数值分析 张铁版 第2章 解线性方程组的直接方法

(k )
(k )
m a x a ik
k i n
(k )
, 则 ai
(k )
0
j
a k j , bi
(k )
(k )
0
bk
(k )
, j k , , n
例2 P.17例2-1
解线性方程组列主元Gauss消去算法
若 a kk
(k )
0 , k 1, 2 , , n ， A
2
1 例 3 .例 1 中 ， A 1 3
2 2 2
1 3 ， 将 A作 L U 分 解 。 5
解：由Gauss消去法
1 A 1 3 2 2 2 1 m 1 3 m 2 1 3 31 5 1 0 0 2 4 8 1 m 32 2 2 8 1 0 0 2 4 0 1 2 U 12
(1 )
其中
a ij
(2)
a ij
m i1 a 1 j , ( i , j 2 , 3 , , n )
bi
(2)
bi
(1 )
m i1 b1
(2)
(1 )
, ( i 2 ,3 , , n )
第二步：若 … …
a 22 0 ,
用… ….
第k步：若
a (1 ) 11
其中
a ij
bi
( k 1)
a ij
bi
(k )
m ik a kj , ( i , j k 1, , n )
m ik b k
(k )
(k )
( k 1)
(k )
, ( i k 1, , n )
第n-1步： … …
a (1 ) 11 0 0 a12
n
a kj x j
(k )
a kk
(k )
k n 1, n 2 , ,1
乘除法运算工作量
第 k 步消元： bi
( k 1)
m ik : n k 次除法 , a ij
( k 1)
: ( n k ) 次乘法 ,
2
: n k 次乘法 , ( i , j k 1, , n ) .

第 k 步 消 元 ： Lk A
(k )
1
1
1 m k 1, k m n ,k 1
A
( k 1)
, Lk b
(k )

最后， L n 1 L 2 L1 A
1 1
(1 )
A
1
(n)
证 明 唯 一 性 ： 假 设 有 两 种 分 解 ： A L1U 1 L 2U
则 L 2 L1 U 2 U 1
1
2
1
1
1 1 1
由 于 L 2 L1 是 下 三 角 矩 阵 ， U 2U 1 是 上 三 角 矩 阵 ， 所 以 L 2 L1 U 2U 1
I
L1 L 2 , U 1 U
第2章 解线性代数方程组的直接法
在科学计算中，经常需要求解线性方程组：
a 1 1 x1 a 1 2 x 2 a 1 n x n b1 a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 n x n b 2 a x a x a x b n2 2 nn n n n1 1
2 .消 元 计 算 ： 对 于 i k 1, , n ( i ) a ik m ik a ik / a kk ( ii ) 对 于 j k 1, , n a ij a ij m ik a kj .
3 . 回 代 ： 对 于 i n , ,1,
(1 ) x i b i ,
(k )
a k k 0， 但 若 a k k 很 小 ， 也 会 造 成 舍 入 误 差 的 积 累 ， 导 致 计 算 精 度 的 下 降 。
(k ) (k )
因此在消元过程中选择绝对值较大的元素作为主元是必要的，称为选主元的 G auss消 去 法 ， 包 括 列 主 元 的 G auss消 去 法 和 完 全 主 元 的 G auss消 去 法 。
列 主 元 G auss消 去 法 是 在 顺 序 G auss消 去 法 的 消 元 过 程 之 前 增 加 了 按 列 选 主 元的过程。 当 程 序 进 行 到 第 k步 ， 首 先 找 出 A 然 后 交 换 该 行 与 第 k行 ， 即 设 ai
(k )
0k
(k )
的 第 k 列 从 a kk 到 a nk 中 绝 对 值 最 大 的 元 素 ，
（2）回代过程 若
a nn 0 ,
(n) x n bn
(n)
则
(n) a nn
n (k ) (k ) x k bk a x kj j k 1
j
a
(k ) , ( k n 1, ,1 ) kk
算法.
若 a kk
(k )
0 , k 1, 2 , , n ， A
(1 )
(k ) a kk 0 ,
用

m ik a ik
(k )
/ a kk
(k )
乘第k行
加到第i行中，得到
a1 k a kk 0 0
(k )
a1 k 1 a kk 1 a k 1k 1 a nk 1
( k 1) ( k 1) (k )
(1 )


a 22
(2)
an2
(1 )
(2)
(1 ) (1 ) a 1 n x1 b 1 (2) (2) a 2 n x2 b 2 . (2) (2) a nn x n b n
L L1 L 2 L n 1
1
1
1
定 理 ( 矩 阵 的 L U 分 解 ) 设 A 为 n 阶 矩 阵 , 如 果 A的 顺 序 主 子 式 D i 0 ( i 1, 2 , , k ), 则 A可 分 解 为 一 个 单 位 下 三 角 矩 阵 L 和 一 个 单 位 上 三 角 矩 阵 U 的 乘 积 ， 且 这 种 分 解 是 唯 一 的.

(k ) a kn ( k 1) a k 1n ( k 1) a nn a1 n
(1 )
(1 ) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn
2.1.2、列主元Gauss消去法
顺 序 G a u s s 消 去 法 计 算 过 程 中 的 a k k ( k 1, 2 , , n ) 称 为 主 元 素 ， 在 消 元 时
(k )
要 用 它 作 除 数 ， 所 以 若 出 现 a k k 0， 消 元 过 程 就 不 能 进 行 下 去 。 此 外 ， 即 使
(k )
覆盖 A , m ik 覆盖 a ik .
1 . 消 元 过 程 ： 对 于 k 1, 2, , n -1，
(1) 若 a kk 0 , k 1, , n ( i ) a ik m ik a ik / a kk ( ii ) 对于 j k 1, , n a ij a ij m ik a kj .
( 2 ) 对于 j i 1, , n x i x i a ij x j ,
( 3 ) x i x i / a ii .
§2.2
矩阵三角分解方法
2.2.1 Gauss消去法的矩阵运算 Gauss消去法实际上是对矩阵进行初等行变换的结果，每一次初 等行变换相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵。具体过程如下
则
Ax b
(2 .2 )
Gramer(克莱姆)法则 若方程组(2.2)的系数矩阵非奇异，则其解 可表示为 Dj
xj , j 1, 2 , n D
§2.1
高斯消去法
2.1.1、顺序Gauss消去法
x1 2 x 2 x 3 1 例1解线性方程组 x1 2 x 2 3 x 3 3 3 x1 2 x 2 5 x 3 1
(1 )
0
a 22
(2)
(1 ) (1 ) a1 n x1 b1 (2) (2) a 2 n x 2 b2 . (n) (n) a nn x n b n
回代求解得： x
, x2
以上过程称为顺序Gauss消去法 一般地,顺序Gauss消去法:
（1）消元过程 (1 第一步：若 a11 ) 加到第i行中，得到
a (1 ) 11 0 0 a12
(1 )
0,
用
m i1 a i1 / a11
(1 )
(1 )
乘第一行
2 . 回代：对于 i n , ,1,
(1 ) x i b i ,
x n bn
(n)
/ a nn
(n)
( 2 ) 对于 j i 1, , n x i x i a ij x j ,
( 3 ) x i x i / a ii .
xk
bk
(k )

j k 1
1 m 21 (2) b , 其 中 L1 m 3 1 m n1
1 ( k 1) b , 其 中 Lk
1 0 0 1 0
第 1步 消 元 ： L 1 A
(1 )
A
(2)
, L1 b
(1 )
n 1 n 1 2 消元过程乘除法次数： ( n k ) 2 ( n k ) 1 n 3 1 n 2 5 n 3 2 6 k 1 k 1 n n ( n 1) n k 1 n ( n 1) 回代过程乘除法次数： k 2 2 k 1 k 1 n n ( n 1)( 2 n 1) 1 3 2 1 2 总的乘除法运算次数： 3 n n 3 n k 6 k 1 n 1 1 ( n k ) n ( n 1) 非零判断次数最多为： 2 k 1 n 1 行交换的元素个数为： ( n k ) 1 n ( n 1) 2 k 1

U ， L n 1 L 2 L1b
(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
1 m 32 mn2 1 m n , n 1
(k )
覆盖 A , m ik 覆盖 a ik .
对 于 k 1, 2, , n -1，
1 . 按 列 选 主 元 : ( 1 ) 确 定 下 标 i 使 a ik m a x a jk
k jn
( 2 ) 若 a ik 0, 停 止 计 算 ；
（ 3 ） 换 行 ： a kj a ij , j k , , n , b k b i
1 [ A, b] 1 3 2 2 2

3
1 3 5
2 3
1 1 3 0 0 1
1 6 , x1 2 3
2 4 8
1 2 8
1 1 2 0 0 4
2 4 0
1 2 12
1 2 8
a1 1 a 21 A a n1 a1 2 a 22 an2
(2 .1 )
记
a1 n x1 b1 a2n x2 b , x ,b 2 a nn xn bn