2019高考数学考前30天之备战冲刺押题系列-名师预测9

2019高考数学考前30天之备战冲刺押题系列-名师预测9
【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、 1、集合A ＝{x |1＜x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }，那么A B ＝、
2、||a ＝3，||b ＝2、假设⋅a b ＝－3，那么a 与b 夹角的大小为、
3、设x ，y 为实数，且1i
x -＋
12i y -＝513i
-，那么x ＋y ＝、 4、椭圆2x ＋2my ＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值为、 5、假设θ∈42π
π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，sin 2θ＝116，那么cos θ－sin θ的值是、 6、Ω＝{(x ，y )|x ＋y ＜6，x ＞0，y ＞0}，A ＝{(x ，y )|x ＜4，y ＞0，x －2y ＞0}，假设
向区域Ω上随机投掷一点P ，那么点P 落入区域A 的概率为、
7、a ，b 为异面直线，直线c ∥a ，那么直线c 与b 的位置关系是、 8、一个算法的流程图如右图所示那么输出S 的值为、
9、将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，那么整个数组的标准差是、
10、某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数(精确到0.1)时，设()f x ＝lg x ＋x －2，得出(1)f ＜0，且(2)f ＞0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为、
11、设OM ＝
11
2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，ON ＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP OM ⋅≤1，0≤OP ON ⋅≤1，那么z ＝y －x 的最小值是、
12、设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m
，那么m 的取值范围是、
13、等差数列{}
n a 的公差为d ，关于x 的不等式2
2
d x
＋
12d a x
⎛⎫- ⎪⎝
⎭＋c ≥0的解集为[0，
22]，那么使数列{}n a 的前n 项和n
S 最大的正整数n 的值是、
14、方程2x
－1＝0的解可视为函数y ＝x
的图象与函数y ＝1x
的图象交点
的横坐标、假设4x ＋ax －9＝0的各个实根1x ，2x ，…，k
x (k ≤4)所对应的点
9()
i i
x x ，(i
＝1，2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，那么实数a 的取值范围是、
【二】填空题：本大题共6小题，共计70分、请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、
15、〔本小题总分值14分〕
函数()f x ＝sin()A x ωϕ+，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2
π)的图象与x 轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为2
π，且图象上一个最低点为
2(2)
3
M π
-，、 〔1〕求()f x 的解析式； 〔2〕当x ∈[]122
π
π，时，求()f x 的值域、 16、〔本小题总分值14分〕
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点、
〔1〕证明：DE ∥平面PBC ； 〔2〕证明：DE ⊥平面PAB 、 17、〔本小题总分值14分〕
有一气球以v (m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30︒方向T 处，其仰角为60︒(如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影)、求风向和风速(风速用v 表示)、
18、〔本小题总分值16分〕
圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋2(2)y +＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称、 〔1〕求圆C 的方程；
〔2〕设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；
〔3〕过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由、
19、〔本小题总分值16分〕
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…、
〔1〕求数列{}
n a 的通项公式；
〔2〕假设数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式；
〔3〕设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T 、
20、〔本小题总分值16分〕
集合M 是满足以下性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2
k ＋()f x 恒成立、
〔1〕判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ； 〔2〕证明函数()f x ＝2
log x 属于集合M ，并找出一个常数k ； 〔3〕函数()f x ＝log a x (a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a
x ∈M 、
〔附加题〕
21、【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每题10分，共20分、
A 、选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，
6,AB CD ==AC 的长度、
B 、选修4－2：矩阵与变换
二阶矩阵A 有特征值1
1λ=及对应的一个特征向量
111⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量
210⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
e ，试求矩阵A 、 C 、选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨
=⎩〔θ是参数〕，假设以O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程、
D 、选修4－5：不等式选讲
关于x 的不等式
11ax ax a -+-≥〔0a >〕.
〔1〕当1a =时，求此不等式的解集；
〔2〕假设此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围、
22、［必做题］〔本小题总分值10分〕
在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择〔其中有一种为草莓口味〕。

小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起〔假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同〕、 〔1〕小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？
〔2〕小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望、 23、［必做题］〔本小题总分值10分〕
230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，
〔其中n *∈N 〕 123n n S a a a a =+++
+.
(1)求n
S ；
(2)求证：当4n ≥时，2(2)22n n
S n n >-+、
参考答案
1、[－1，3]
2、
120︒3、44、14
5、
6、29
7、相交或异面8、459、810、1.75
11、－112、(-∞，1)
(0-，3)13、1114、(-∞，24)(24-，)+∞
15、〔1〕由最低点为M (23
π，－2)得A ＝2、由x 轴上相邻两个交点之间的距离为2π得2
T
＝2
π，即T ＝π，ω＝2T π＝2ππ＝2、由点M (23
π，－2)在图象上得
22sin(2)
3
π
ϕ⨯+＝－2，即
4sin()3π
ϕ+＝－1、故43πϕ
+＝2k π－2π，k ∈Z 、所以ϕ＝k π－116π、又0＜ϕ＜2
π，所以ϕ＝6
π，故()f x ＝
2sin(2)
6
x π+、
〔2〕因为x ∈[]122π
π，，所以(2)6x π+∈7[]36
ππ，、 当
26x π+
＝2π，即x ＝6
π时，()f x 取得最大值2；
当
26x π+
＝76π，即x ＝2
π时，()f x 取得最小值－1、 故()f x 的值域为[－1，2]、
16、〔1〕设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ， 所以EF ∥DC ，且EF ＝DC ＝1
2
AB
、
故四边形CDEF 为平行四边形，可得ED ∥CF 、
又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，
故DE ∥平面PBC 、
〔2〕因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 、 又因为AB ⊥AD ，PD
AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD 、
ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB 、又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ； PA
AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB 、
17、10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒的S 点处，即∠SPQ ＝4
π，所以PQ ＝QS ＝600v (m)、
又10分钟后测得气球在P 的东偏北30︒方向，其仰角为60︒的T 点处，即∠RPQ ＝6
π，
∠TPR ＝3
π，RT ＝2QS ＝1200v (m)，于是PR ＝
tan
3
RT π
＝(m)、
在△PQR 中由余弦定理，得QR
＝(m)、
因为2PR
＝2)＝2(600)v
＋2)＝2PQ ＋2QR 、所以∠PQR ＝2
π，即风向
为正南风、
因为气球从S 点到T 点经历10分钟，即600s ，所以风速为||600QR
(m/s)、
18、〔1〕设圆心C (a ，b )，那么2220222 1.2a b b a --⎧++=⎪⎪⎨
+⎪=⎪+⎩
，解得00.a b =⎧
⎨=⎩，
那么圆C 的方程为2x ＋2y ＝2r ，将点P 的坐标代入，得2r ＝2，故圆C 的方程为2x ＋2
y ＝2、
〔2〕设Q (x ，y )，那么2x ＋2y ＝2，且PQ MQ ⋅＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝2x ＋
2y ＋x ＋y －4＝x ＋y －2，所以PQ MQ ⋅的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)、
〔3〕由题意，知直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设 PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)、 由
22
1(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，，
得22(1)k x
+＋2k (1－k )x ＋2(1)k -－2＝0、 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得A x ＝22
211k k k
--+，同理B
x ＝
22211k k k +-+、所以AB k ＝B A B A y y x x --＝(1)(1)B A B A k x k x x x -----＝2()B A B A
k k x x x x -+-＝1＝OP k 、 所以直线OP 和AB 一定平行、
19、〔1〕因为n ＝1时，1a ＋1S ＝1a ＋1a ＝2，所以1a ＝1、
因为n S ＝2－n a ，即n a ＋n S ＝2，所以1n a +＋1n S +＝2、
两式相减：1
n a
+－n a ＋1n S +－n S ＝0，即1n a +－n a ＋1n a +＝0，故有12n a +＝n
a 、
因为n
a ≠0，所以1
n n
a
a +＝12
(n ∈*N )、
所以数列{}n a 是首项1a ＝1，公比为12的等比数列，n a ＝112n -⎛⎫
⎪⎝⎭
(n ∈*N )、 〔2〕因为1
n b
+＝n b ＋n a (n ＝1，2，3，…)，所以1n b +－n b ＝
112n -⎛⎫
⎪⎝⎭
、从而有 21b b -＝1，32b b -＝12，43b b -＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1n n b b --＝212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
(n ＝2，3，…)、
将这n －1个等式相加，得
n b －1b ＝1＋12＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1
112112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－1122n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
、
又因为1
b ＝1，所以n
b ＝3－
1
122n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
(n ＝1，2，3，…)、
A
D
C
B E
〔3〕因为n
c ＝n (3－n
b )＝
1
122n n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以n
T ＝
02
2
1
11111223(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫+++
+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
、①
12
n T ＝1
231
111112
23(1)22222n n
n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
、②
①－②，得1
2n T ＝
02111112
2222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦－122n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭、 故n T ＝1124112
n ⎛⎫- ⎪⎝⎭
-－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－82n
－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－1(84)2n n +(n ＝1，2，3，…)、 20、〔1〕假设()f x ＝ax ＋b ∈M ，那么存在非零常数k ，对任意x ∈D 均有()f kx ＝akx ＋b ＝2k ＋()f x ，即a (k －1)x ＝2k 恒成立，得100k k -=⎧⎨=⎩，，
无解，所以()f x ∉M 、
〔2〕2log ()kx ＝2
k ＋2log x ，那么2
log k ＝2
k ，k ＝4，k ＝2时等式恒成立，所以()
f x ＝2
log x ∈M 、
〔3〕因为y ＝log a x (a ＞1)与y ＝x 有交点，由图象知，y ＝log a
x 与y ＝2
x 必有交点、
设log a k ＝2k ，那么()f kx ＝log ()a kx ＝log a k ＋log a
x ＝2
k ＋()f x ，所以()f x ∈M 、
附加题部分
21、【选做题】
A 、〔选修4-l ：几何证明选讲〕
连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，∵AB 是线段CD 的垂直平分线，
∴AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°………………………2分
那么6EB x =-，CE =由射影定理得2CE AE EB =， 即有(6)5x x -=，解得1x =〔舍〕或5x =…………8分
∴25630AC AE AB ==⨯=
，即AC =10分 B 、〔选修4—2：矩阵与变换〕 设矩阵
a b A c d ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，这里a b c d ∈R ,,,，
因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，那么有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦①， (4)
分
又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，那么有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦②，………6分
根据①②，那么有1010200a b c d a c --=⎧
⎪-+-=⎪⎨
-=⎪⎪-=⎩,,,,…………………………………………………8分
从而2101a b c d ==-==,,,,因此
2101A -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，………………………………10分
C 、〔选修4-4：坐标系与参数方程〕
由
sin 1
cos y x θθ
=+⎧⎨
=⎩得
1sin cos y x θθ
-=⎧⎨
=⎩，两式平方后相加得
22(1)1x y +-=，………………………4分
∴曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于的圆、令cos ,sin x y ρθρθ==，
代入并整理得2sin ρθ=、即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=、…………………………10分 D 、〔选修4－5：不等式选讲〕 〔1〕当1a =时,得211x -≥,即
112x -≥,解得3122
x x ≥≤
或,
∴不等式的解集为
13
(,][,)
22
-∞+∞、………………………………………………5分 〔2〕∵11,ax ax a a -+-≥-∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥∴实数a 的取值范围为),2[+∞、………………………………10分
22、[必做题]
〔1〕假设8种口味均不一样，有
5638=C 种；假设其中两瓶口味一样，有561
718=C C 种；
假设三瓶口味一样，有8种。

所以小明共有12085656=++种选择。

…………………4分 〔2〕ξ的取值为0，1，2，3.
12076)0(1
737+⋅+==C C P ξ10712084==；120
7)1(27+==C P ξ30712028
==； 1207)2(==ξP ；120
1)3(=
=ξP 、
所以ξ的分布列为…………………………………………………………………………8分
ξ
0 1 2 3
P
10
7
307 120
7 120
1 其
数
学
期
望
77713012310301201208
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
、……………………………………………10分
23、[必做题](1)取1x =，那么02n a =；取2x =，那么01233n n a a a a a +++++=，
∴123
32n n n n S a a a a =++++=-；…………………………………………4分
(2)要证2(2)22n n S n n >-+，只需证23(1)22n n n n >-+，
当4n =时，8180>；
假设当(4)n k k =≥时，结论成立，即23(1)22k k k k >-+， 两边同乘以3得：
12122
33(1)2222(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-+=+++-+--⎣⎦
而22(3)2442(3)24(2)6(3)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++> ∴1123((1)1)22(1)k k k k ++>+-++，即1n k =+时结论也成立， ∴当4n ≥时，23(1)22n n n n >-+成立.
综上原不等式获证.……………………………………………………………………10分。