数学建模习题及答案

数学建模习题及答案
第⼀部分课后习题
1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。

学
⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。

（2）2.1节中的Q值⽅法。

（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：
将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。

你能解释这种⽅法的道理吗。

如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。

将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。

（4）你能提出其他的⽅法吗。

⽤你的⽅法分配上⾯的名额。

2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。

⽐如洁银⽛膏50g
装的每⽀1.50元，120g装的3.00元，⼆者单位重量的价格⽐是1.2：1。

试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。

价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。

解释实际意义是什么。

3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部
只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。

假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：
4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应
多⼤（如图）。

若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。

如果管道是其他形状呢。

5.⽤已知尺⼨的矩形板材加⼯半径⼀定的圆盘，给出⼏种简便、有效的排列⽅法，使加⼯
出尽可能多的圆盘。

6.动物园⾥的成年热⾎动物靠饲养的⾷物维持体温基本不变，在⼀些合理、简化的假设下
建⽴动物的饲养⾷物量与动物的某个尺⼨之间的关系。

7.举重⽐赛按照运动员的体重分组，你能在⼀些合理、简化的假设下建⽴⽐赛成绩与体重之间的关系吗。

下⾯是⼀届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型。

组别最⼤体重
抓举（kg）挺举（kg）总成绩（kg）
（kg）
1 54 132.5 155 287.5
2 59 137.5 170 307.5
3 6
4 147.
5 187.5 335
4 70 162.
5 195 357.5
5 7
6 167.5 200 367.5
6 83 180 212.5 392.5
7 91 187.5 213 402.5
8 99 185 235 420
9 108 195 235 430
10 〉108 197.5 260 457.5
第⼀部分课后习题答案
1.按照题⽬所给⽅法（1），（2），（3）的席位分配结果如下表：
宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（3）
A 3 2 2 4 4 3
B 3 3 3 5 5 5
C 4 5 5 6 6 7
总计10 10 10 15 15 15
2.（1）⽣产成本主要与重量w成正⽐，包装成本主要与表⾯积s成正⽐，其它成本
也包含与w和s成正⽐的部分，上述三种成本中都含有与w，s均⽆关的成分。

⼜
因为形状⼀定时⼀般有3
/2w s ∝，故商品的价格可表为γ
βα++=3
/2w
w C （γβα,,为⼤于0的常数）。

（2）单位重量价格13/1--++==
w w w
C
c γβα，其简图如下：
显然c 是w 的减函数，说明⼤包装⽐⼩包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变⼤是逐渐降低的，不要追求太⼤包装的商品。

3. 对于同⼀种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也⼤体上相同，所以重量w 与
⾝长l 的⽴⽅成正⽐，即3
1l k w =，1k 为⽐例系数。

常钓得较肥的鱼的垂钓者不⼀定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。

如果只假定鱼的横截⾯积是相似的，则横截⾯积与鱼⾝最⼤周长的平⽅成正⽐，于是
l d k w 22=，2k 为⽐例系数。

利⽤数据估计模型中的系数可得1k =0.014，2k =0.0322，将实际数据与模型结果⽐较如下表：
实际重量（g ） 765
482
1162
737
482
1389
652
454
模型
31l k w =
727 469 1226 727 483 1339 675 483
模型
l d k w 2
2=
730 465 1100 730 483 1471 607 483
基本上满意。

4. 将管道展开如图：
可得α
πcos
d
w=，若d⼀定，w趋于0，α趋于π/2；w趋于πd，α趋于0。

若管道长度为l，不考虑两端的影响时布条长度显然为πd l/w，若考虑两端影响，则应加上πdw/sinα。

对于其它形状管道，只需将πd改为相应的周长即可。

5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加⼯，即圆盘之间及圆盘与板
材之间均可相切。

⽅案⼀：圆盘中⼼按正⽅形排列，如下图1，圆盘总数为
1
N=[a/2][b/2]
⽅案⼆：圆盘中⼼按六⾓形排列，如下图2，⾏数m满⾜2+（m-1）≤
3a，于是
m=1
3
2
+
-
a
图1 图2
列数（按图2第1⾏计数）n满⾜：若[b]为奇数，则各⾏圆盘数相同为（[b]-1）/2；若[b]为偶数，则奇数⾏圆盘数为[b]/2，偶数⾏圆盘数为[b]/2-1。

圆盘总数为
+
-
-
=
)2(
2/1
2/)1
]
([
)1(
2/)1
]
([
2b
m
b
m
N
其中（1）为：m为偶数。

（2）为：m为奇数，[b]为偶数。

两个⽅案的⽐较见下表(表中数字为
1
N/
2
N)：
3 5 8 10 1
4 20
4 2/2 4/4 8/7 10/9 14/13 20/19
7 3/3 6/6 12/11 15/14 21/20 30/29
10 5/5 10/10 20/18 25/23 35/33 50/48
15 7/8 14/16 28/28 35/36 49/52 70/76
20 10/11 20/22 40/39 50/50 70/72 100/105
当
其它⽅案，⽅案⼀、⼆混合，若a=b=20，3⾏正⽅形加8⾏六⾓形，圆盘总数为106。

6.假设处于静⽌状态的动物的饲养⾷物量主要⽤于维持体温不变，且动物体热量主要
通过它的表⾯积散失，对于⼀种动物其表⾯积S与某特征尺⼨l之间的关系是2
l
S∝，所以饲养⾷物量2l
w∝。

a
b
7. 假设举重⽐赛成绩y 与运动员肌⾁的截⾯积s 成正⽐，⽽截⾯积2l s ∝（l 是某特
征尺⼨），体重3
l w ∝，于是3
/2w
y ∝。

⽤举重总成绩检验这个模型，结果如下图3；如果⽤举重总成绩拟合α
w y ∝，可得
α=0.57，结果如下图4。

图3 图4
第⼆部分课后习题
1.
Malthus 模型预测的优缺点。

2. 阻滞增长模型预测的优缺点。

3. 简述动态模型和微分⽅程建模。

4. 按照你的观点应从那⼏个⽅⾯来建⽴传染病模型。

5. 叙述Leslie ⼈⼝模型的特点。

并讨论稳定状况下种群的增长规律。

6. 试⽐较连续形式的阻滞增长模型 (Logistic 模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。

第⼆部分课后习题答案
1.
优点: 短期预报⽐较准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设⼈⼝增长率为常数, 没有考虑环境对⼈⼝增长的制约作⽤。

2. 优点: 中期预报⽐较准确; 缺点: 理论上很好，实⽤性不强; 原因: 预报时假设固有⼈⼝
增长率以及最⼤⼈⼝容量为定值。

实际上这两个参数很难确定，⽽且会随着社会发展情况变化⽽变化。

3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对
象特征的未来性态, 研究控制对象特征的⼿段；微分⽅程建模: 模根据函数及其变化率之间的关系确定函数, 根据建模⽬的和问题分析作出简化假设, 按照在规律或⽤类⽐法建⽴微分⽅程。

4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染⼈数的变化规律, 预报传染病⾼潮到来的时刻, 预
防传染病蔓延的⼿段, 按照传播过程的⼀般规律，⽤机理分析⽅法建⽴模型。

5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别⽐为1:1), 是⼀种
差分⽅程模型。

6. 连续形式: ()y t 表⽰某种群t 时刻的数量(⼈⼝)
d (1)d m
y y ry t N =- 离散形式: n y 表⽰某种群第n 代的数量(⼈⼝)
1(1),1,2,n
n n n m
y y y ry n N +-=-
=
若n m y N =, 则12,,n n m y y N ++=, *m y N =是平衡点; 1(1) n
n n n m
y y y ry N +-=-
的平衡点为*
m y N =. 1(1)1(1)n n n m r y r y y r N +??=+-??+??
的平衡点为*1
11r x r b ==-+, 其中
1,/(1),()(1)n n m b r x ry r N f x bx x =+=+=-, 此时的差分⽅程变为
1(1)()1,2,
n n n n x bx x f x n +=-==.
由()(1)x f x bx x ==-可得平衡点*
*
11,0x x b
=-
=. 在平衡点*0x =处,由于(0)1f b '=>,因此, *
0x =不稳定.
在在平衡点*
11x b
=-
处, 因**
()(12)2f x b x b '=-=-,所以 (i) *
()13f x b '>?> 当3b >时, 平衡点*11x b
=-不稳定;
(ii) *()1f x '<13b ?<< 当13b <<时, 平衡点*
11x b
=-不稳定.
第三部分课后习题
1. 判断下列数学模型是否为线性规划模型。

（a,b,c 为常数，x,y 为变量）≥=+≤++≥-++=0
,12432085862.753max 1212132
13213
21x x x x x x x x x x t s x x x f ＋）（
=≥===∑∏==),,2,1(0),,2,1(.max )2(1
1
n j x m i b x a t s x c f j
n
j i j ij n
j j
j )
,,2,1;,,2,1(..,
min 321
21
2
m j m i c y x t s y b x a f ij
i i n
j j j m
i i i ==≤++=∑∑==）（
2. 将下述线性规划问题化为标准形式。

≤≤≤-=--≥++-≤++-++=取值⽆约束）（3213213213213
21,62,063244239232min 1x x x x x x x x x x x x x x x Z ??
≤≥+--=⽆约束）（y x x y x y x Z ,3
2||||max 2
≥≤≤-+-=++-+-=⽆约束
）（321
321321321,0,06
4
..22min 3x x x x x x x x x t s x x x f
≤≥≥+--=+-≤++++++=⽆约束
）（4231431
3
2143214321,0,0,1228
5327
..32max 4x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f
3. ⽤单纯形法求解线性规划问题。

≥≤+≤≤+=0
,18231224
..52max 21212121x x x x x x t s x x f
4. 检验函数2122
12)1()(100)(x x x x f -+-=在T x )1,1(*=处有*
*,0G g =正定，从
⽽*
x 为极⼩点。

证明G 为奇异当且仅当005.02
12=-x x ，从⽽证明对所有满⾜
0025.0)(
5. 求出函数4
131212221222)(x x x x x x x f ++-+=的所有平稳点；问哪些是极⼩点？是否为全局极⼩点？
6. 应⽤梯度法于函数,10)(2
22
1x x x f +=取.)1,1.0()1(T x =迭代求.)
2(x
第三部分课后习题答案
1. 答案：（1）是（2）不是（3）是
2. 答案：（1）
式：
，可得到如下的标准形及剩余变量引⼊松弛变量令5642233311,. 2',''','x x x x x x x x x x -=-=-=。