角平分线的性质和判定经典题

角平分线的性质和判定复习

一知识要点：

1.角平分线的作法（尺规作图）思

考：这一画法的根据是什么？

2.角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：

文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

几何表达：

∵OP 平分∠ MON （∠ 1＝∠ 2）， PA⊥OM ， PB⊥ON ，（已知）

∴PA＝PB．（角平分线的性质）

思考：这一性质定理的根据是什么？

（2）角平分线的判定：

文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

几何表达：

∵PA⊥OM ，PB⊥ON ，PA＝PB（已知）

∴∠ 1＝∠ 2（OP 平分∠ MON ）（角平分线的判定）

二、典型例题

角平分线的性质一

例题 1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠ AOC=∠ BOC的依据是( )

A.SSS

B.ASA

C.AAS

D.角平分线上的点到角两边距离相等例题 2

如图， BD 平分∠ ABC ， DE 垂直于 AB 于 E 点，△ ABC 的面积等于 90， AB=18 ， BC=12 ，则求 DE 的长.

例题 3

已知：如图，△ABC 中，∠ C=90 °， AD 是△ ABC 的角平分线， DE⊥ AB 于 E， F在 AC 上BD=DF ，求证：CF=EB。

A

E

F

C D B

例题 4

已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠ B＝∠ C.

A

E F

B D C

例题 5

已知 :如图所示 ,点 O 在∠ BAC 的平分线上 ,BO ⊥ AC,CO ⊥ AB, 垂足分别为D， E,求证： OB ＝OC.

例题 6

如图 ,△ ABC 中 ,∠ C=90 ° ,AC=BC,AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D,DE ⊥AB, 垂足为 E,且 AB=10 cm,求△ DEB 的周长 .

例题 7

如图所示 ,在△ABC 中 ,∠C= 90°,AD 是∠BAC 的平分线 ,DE⊥AB 于点 E,点 F 在 AC 上 ,BE=CF , 求证 :BD=FD.

例题 8

如图 ,在△ABC 中 ,AD 是∠BAC 的平分线 ,E,F 分别为AB ,AC 上的点 ,且∠EDF+ ∠EAF= 180°.求证 :DE=DF .

例题 8求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.

角平分线的性质二

例题 1 如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E， F,AE=AF. 求证：

(1)PE=PF；

(2)点 P 在∠ BAC 的平分线上 .

例题 2 如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接 AD. 求证： AD 是∠BAC 的外角平分线.

例题 3 已知：如图，CD ⊥ AB于点D ， BE ⊥ AC于点E， BE ， CD相交于点O.

求证：（ 1）当∠ 1＝∠ 2 时， OB＝ OC；

（2）当 OB＝ OC 时，∠ 1＝∠ 2.

例题 4 已知：如图所示，在△ABC 中， BD=DC, ∠ 1=∠ 2，求证： AD 平分∠ BAC.

例5、如图， AD ⊥DC，BC⊥DC ：，E 是 DC 上一点， AE 平分∠ DAB ．E 是 DC 的中点，求证： BE 平分∠ ABC．

例题 6 .如图所示 ,在四边形 ABCD 中 ,∠ADC+ ∠ABC= 180°,BC=DC ,CE⊥AD ,交 AD 的延长线于点E,CF⊥AB 于点 F.

求证 :AC 平分∠BAD.

例7 如图所示，已知△ ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，那么 AP 能否平分∠ BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？