北师大版2020-2021学年度九年级数学上册期末模拟测试题1(含答案)

北师大版2020-2021学年度九年级数学上册期末模拟测试题1（含答案）一、单选题（每小题4分，共计48分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（4分）如果＝，那么＝（）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）
A．B．C．D．
4．（4分）已知反比例函数y＝，则下列点中在这个反比例函数图象上的是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（2，2）D．（2，﹣1）5．（4分）下列命题正确的个数有（）
①两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；
②对角线相等的四边形是矩形；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形；
④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为4：9．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（4分）如图，A为反比例函数y＝的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB＝2，则k的值为（）
A．4B．2C．﹣2D．1
7．（4分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△
ABC与△ADE相似的是（）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝
8．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1D．k≥且k≠1 9．（4分）二次函数y＝x2+4x+3的图象可以由二次函数y＝x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（）
A．先向左平移2个单位，再先向上平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再先向下平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再先向上平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再先向下平移1个单位
10．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）
A．B．C．D．
11．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则ax2+bx+c+4＝0的解的情况为（）
A．有唯一解B．有两个解
C．无解D．无法确定
12．（4分）在矩形ABCD中，AB＝12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，那么下列选项正确的是（）
①BP＝BF；②如图1，若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且
AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．
A．①②③④B．①②④⑤
C．①②③⑤D．①②③④⑤
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．（4分）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．
14．（4分）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．
15．（4分）古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是（0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）
16．（4分）如图，抛物线y1＝a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2＝（x﹣3）2+n交于点A （1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x＝0时，y2＝5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC 的中垂线．正确结论是（填写正确结论的序号）．
三、解答题（共计86分）
17．（5分）计算题：|﹣3|+tan30°﹣﹣（2017﹣π）0+（）﹣1．
18．（5分）解分式方程：．
19．（5分）如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都
在正方形网格的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的相似比为，面积比为．
20．（6分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos∠DAC．（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．
21．（7分）如图所示，有一电路AB是由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d四个开关中的任意两个开关．
（1）请用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况；
（2）求出使电路形成通路（即灯泡亮）的概率．
22．（7分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯DA的正下方，小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下
方．
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高．
23．（7分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
24．（7分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
25．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．
26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线和直线y＝kx+b交于A，B两点，点A 的坐标为（﹣3，2），BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集．
27．（10分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
28．（11分）如图1，已知二次函数y＝mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y＝﹣x﹣对称．
（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；
（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线l于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：
（3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF＝45°？若存在，请求出点F坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（每小题4分，共计48分）
1．解：根据轴对称图形的定义，选项中图形为轴对称的有A、C、D．根据中心对称图形的定义，选项中图形为中心对称的有B、D．
综上可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D．
故选：D．
2．解：∵＝，
∴3x+3y＝5x，
则3y＝2x，
那么＝．
故选：D．
3．解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为＝2．
∴cos∠ABC＝＝．
故选：B．
4．解：A、1×2＝2，故在函数图象上；
B、1×（﹣2）＝﹣2≠2，故不在函数图象上；
C、2×2＝4≠2，故不在函数图象上；
D、2×（﹣1）＝﹣2≠2，故不在函数图象上．
故选：A．
5．解：①两边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，故错误；
②对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
③任意四边形的中点四边形是平行四边形，正确；
④两个相似多边形的面积比为2：3，则周长比为：，故错误，
正确的有1个，
故选：A．
6．解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB＝|k|＝2；
又由于函数图象位于一、三象限，则k＝4．
故选：A．
7．解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
8．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴，
解得：k＞且k≠1．
故选：C．
9．解：根据题意y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．
故选：B．
10．解：A、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx
来说，对称轴x＝＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；
C、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx
来说，图象开口向上，对称轴x＝＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；
D、对于直线y＝ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx
来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；
故选：C．
11．解：如图，直线y＝﹣4与抛物线y＝ax2+bx+c没有交点，即ax2+bx+c+4＝0的解的情况为：无解．
故选：C．
12．解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°，
∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，
∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴BE∥PG，
∴∠GPF＝∠PFB，
∴∠BPF＝∠BFP，
∴BP＝BF；
故①正确；
②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
故②正确；
③当AD＝25时，
∵∠BEC＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CED＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，
设AE＝x，
∴DE＝25﹣x，
∴＝，
∴x＝9或x＝16，
∵AE＜DE，
∴AE＝9，DE＝16；
故③正确；
④由③知：CE＝＝＝20，
BE＝＝＝15，
由折叠得，BP＝PG，
∴BP＝BF＝PG，
∵BE∥PG，
∴△ECF∽△GCP，
∴＝，
设BP＝BF＝PG＝y，
∴＝，
∴y＝
∴BP＝，
在Rt△PBC中，PC＝＝＝，∴sin∠PCB＝＝＝，
故④不正确；
⑤如图，连接FG，
由①知BF∥PG，
∵BF＝PG＝PB，
∴▱BPGF是菱形，
∴BP∥GF，FG＝PB＝9，
∴∠GFE＝∠ABE，
∴△GEF∽△EAB，
∴＝，
∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108；
故⑤正确，
所以本题正确的有①②③⑤，共4个，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共计16分）
13．解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长
设斜边为c，
∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0
即（c2﹣3）（c2+4）＝0，
∵c2+4≠0，
∴c2﹣3＝0，
解得c＝或c＝﹣（舍去）．
则直角三角形的斜边长为．
故答案为：
14．解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
15．解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则≈0.618，
解得：x≈5，且符合题意．
故答案为：5．
16．解：∵抛物线y1＝a（x+2）2+m与抛物线y2＝（x﹣3）2+n的对称轴分别为x＝﹣2，x＝3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵y1＝a（x+2）2+m经过点A（1，3）与原点，
∴，
解得，
∴y1＝（x+2）2﹣，
∵y2＝（x﹣3）2+n经过点A（1，3），
∴（1﹣3）2+n＝3，
解得n＝1，
∴y2＝（x﹣3）2+1，
当x＝0时，y＝（0﹣3）2+1＝5.5，故②错误；
由图象得，当x＞1时，两个抛物线在直线x＝3的右侧不可能有交点，所以y1＞y2一定成立，故③正确；
∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，
∴令y＝3，则（x+2）2﹣＝3，
整理得，（x+2）2＝9，
解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴AB＝1﹣（﹣5）＝6，
∴A（1，3），B（﹣5，3）；
令y＝3，则（x﹣3）2+1＝3，
整理得，（x﹣3）2＝4，
解得x1＝5，x2＝1，
∴C（5，3），
∴AC＝5﹣1＝4，
∴BC＝10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（共计86分）
17．解：原式＝3+×﹣2﹣1+3＝3+1﹣2﹣1+3＝4．18．解：去分母得：x（x+1）﹣x2+1＝2，
去括号得：x2+x﹣x2+1＝2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
19．解：（1）如图，点O为位似中心；
（2）因为AB：A′B′＝OA：OA′＝12：6＝2：1，
所以△ABC与△A′B′C′的相似比为2：1，面积比为4：1．故答案为2：1；4：1．
20．（1）证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵tan B＝cos∠DAC，
∴＝，
∴BD＝AC；
（2）解：设AC＝BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣x，
∵sin C＝，
∴cos C＝，tan C＝，
∴＝，＝，
即＝，
解得：x＝，
∴CD＝12﹣x＝，
∴AD＝CD＝×＝8，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×12×8＝48．21．解：列表得：
a b c d
a a
b a
c ad
b ba b
c bd
c ca cb cd
d da db dc
则共有12种等可能的结果；
（2）∵使电路形成通路（即灯泡亮）的有8种情况，∴使电路形成通路（即灯泡亮）的概率是．22．解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，
∴∠EP A＝∠CBA＝90°
∵∠EAP＝∠CAB，
∴△EAP∽△CAB
∴
∴
∴AB＝10
BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；
②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，
∴∠FQB＝∠DAB＝90°
∵∠FBQ＝∠DBA，
∴△BFQ∽△BDA
∴＝
∴
∴DA＝12．
23．解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x＝400，
解得x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
24．解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠P AB＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
25．1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2．
26．解：（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线y＝上，
∴2＝，即m＝﹣6，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线y＝﹣上，且OC＝6BC，
设点B的坐标为（a，﹣6a），
∴﹣6a＝﹣，解得：a＝±1（负值舍去），
∴点B的坐标为（1，﹣6），
∵直线y＝kx+b过点A，B，
∴，
解得：．
∴直线的解析式为y＝﹣2x﹣4；
（2）根据图象得：不等式＞kx+b的解集为﹣3＜x＜0或x＞1．27．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE•DF＝7.5
∴（10﹣t）•t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
28．解：（1）∵令y＝0，
∴0＝mx2+3mx﹣m
∴x1＝，x2＝﹣
∴A（﹣，0），B（，0）
∴顶点D的横坐标为﹣
∵直线y＝﹣x﹣与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y＝﹣x﹣对称．∴∠DAB＝60°，且D点横坐标为﹣
∴D（﹣，﹣3）
∴﹣3＝m﹣m﹣m
∴m＝
∴抛物线解析式y＝x2+x﹣
（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3）
∴直线AD解析式y＝﹣x﹣
∵直线BE∥AD
∴直线BE解析式y＝﹣x+
∴﹣x﹣＝﹣x+
∴x＝
∴E（，﹣3）
如图2，作点P关于AE的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'
根据对称性可得PQ＝P'Q，PE＝EP'＝P'E'
∴DQ+PQ+PE＝DQ+P'Q+P'E'
∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小
即DQ+PQ+PE最小值为DE'
∵D（﹣，﹣3），E'（，3）
∴DE'＝12
∴DQ+PQ+PE最小值为12
（3）∵抛物线y＝（x+）2﹣3图象向右平移个单位，再向上平移3个单位∴平移后解析式y＝x2
当x＝3时，y＝3，
∴M（3，3）
如图3
，
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，则∠EAM＝45°，直线AE交y轴于F点，作MG⊥x轴，EH⊥MG，则△EHM≌△AMG．
∵A（﹣，0），M（3，3）
∴E（3﹣3，3+）
∴直线AE解析式：y＝x+
∴F（0，）
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，
同理可得：F（0，﹣）。