石子归并(动态规划)

石子归并（动态规划）
动态规划石子合并问题
【石材加固】
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子。

现要将石子有次序地合并成一堆。

规定每次
只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

尝试设计一个算法来计算将n堆石头合并成一堆的最小分数和最大分数。

[输入文件]
包含两行，第1行是正整数n（1<=n<=100），表示有n堆石子。

第2行有n个数，分别表示每堆石子的个数。

【输出文件】输出两行。

第1行中的数字是最低分数；第2行中的数字是最高分。

[输入示例]4
4459
[输出示例]4354
【分析】
起初，我以为贪心法可以解决这个问题，但事实上，由于必须有两个相邻的桩合并，
贪心法不能保证每次都能得到所有桩中石头数量最多的两个桩。

例如，以下示例：6
346542
如果使用贪心法计算最小分数，则应为以下合并步骤：第一次合并3465422,3合并分
数为5，第二次合并546545,4合并分数为9，第三次合并96545,4合并分数为9，第四次
合并9699,6合并分数为15，第五次合并15915,9合并分数为24，总分=5+9+9+15+24=62
但是如果采用如下合并方法，却可以得到比上面得分更少的方法：第一次合并3465423,4合并得分是7第二次合并765427,6合并得分是13第三次合并135424,2合并得分是6第四次合并13565,6合并得分是11第五次合并131113,11合并得分是24总得分＝
7＋13＋6＋11＋24＝61
因此，我们知道这个问题不能用贪婪的方法来解决。

在上面的例子中，相邻的两个石
子数量分别为13和11的桩第五次合并。

第一堆、第二堆和第三堆（石块数量分别为3、4和6）以及第四、第五和第六堆（石块数量分别为5、4和2）组合四次后形成两堆石块。

所以问题归结为如何使两个子序列的N-2组合分数之和达到最优。

为了实现这一目标，我
们将第一个序列分为两个：第一和第二堆形成子序列1，第三堆形成子序列2。

子序列1
中的两个桩首次合并，得分为7；第二次，将其与一堆子序列2相结合，得13分。

显然，这种合并方案对于第一个子序列是最好的。

同样，我们将第二个子序列分成两部分；第四
桩为子序列1，第五桩和第六桩为子序列2。

第三次，在子序列2中合并2个桩，得分为6；
将第四个孩子的分数与第十三个孩子的分数合并。

显然，这种合并方案对于第二个子序列
也是最好的。

由此，我们可以得出结论，有六堆石头通过这条路
的５次合并后，得分的总和最小。

动态规划思路：
第一阶段：每块石料的合并过程，先是2乘2，然后是3乘3，最后是n堆合并状态s：每个阶段不同合并方法的石料合并总分。

决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案
具体来说，我们应该定义一个数组s[I，J]来表示合并方法。

I代表从编号为I的石
头中合并，J代表从I开始从J个桩的数量中合并，s[I，J]是合并的最佳分数。

对于上面的例子来说，初始阶段就是s[1,1],s[2,1],s[3,1],s[4,1],s[5,1],s[6,1]，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。

第二阶段：第二阶段：将两者合并的过程如下：，（I，J）表示从I.s[1，2[1，1，1，1，1，1，1）1[1，（1，1，1，1）1，1，1）1，1，（1，1，2）s[2，1，1，1，1，1，1，J）以及（1，1，1，1，1，1，J）和（1，1，1，1，1，1，1，2）2）s[2，2）s[2，2，
2[2，2，2，2，2，2，2[2，2，2，2，1，2，1，2，2，1，1，1，2，1，1，1，1，1，
2[2[2，1，1，2，1，1，1，1，2，1，1，1，1，2，1，1，1，1][2，2，2，2，2，2，2，1，2，2，1，1][1,2）s[1,1]+s[5,1]+s[5,1]+s[5,1]+SM（6,2）
第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为
一组s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优
s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优...
第四阶段：四和四相结合的分裂法使用三种方法。

同样，计算这三种方法的分数，然
后选择最好的一种。

在未来，第五阶段和第六阶段被类比，最终在第六阶段可以找到最佳
答案。

由此得到算法框架如下：
福吉← 2在{枚举阶段，从两个}forI的组合计算← 1 TONDO{计算当前阶段n个不同
状态的值}← 1toj-1开始{列举不同的分段方法}
ifi+k>nthent←(i+k)modnelset←i+k{最后一个连第一个的情况处理}s[i,j]←最优
{s[i,k]+s[t,j-k]+sum[1,3]}{sum[i,j]表示从i开始数j个数的和}end;
变量
n:integer;
a：longint的数组[1..100]；
s:array[1..100,1..100]oflongint;t:array[0..100,0..100]oflongint;i,j,k,temp,max ,min:longint;begin
赋值（输入'shizi.in'）；复位（输入）；readln（n）；
fillchar(t,sizeof(t),0);{计算和数组}
fori:=1tondoread（a[i]）；fori:=1tondoforj:=1tondo
fork:=itoi+j-1dobegin
如果k>nthentemp:=kmodnelstemp:=k；t[i，j]：=t[i，j]+a[temp]；终止
{动态规划求最大得分}
fillchar（s，sizeof（s），0）；forj:=2托福里：=1托福里：=1托福里：=1托福里：=1托福金。