/2 0 0 -1/2 0 0 1/2
Cj-zj 2-M 0
5/2M +3/2
-M
-M
0 1/2M-
1/2
0
3/2M
+1/2
cj 2 -1 2 0 0 0 -M -M -M
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
cj 3 2 0 0 0 0 4 cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 X’2 2 x2 4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 3 x1 10/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 1/3 0 x5 3 0 0 -1 1 1 0 0 0 x6 2/3 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3