运筹学5至12章习题参考答案

6.11将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2，中途有2个加压站B1、B2，天然气管线如图6－48所示。输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上(cij,dij)。求(1)流量为22的最小费用流；（2）最小费用最大流。
图6－48
【解】虚拟一个发点和一个收点
v2
8.8
0
8
5
13
4
89.16
v3
8.6
8
0
3
4.8
12
82.16
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
71.96
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
81.92
v6
6
4
12
9
9
0
82.2
运价
1
1.2
1.6
2.6
3.2
3.4
选第4个工厂最好。
6.10如图6－47，（1）求v1到v10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。
运筹学5-12章参考答案
习题五
5.2用元素差额法直接给出表5-52及表5-53下列两个运输问题的近似最优解．
表5-52
B1
B2
B3
B4
B5
Ai
A1
19
16
10
21
9
18
A2
14
13
5
24
7
30
A3
25
30
20
11
23
10
A4
7
8
6
10
4
42
Bj
15
25
35
20
5
表5-53
B1
B2
B3
B4
Ai
A1
5
3
0
8
5
13
4
v3
8.6
8
0
3
4.8
12
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
v6
6
4
12
9
9
0
最优票价表：
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
0
8
5
13
4
v3
0
3
4.8
12
v4
0
7.8
9
v5
0
9
v6
0
v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为：
6.9设图6－46是某汽车公司的6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离(km)。现要在6个工厂中选一个建装配车间。
A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21；A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20；
结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。
6.7已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。已知5年年初购置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。使用时间在1～5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3和3万元。试确定一个设备更新策略，使5年的设备购置和维护总费用最小。
乙
15
33
28
26
丙
18
42
38
29
丁
19
44
32
27
戊
17
34
30
28
5.10学校举行游泳、自行车、长跑和登山四项接力赛，已知五名运动员完成各项目的成绩（分钟）如表5-57所示．如何从中选拔一个接力队，使预期的比赛成绩最好．
【解】设xij为第i人参加第j项目的状态，则数学模型为
接力队最优组合
乙
长跑
最低总成本74.3万元。
6.6在图6－45中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图(a)和(b)的结果进行比较。
图6－45
【解】图6－45(a):
A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。
对于图6－45(b)：
5.8求解下列最小值的指派问题，其中第（2）题某人要作两项工作，其余3人每人做一项工作．
（1）
【解】最优解
（2）
【解】虚拟一个人，其效率取4人中最好的，构造效率表为
1
2
3
4
5
甲
26
38
41
52
27
乙
25
33
44
59
21
丙
20
30
47
56
25
丁
22
31
45
53
20
戊
20
30
41
52
20
最优解： ，最优值Z=165
6.5某乡政府计划未来3年内，对所管辖的10个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。根据勘测，10个村之间修建公路的费用如表6-20所示。乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低。
表6-20
两村庄之间修建公路的费用(万元)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12.8
10.5
9.6
8.5
7.7
6.3如图6－43所示，建立求v1到v6的最大流问题的线性规划数学模型。
【解】设xij为弧（i,j）的流量，数学模型为
6.4求图6－41的最小部分树。图6-41（a）用破圈法,图6-41（b）用加边法。
图6－44
【解】图6-44（a），该题有4个解，最小树长为22，其中一个解如下图所示。
图6-44（b），最小树长为20。最小树如下图所示。
工厂4
82
110
600
1120
用匈牙利法得到最优表
第一个工厂加工产品1，第二工厂加工产品4，第三个工厂加工产品3，第四个工厂加工产品2；
总成本
Z＝1000×(58＋920＋510＋110)＝1598000
注：结果与例5.15的第2个方案相同，但并不意味着“某列（行）同乘以一个非负元素后最优解不变”结论成立。
A2
4
3
1
2
80
A3
5
6
4
4
30
bj
60
60
40
20
（2）用位势法求检验数（表5-55）
表5-55
B1
B2
B3
B4
ai
A1
9
15
4
8
10
A2
3
1
7
6
30
A3
2
10
13
4
20
A4
4
5
8
3
40
bj
20
15
50
15
解（1）最优表如下，最优值Z＝610
(2)解最优表如下，最优值Z＝445
5.4求下列运输问题的最优解
13.8
12.7
13.1
12.6
11.4
13.9
11.2
8.6
7.5
8.3
14.8
15.7
8.5
9.6
8.9
8.0
13.2
12.4
10.5
9.3
8.8
12.7
14.8
12.7
13.6
15.8
9.8
8.2
11.7
13.6
9.7
8.9
10.5
13.4
14.6
9.1
10.5
12.6
8.9
8.8
【解】属于最小树问题。用加边法，得到下图所示的方案。
65
65
65
bj
50
40
60
80
30
(3)用表上作业法，最优生产方案如下表：
1
2
3
4
5
ai
1
2
3
4
50
15
25
60
10
5
65
30
65
65
65
65
Bi
50
40
60
80
30
上表表明：一月份生产65台，当月交货50台；二月份交货15台,二月份生产35台，当月交货25台，四月份交货10台；三月份生产65台，当月交货60台，四月份交货5台，4月份生产65台当月交货。最小费用Z=235万元。
（1）C1目标函数求最小值；（2）C2目标函数求最大值
(3)目标函数最小值,B1的需求为30≤b1≤50, B2的需求为40，B3的需求为20≤b3≤60,A1不可达B4，B4的需求为30．
【解】（1）
（2）
（3）先化为平衡表
B11
B12
B2
B31
B32
B4
ai
A1
4
4
9
7
7
M
70
A2
6
6
5
3
3
2
20
甲～戊完成工作的顺序为3、5、1、2、4，
最优分配方案：甲完成第3、4两项工作，乙完成第5项工作，丙完成第1项工作，丁完成第2项工作。
5.9求解下列最大值的指派问题：
（1）
【解】 最优解
（2）【解】
最优解
第5人不安排工作或第1人不安排工作。
表5-57成绩表(分钟)
游泳
自行车
长跑
登山
甲
20
43
33
29
5
3
0
12
100
v5
8
100
4.8
12
0
9
v6
6
4
14
100
9
0
L2
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
8.8
0
8
5
13
4
v3
8.6
8
0
3
4.8
14
v4
5.6
5
3
0
7.8
9
v5
8
13
4.8
7.8
0
9
v6
6
4
14
9
9
0
L3
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v1
0
8.8
8.6
5.6
8
6
v2
8.8
7.2
∞
9
6
0
0
10
∞
3.2
∞
由距离表C1，v1到v4，H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1},C(H1)=5.6+3+4.8+9+4+8.8=35.2
去掉第1行第四列，d41=∞，得到距离表C2。
得到距离表C2
1
2
3
5
6
2
2.8
∞
6
∞
0
3
4
7
∞
0
11
4
∞
2
0
7.2
∞
5
1.2
∞
0
∞
9
6
0
5.6（1）设xij为第i月生产的产品第j月交货的台数，则此生产计划问题的数学模型为
（2）化为运输问题后运价表（即生产费用加上存储费用）如下，其中第5列是虚设销地费用为零，需求量为30。
1
2
3
4
5
ai
1
2
3
4
1
M
M
M
1.15
1.25
M
M
1.3
1.4
0.87
M
1.45
1.55
1.02
0.98
0
0
0
0
65
8
6
16
A2
10
7
12
15
24
A3
17
4
8
9
30
Bj
20
25
10
15
【解】
双击演示过程→
表5-52。Z=824
表5-53结果如下，Z=495（最优值Z=480）
5.3求表5-54及表5-55所示运输问题的最优方案．
（1）用闭回路法求检验数（表5-54）
表5-54
B1
B2
B3
B4
ai
A1
10
5
2
3
70
0
10
3.2
∞
距离表C2的每行每列都有零，H2=H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1}就是总距离最小的Hamilton回路，C(H1) =35.2。
丙
游泳
丁
登山
戊
自行车
甲淘汰。预期时间为107分钟。
习题六
6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i，j]的长度记为cij，设
数学模型为：
6.2如图6－43所示，建立求v1到v6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
【解】弧(i，j)的长度记为cij，设
数学模型为：
B1
B2
B3
ai
甲
乙
丙
80
60
50
65
50
40
0
0
0
5
10
15
bj
10
15
5
为了平衡表简单，故表中运价没有乘以40，最优解不变
（3）最优调度方案：
即甲第天发5辆车到B1城市，乙每天发5辆车到B1城市，5辆车到B2城市，丙每天发10辆车到B2城市，多余5辆，最大收入为
Z=40（5×80+5×60+5×50+10×40）=54000（元）
5.7假设在例5－16中四种产品的需求量分别是1000、2000、3000和4000件，求最优生产配置方案．
【解】将表5-35所示的单件产品成本乘以需求量，为计算简便，从表中提出公因子1000．
产品1
产品2
产品3
产品4
工厂1
58
138
540
1040
工厂2
75
100
450
920
工厂3
65
140
510
1000
T6.11－1
得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。求解过程参看习题部分答案PPT文档。
T6.11－13
最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。
6.12如图6－46所示，（1）求解旅行售货员问题；（2）求解中国邮路问题。
图6-46
【解】（1）旅行售货员问题。
距离表C
1
2
3
【解】给出初始流如下
第一轮标号：得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示