一个代数不等式的几何证法

一个代数不等式的几何证法
不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。

步骤/方法比较法
比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。

基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)
基准1未知a+b0，澄清：a3+b3a2b+ab2
分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵(a3+b3)?(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
证明： =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)20
(a-b)2(a+b)0
即a3+b3a2b+ab2
例2 设a、br+，且ab，求证：aabbabba
分析：由澄清的不等式所述，a、b具备轮休对称性，因此可以在设a0的前提下用做商比较法，作商后同1比较大小，从而达至证明目的，步骤就是：10作商20商形整理30推论为与1的大小
证明：由a、b的对称性，不妨解a0则
aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b
∵a?b?0，ab?1，a-b?0
(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba
练习1 已知a、br+，nn，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法
利用基本不等式及其变式证明不等式就是常用的方法，常用的基本不等式及变形存有：
(1)若a、br，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)
(2)若a、br+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，挑等号)
(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)
基准3 若a、br， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21
分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22
证明：∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立
练2：若 a?b?0，证明a+1(a-b)b3综合法
综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

基准4，设立 a?0，b?0，a+b=1，证明:(a+1a)2+(b+1b)
证明：∵ a?0，b?0，a+b=1
ab14或1ab4
练习3：已知a、b、c为正数，n是正整数，且f (n)=1gan+bn+cn3
澄清：2f(n)f(2n)分析法
从理论入手，寻找命题成立的充分条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立，这种方法称为分析法。

基准5：未知a?0，b?0，2c?a+b，澄清：c-c2-ab
分析：观察求证式为一个连锁不等式，不易用比较法，又据观察求证式等价于 |a-c|
必须证c-c2-ab
只需证-c2-ab
证明：即为证 |a-c|
即证 (a-c)2
∵a0，即要证 a-2c-b 即为需证2+b2c，即为为未知
不等式成立
练4：未知ar且a1，澄清：3(1+a2+a4)(1+a+a2)2阿提斯鲁夫尔谷法
放缩法是在证明不等式时，把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明不等式，是证明不等式的重要方法，技巧性较强常用技巧有：(1)舍去一些正项(或负项)，(2)在和或积中换大(或换小)某些项，(3)扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等。

基准6：未知a、b、c、d都就是正数
求证： 1
分析：观测式子特点，若将4个分式万雅同分母，问题可以化解，必须商同分母除通分外，还需用阿提斯鲁夫尔谷法，但通分太麻烦，故用摆编法。

证明：
∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+ d=1
又由ab0)可以得：ba+b+c
ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b
综上言：1
练习5：已知：a2，求证：loga(a+1)1 6换元法
换元法就是许多实际问题化解中可以起著化难为易，化繁为简的促进作用，有些问题直接证明较为困难，若通过换元的思想与方法去解就很便利，常用于条件不等式的证明，常用的就是三角换元。

(1)三角换元：
就是一种常用的换元方法，在求解代数问题时，采用适度的三角函数展开换元，把代数问题转化成三角问题，充分利用三角函数的性质回去解决问题。

例7、若x、yr+,且 x-y=1 ?a=(x-1y)(y+1y)。

1x，求证0
证明：∵x，yr+，且x-y=1，x=sec ， y=tan ，(0
a=(sec-1sec(tan+1tan1sec2
=1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2
=sin
∵0
复习6：已知1x2+y22，求证：12 x2-xy+y23
(2)比值换元：
对于在已知条件中含有若干个等比式的问题，往往可先设一个辅助未知数表示这个比值，然后代入求证式，即可。

基准8：未知 x-1=y+12=z-23，澄清：x2+y2+z
证明：设x-1=y+12=z-23=k
于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+)2+反证法
有些不等式从正面证如果不好说清楚，可以考虑反证法，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步推导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原有结论是正确的，凡是至少、唯一或含有否定词的命题，适宜用反证法。

基准9：未知p3+q3=2，澄清：p+q2
分析：本题已知为p、q的三次，而结论中只有一次，应考虑到用术立方根，同时用放缩法，很难得证，故考虑用反证法。

证明：解设p+q2，那么p2-q
即6(q-1)20 由此得出矛盾 p+q2
练7：未知a+b+c0，ab+bc+ac0，abc0.
求证：a0，b0，c0数学归纳法
与自然数n有关的不等式，通常考量用数学归纳法去证明。

用数学归纳法证题时的两个步骤缺一不可。

例10：设nn，且n1,求证： (1+13)(1+15)(1+12n-1)2n+12
分析：观测澄清式与n有关，可以使用数学归纳法
证明：(1)当n=2时，左= 43，右=52
∵不等式设立
(2)假设n=k(k2，kn)时不等式成立，即(1+13)(1+15)(1+12k-1)2k+12
那么当n=k+1时，(1+13)(1+15)(1+12k-1)(1+12k+1)2k+12(1+12k+1)①
要证①式左边 2k+32，只要证2k+12
2k+22k+12k+32②
对于②〈二〉2k+2 2k+12k+3
〈二〉(2k+2)2 (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4 4k2+8k+3
〈二〉43 ③
∵③成立②成立，即当n=k+1时，原不等式成立
由(1)(2)证明所述，对一切n2(nn)，原不等式设立
练习8：已知nn，且n1，求证： 1n+1+1n+2++12n 构造法
根据澄清不等式的具体内容结构所证，通过构造函数、数列、合数和图形等，达至证明的目的，这种方法则叫做结构法。

1构造函数法
∵f (-x)
=f(x)
f(x)的图像则表示y轴对称
当x0时，据图像的'对称性知f(x)0
练9：未知ab，2ba+c，澄清：b- b2-ab
2构造图形法
基准12：若f(x)=1+x2 ，ab，则|f(x)-f(b)| |a-b|
于是如下图，设a(1，a)，b(1，b)则0a= 1+a2 0b= 1+b2
|ab|=|a-b|又?0a|-|0b?|ab||f(a)-f(b)||a-b|
练习10：设ac，bc，c0，求证 c(a-c)+c(b-c)ab某些不等式的证明若能优先考虑添项技巧，能得到快速求解的效果。

1倍数迎项
若不等式中含有奇数项的和，可通过对不等式乘以2变成偶数项的和，然后分组利用已知不等式进行放缩。

基准13：未知a、b、cr+，那么a3+b3+c33abc(当且仅当a=b=c时等号设立)
证明：∵a、b、cr+
a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]
=12[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)]12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc
当且仅当a=b，b=c，c=a即a=b=c时，等号设立。

2平方添项
运用此法必须特别注意原不等号的方向
例14 ：对于一切大于1的自然数n，求证：
(1+13 )(1+15 )(1+12n-1 2n+1 2)
证明：∵b0，m 0时ba b+ma+m
∵ [(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)]2=(43、n2n-1)(43、n2n-1) (54、n+12n)(43、n2n-1)=2n+13 2n+14
(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)2n+1 2)
3平均值迎项
例15：在△abc中，求证sina+sinb+sinc
分析：∵a+b+c=，可以按a、b、c的算术平均值迎项sin 3
证明：先证命题：若x0，y，则sinx+siny2sin x+y2(当且仅当x=y时等号成立)
∵0
上式成立
反反复复运用这个命题，得sina+sinb+sinc+sin 2sina+b2+2sinc+22sina+b2+c+
=4sin3=
sina+sinb
练习11 在△abc中，sin a2sinb2sinc
4利用均值不等式等号设立的条件迎项
例16 ：已知a、br+，ab且a+b=1，
澄清a4+b4 18
分析：若取消ab的限制则a=b= 12时，等号成立
证明：∵a、br+ a4+3(12)a4 [(12)4]3=12a①
同理b4+3(12)4 b②
∵ab ①②中等号不设立③中等号不设立原不等式设立
1.是否存在常数c，使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立?
羽蛛属：证明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒设立，故表明c存有。

正解：x=y得23 23，故猜想c= 23,下证不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。

必须证不等式xx+2y+xx+2y23 ，因为x,y就是正数，即为证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2
x+y)(x+2y),也即为证3x2+12xy+3y2 2(2x2+2y2+5xy),即2xyx2+y2 ，而此不等式恒设立，同理不等式 23xx+2y+y2x+y也设立，故存有c=23 并使原不等式恒设立。

6.2已知x,y,zr+ ，求证：x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz
羽蛛属：∵ x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又
x+y+z3xyzx2y2+y2z2+z2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz
错因：根据不等式的性质：若a0，c 0,则ac bd，但 ac bd却不一定成立
Auterive： x2y2+y2z2 2x y2z，
y2z2+z2x2 2x yz2，
x2y2+z2x2 2x 2yz，
以上三式相加，化简得：x2y2+y2z2+z2x2xyz(x+y+z)，
两边同除以x+y+z:
x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz
6.3 设x+y0， n为偶数，澄清 yn-1xn+xn-1yn
1x 1y
错证：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y
=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
n为偶数， xnyn 0，又xn-yn 和xn-1-yn-1
同号，
yn-1xn+xn-1yn 1x-1y
错因：在x+y0的条件下，n为偶数时， xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同号，应分x、y 同号和异号两种情况讨论。

Auterive：应用领域比较法：
yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
① 当x0时， (xn-yn)(xn-1-yn-1)
0，(xy)n 0
所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
0故：yn-1xn+xn-1yn 1x-1y
② 当x,y存有一个就是负值时，何不设x0，
且x+y0，所以x|y|
又n为偶数时,所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1) 0
又 (xy)n 0，所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn
0即 yn-1xn+xn-1yn 1x-1y
综合①②知原不等式成立。