成都市七中育才学校(新校区)七年级下册数学期末试卷测试卷（含答案解析）

成都市七中育才学校(新校区)七年级下册数学期末试卷测试卷（含答案解析） 一、解答题
1．已知：AB //CD ．点E 在CD 上，点F ，H 在AB 上，点G 在AB ，CD 之间，连接FG ，EH ，GE ，∠GFB ＝∠CEH ．
（1）如图1，求证：GF //EH ；
（2）如图2，若∠GEH ＝α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．
2．如图，//MN PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG AD ⊥，垂足为点G ．
（1）如图1，求证：90MAG PBG ∠+∠=︒；
（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，MAG ∠和PBC ∠的平分线交于点H 请在图2中补全图形，猜想并证明CBG ∠与AHB ∠的数量关系；
3．已知，AB ∥CD ．点M 在AB 上，点N 在CD 上．
（1）如图1中，∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF 、∠F 、∠FND 的数量关系为： ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE 平分∠FND ，MB 平分∠FME ，且2∠E ＋∠F ＝180°，求∠FME 的度数；
（3）如图4中，∠BME ＝60°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，且EQ ∥NP ，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数．
4．已知：直线AB∥CD，M，N分别在直线AB，CD上，H为平面内一点，连HM，HN．（1）如图1，延长HN至G，∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E．求证：2∠MEN﹣∠MHN＝180°；
（2）如图2，∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E．
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系：；
②作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延长线于点Q，若∠H＝140°，求∠ENQ的度数．（可直接运用①中的结论）
5．问题情境：
如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．
问题解决：
（1）如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD交于点M、N，点P在直线I上运动，当点P 在线段MN上运动时（不与点M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时．请直接写出
∠APC、α、B之间的数量关系；
（3）如图3，AB∥CD，点P是AB、CD之间的一点（点P在点A、C右侧），连接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q．若∠APC＝116°，请结合（2）中的规律，求∠AQC 的度数．
二、解答题
6．阅读下面材料：
小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，//,AB CD E 为,AB CD 之间一点，连接,,35,37BE DE B D ∠=︒∠=︒，求BED ∠的度数．
她是这样做的： 过点E 作//,EF AB 则有,BEF B ∠=∠ 因为//,AB CD 所以//.EF CD ① 所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠ 即BED ∠=_ ； 1．小颖求得BED ∠的度数为__ ； 2．上述思路中的①的理由是__ ； 3．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：
已知：直线//,a b 点,A B 在直线a 上，点,C D 在直线b 上，连接,,AD BC BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠且,BE DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则BED ∠的度数为 ；(用含有,αβ的式子表示)．
（2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设,ABC ADC αβ∠=∠=，直接写出BED ∠的度数(用含有,αβ的式子表示)．
7．如图，AB ⊥AK ，点A 在直线MN 上，AB 、AK 分别与直线EF 交于点B 、C ，∠MAB+∠KCF =90°．
（1）求证：EF ∥MN ；
（2）如图2，∠NAB 与∠ECK 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数；
（3）如图3，在∠MAB 内作射线AQ ，使∠MAQ =2∠QAB ，以点C 为端点作射线CP ，交直．线．AQ 于点T ，当∠CTA =60°时，直接写出∠FCP 与∠ACP 的关系式．
8．（1）学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b ，使直线b 经过点P ，且//b a ，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的 线．
（2）已知，如图3，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠．求证：//BE CF （写出每
步的依据）． 9．问题情境
（1）如图1，已知//AB CD ，125PBA ︒∠=，155PCD ︒∠=，求BPC ∠的度数．佩佩同学的思路：过点P 作PG//AB ，进而//PG CD ，由平行线的性质来求BPC ∠，求得
BPC ∠=________． 问题迁移
（2）图2．图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，90ACB ︒∠=，//DF CG ，AB 与FD 相交于点E ，有一动点P 在边BC 上运动，连接PE ，PA ，记PED α∠=∠，PAC β∠=∠．
①如图2，当点P 在C ，D 两点之间运动时，请直接写出AOE ∠与α∠，β∠之间的数量关系；
②如图3，当点P 在B ，D 两点之间运动时，APE ∠与α∠，β∠之间有何数量关系？请判断并说明理由；拓展延伸
（3）当点P 在C ，D 两点之间运动时，若PED ∠，PAC ∠的角平分线EN ，AN 相交于点
N ，请直接写出ANE ∠与α∠，β∠之间的数量关系．
10．如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，
，，且满足()2
40a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B
（1）求三角形ABC 的面积．
（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若
,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出
P 点坐标；若不存在；请说明理由．
三、解答题
11．如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，20B ∠=︒，60C ∠=°．
（1）求CAD ∠、AEC ∠和EAD ∠的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当30B ∠=︒，60C ∠=°，则
EAD ∠=__________︒．
当50B ∠=︒，C 60∠=︒时，则EAD ∠=__________︒． 当60B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒． 当70B ∠=︒，60C ∠=°时，则EAD ∠=__________︒．
（3）若B 和C ∠的度数改为用字母α和β来表示，你能找到EAD ∠与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．
12．如图，已知直线a ∥b ，∠ABC ＝100°，BD 平分∠ABC 交直线a 于点D ，线段EF 在线段AB 的左侧，线段EF 沿射线AD 的方向平移，在平移的过程中BD 所在的直线与EF 所在的直线交于点P ．问∠1的度数与∠EPB 的度数又怎样的关系？
（特殊化）
（1）当∠1＝40°，交点P 在直线a 、直线b 之间，求∠EPB 的度数；
（2）当∠1＝70°，求∠EPB 的度数；
（一般化）
（3）当∠1＝n°，求∠EPB 的度数（直接用含n 的代数式表示）．
13．己知:如图①，直线MN ⊥直线PQ ，垂足为O ，点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上(A 、B 不与O 点重合)，点C 在射线ON 上且2OC =，过点C 作直线//l PQ .点D 在点C 的
左边且3CD =
(1)直接写出的BCD ∆面积 ;
(2)如图②，若AC BC ⊥，作CBA ∠的平分线交OC 于E ，交AC 于F ，试说明
CEF CFE ∠=∠;
(3)如图③，若ADC DAC ∠=∠，点B 在射线OQ 上运动，ACB ∠的平分线交DA 的延长线于点H ,在点B 运动过程中
H
ABC
∠∠的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围. 14．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=︒，65B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处. （1）若140∠=︒，2∠=________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论. ②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．
（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________.
15．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在
GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒；
（1）如图1，求BAN ∠的度数；
（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】
（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【详
解析：（1）见解析；（2）902
FME α
∠=︒-，证明见解析．
【分析】
（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【详解】 （1）证明：
//AB CD ，
CEH EHB ∴∠=∠， GFB CEH ∠=∠， GFB EHB ∴∠=∠，
//GF EH ∴；
（2）解：902
FME α
∠=︒-
，理由如下：
如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，
//MQ CD ∴，
AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠， FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，
同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠， FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，
2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，
2FGE FME ∴∠=∠，
由（1）知，//GF EH ，
180FGE GEH ∴∠+∠=︒，
GEH α∠=，
180FGE α∴∠=︒-，
2180FME α∴∠=︒-，
902
FME α
∴∠=︒-
．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点在上时，；当点在上时，． 【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作即可求解． 【详解】 （1）证明：
解析：（1）证明见解析；（2）补图见解析；当点C 在AG 上时，290AHB CBG ∠-∠=︒；当点C 在DG 上时，290AHB CBG ∠+∠=︒． 【分析】
（1）过点G 作//GE MN ，根据平行线的性质即可求解；
（2）分两种情况：当点C 在AG 上，当点C 在DG 上，再过点H 作//HF MN 即可求解． 【详解】
（1）证明：如图，过点G 作//GE MN ，
∴MAG AGE ∠=∠， ∵//MN PQ ，
∴PBG BGE ∠=∠． ∵BG AD ⊥， ∴90AGB ∠=︒，
∴90MAG PBG AGE BGE AGB ∠+∠=∠+∠=∠=︒． （2）补全图形如图2、图3，
猜想：290AHB CBG ∠-∠=︒或290AHB CBG ∠+∠=︒． 证明：过点H 作//HF MN ．
∴1AHF ∠=∠． ∵//MN PQ ， ∴//HF PQ ∴2BHF ∠=∠，
∴12AHB AHF BHF ∠=∠+∠=∠+∠． ∵AH 平分MAG ∠， ∴21MAG ∠=∠．
如图3，当点C 在AG 上时， ∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠+∠=∠， ∵//MN PQ ， ∴MAG GDB ∠=∠，
2212290AHB MAG PBG CBG GDB PBG CBG CBG
∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠ 即290AHB CBG ∠-∠=︒． 如图2，当点C 在DG 上时， ∵BH 平分PBC ∠，
∴22PBC PBG CBG ∠=∠-∠=∠．
∴2212290AHB MAG PBG CBG CBG ∠=∠+∠=∠+∠-∠=︒-∠． 即290AHB CBG ∠+∠=︒． 【点睛】
本题考查了平行线的基本性质、角平分线的基本性质及角的运算，解题的关键是准确作出平行线，找出角与角之间的数量关系．
3．（1）∠BME ＝∠MEN ﹣∠END ；∠BMF ＝∠MFN ＋∠FND ；（2）120°；
（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB
解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
∠BME，进而可求解．
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1
2
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，
∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝1
2∠MEN＝1
2
（∠BME＋∠END），∠ENP＝1
2
∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝1
2（∠BME＋∠END）﹣1
2
∠END＝1
2
∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝1
2
×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．4．（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即
解析：（1）见解析；（2）①2∠MEN＋∠MHN＝360°；②20°
【分析】
（1）过点E作EP∥AB交MH于点Q，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（2）①过点H作GI∥AB，利用（1）中结论2∠MEN﹣∠MHN＝180°，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为180°，角与角之间的基本运算、等量代换等得出∠AMH＋∠HNC＝360°﹣（∠BMH＋∠HND），进而用等量代换得出2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②过点H作HT∥MP，由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，∠H＝140°，∠MEN＝110°．利用平行线性质得∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°，由角平分线性质及邻补角可得
∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．继续使用等量代换可得∠ENQ度数．【详解】
解：（1）证明：过点E作EP∥AB交MH于点Q．如答图1
∵EP∥AB且ME平分∠BMH，
∴∠MEQ＝∠BME＝1
2
∠BMH．
∵EP∥AB，AB∥CD，
∴EP∥CD，又NE平分∠GND，
∴∠QEN＝∠DNE＝1
2
∠GND．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN＝∠MEQ＋∠QEN＝1
2∠BMH＋1
2
∠GND＝1
2
（∠BMH＋∠GND）．
∴2∠MEN＝∠BMH＋∠GND．
∵∠GND＋∠DNH＝180°，∠DNH＋∠MHN＝∠MON＝∠BMH．
∴∠DHN＝∠BMH﹣∠MHN．
∴∠GND＋∠BMH﹣∠MHN＝180°，
即2∠MEN﹣∠MHN＝180°．
（2）①：过点H作GI∥AB．如答图2
由（1）可得∠MEN＝1
2
（∠BMH＋∠HND），
由图可知∠MHN＝∠MHI＋∠NHI，
∵GI∥AB，
∴∠AMH＝∠MHI＝180°﹣∠BMH，
∵GI∥AB，AB∥CD，
∴GI∥CD．
∴∠HNC＝∠NHI＝180°﹣∠HND．
∴∠AMH＋∠HNC＝180°﹣∠BMH＋180°﹣∠HND＝360°﹣（∠BMH＋∠HND）．又∵∠AMH＋∠HNC＝∠MHI＋∠NHI＝∠MHN，
∴∠BMH＋∠HND＝360°﹣∠MHN．
即2∠MEN＋∠MHN＝360°．
故答案为：2∠MEN＋∠MHN＝360°．
②：由①的结论得2∠MEN＋∠MHN＝360°，
∵∠H＝∠MHN＝140°，
∴2∠MEN＝360°﹣140°＝220°．
∴∠MEN＝110°．
过点H作HT∥MP．如答图2
∵MP∥NQ，
∴HT∥NQ．
∴∠ENQ＋∠ENH＋∠NHT＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵MP平分∠AMH，
∴∠PMH＝1
2∠AMH＝1
2
（180°﹣∠BMH）．
∵∠NHT＝∠MHN﹣∠MHT＝140°﹣∠PMH．
∴∠ENQ＋∠ENH＋140°﹣1
2
（180°﹣∠BMH）＝180°．
∵∠ENH＝1
2
∠HND．
∴∠ENQ＋1
2∠HND＋140°﹣90°＋1
2
∠BMH＝180°．
∴∠ENQ＋1
2
（HND＋∠BMH）＝130°．
∴∠ENQ＋1
2
∠MEN＝130°．
∴∠ENQ＝130°﹣110°＝20°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
5．（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线
解析：（1）∠APC=α+β，理由见解析；（2）∠APC=α-β或∠APC=β-α；（3）58°
【分析】
（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的判定与性质即可求解；
（2）分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解；
（3）过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=α，∠CPE=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．
（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段MN的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PAB=α，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD，∠PCD=β，
∴α=∠APC+β，
∴∠APC=α-β；
如图，在（1）的条件下，如果点P在线段NM的延长线上运动时，
∵AB∥CD，∠PCD=β，
∴∠2=∠PCD=β，
∵∠2=∠PAB+∠APC，∠PAB=α，
∴β=α+∠APC，
∴∠APC=β-α；
（3）如图3，过点P，Q分别作PE∥AB，QF∥AB，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥QF ∥PE ∥CD ，
∴∠BAP =∠APE ，∠PCD =∠EPC ，
∵∠APC =116°，
∴∠BAP +∠PCD =116°，
∵AQ 平分∠BAP ，CQ 平分∠PCD ，
∴∠BAQ =12∠BAP ，∠DCQ =1
2∠PCD ，
∴∠BAQ +∠DCQ =12（∠BAP +∠PCD ）=58°，
∵AB ∥QF ∥CD ，
∴∠BAQ =∠AQF ，∠DCQ =∠CQF ，
∴∠AQF +∠CQF =∠BAQ +∠DCQ =58°，
∴∠AQC =58°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键． 二、解答题
6．；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．
【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据B
解析：1.72；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）1122
αβ+；（2）1118022
αβ-+． 【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠求出11,22
ABE CDE αβ∠=∠=，过点E 作
EF ∥AB ，根据平行线的性质求出∠BEF =12α，11801802DEF CDE β∠=︒-∠=︒-，再利用周角求出答案．
【详解】
1、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以//.EF CD ①
所以,FED D ∠=∠
所以,BEF FED B D ∠+∠=∠+∠
即BED ∠=72；
故答案为：72；
2、过点E 作//,EF AB
则有,BEF B ∠=∠
因为//,AB CD
所以EF ∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；
3、（1）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠
∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，由1可得∠BED =BEF FED ABE CDE ∠+∠=∠+∠，
∴∠BED =1122
αβ+， 故答案为：1122
αβ+；
（2）∵BE 平分,ABC DE ∠平分,ADC ∠
∴1111,2222
ABE ABC CDE ADC αβ∠=∠=∠=∠=， 过点E 作EF ∥AB ，则∠ABE =∠BEF =12
α， ∵//,AB CD
∴EF ∥CD ，
∴180CDE DEF ∠+∠=︒，
∴11801802DEF CDE β∠=︒-∠=︒-， ∴11360360(180)22BED DEF BEF βα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=1118022
αβ-+．
【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推论，正确引出辅助线是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP 或
∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K
解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP =2∠ACP 或∠FCP +2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN =90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF ，从而判断两直线平行；
（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G 作GH ∥EF ，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；
（3）分CP 交射线AQ 及射线AQ 的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．
【详解】
解：（1）∵AB ⊥AK
∴∠BAC=90°
∴∠MAB+∠KAN =90°
∵∠MAB+∠KCF =90°
∴∠KAN=∠KCF ∴EF ∥MN
（2）设∠KAN=∠KCF=α
则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α
∠KCB=180°－∠KCF=180°－α
∵AG 平分∠NAB ，CG 平分∠ECK
∴∠GAN=12∠BAN=45°＋12α，∠KCG=12∠KCB=90°－1
2α
∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋12α
过点G 作GH ∥EF
∴∠HGC=∠FCG=90°＋12α
又∵MN ∥EF
∴MN ∥GH
∴∠HGA=∠GAN=45°＋12α
∴∠CGA=∠HGC －∠HGA=（90°＋12α）－（45°＋12α）=45°
（3）①当CP 交射线AQ 于点T
∵180CTA TAC ACP ∠+∠+∠=︒
∴180CTA QAB BAC ACP ∠+∠+∠+∠=︒
又∵=60,90CTA BAC ∠︒∠=︒
∴30QAB ACP ∠+∠=︒
由（1）可得：EF ∥MN
∴FCA MAC ∠=∠
∵FCP FCA ACP ∠=∠+∠
∴FCP MAC ACP ∠=∠+∠
∵MAC MAQ QAB BAC ∠=∠+∠+∠，2MAQ QAB ∠=∠
∴()390=330901803MAC QAB ACP ACP ∠=∠+︒︒-∠+︒=︒-∠
∴1803FCP ACP ACP ∠=︒-∠+∠
即∠FCP +2∠ACP=180°
②当CP 交射线AQ 的反向延长线于点T ，延长BA 交CP 于点G
FCP FCA ACP ∠=∠-∠，由EF ∥MN 得MAC FCA ∠=∠
∴FCP MAC ACP ∠=∠-∠
又∵TAG QAB ∠=∠，180BAC CAG ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒
∴18090CAG BAC ∠=︒-∠=︒
90CAT CAG TAG QAB ∠=∠-∠=︒-∠
∵180CAT CTA ACP ∠+∠+∠=︒，60CTA ∠=︒
∴120CAT ACP ∠+∠=︒
∴90120QAB ACP ︒-∠+∠=︒
∴30QAB ACP ∠=∠-︒
由①可得390MAC QAB ∠=∠+︒
∴()=330903MAC ACP ACP ∠∠-︒+︒=∠
∴32FCP MAC ACP ACP ACP ACP ∠=∠-∠=∠-∠=∠
综上，∠FCP =2∠ACP 或∠FCP +2∠ACP=180°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．
8．（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据
解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】
（1）①过P 点折纸，使痕迹垂直直线a ，然后过P 点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线b ；
②步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到ABC BCD ∠=∠，再利用角平分线的定义得到23∠∠=，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】
（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b ）中，折纸实际上是在寻找过点P 的直线a 的垂线．
故答案为垂；
（2）证明：BE 平分ABC ∠，CF 平分BCD ∠（已知），
12∠∠∴=，33∠=∠（角平分线的定义），
//AB CD （已知），
ABC BCD ∴∠=∠（两直线平行，内错角相等），
2223∴∠=∠（等量代换），
23∴∠=∠（等式性质），
//BE CF ∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
9．（1）；（2）①，②，理由见解析；（3）
【分析】
（1）过点作，则，由平行线的性质可得的度数；
（2）①过点作的平行线，依据平行线的性质可得与，之间的数量关系； ②过作，依据平行线的性质可得，，即
解析：（1）80︒；（2）①APE αβ∠=∠+∠，②APE βα∠=∠-∠，理由见解析；（3）
1()2
ANE αβ∠=∠+∠ 【分析】
（1）过点P 作//PG AB ，则//PG CD ，由平行线的性质可得BPC ∠的度数；
（2）①过点P 作FD 的平行线，依据平行线的性质可得APE ∠与α∠，β∠之间的数量关系；
②过P 作//PQ DF ，依据平行线的性质可得QPA β∠=∠，QPE α∠=∠，即可得到APE APQ EPQ βα∠=∠-∠=∠-∠；
（3）过P 和N 分别作FD 的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到
ANE ∠与α∠，β∠之间的数量关系为1()2
ANE αβ∠=∠+∠．
【详解】
解：（1）如图1，过点P 作//PG AB ，则//PG CD ，
由平行线的性质可得180B BPG ︒∠+∠=，180C CPG ︒∠+∠=，
又∵125PBA ︒∠=，155PCD ︒∠=，
∴36012515580BPC ︒︒︒︒∠=--=，
故答案为：80︒；
（2）①如图2，APE ∠与α∠，β∠之间的数量关系为APE αβ∠=∠+∠；
过点P 作PM ∥FD ，则PM ∥FD ∥CG ，
∵PM ∥FD ，
∴∠1=∠α，
∵PM ∥CG ，
∴∠2=∠β，
∴∠1+∠2=∠α+∠β，
即：APE αβ∠=∠+∠，
②如图，APE ∠与α∠，β∠之间的数量关系为APE βα∠=∠-∠；理由：
过P 作//PQ DF ，
∵//DF CG ，
∴//PQ CG ，
∴QPA β∠=∠，QPE α∠=∠，
∴APE APQ EPQ βα∠=∠-∠=∠-∠；
（3）如图，
由①可知，∠N=∠3+∠4，
∵EN 平分∠DEP ，AN 平分∠PAC ，
∴∠3=12∠α，∠4=1
2∠β， ∴1()2
ANE αβ∠=∠+∠，
∴ANE ∠与α∠，β∠之间的数量关系为1()2
ANE αβ∠=∠+∠． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得出结论．
10．（1）4；（2）45°；（3）P （0，－1）或（0，3）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a ＝−b ，a−b ＋4＝0，解得a ＝−2，b ＝2，则A （−2，0），B （2，0），C （2，2），即可计算出
解析：（1）4；（2）45°；（3）P （0，－1）或（0，3）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a ＝−b ，a−b ＋4＝0，解得a ＝−2，b ＝2，则A （−2，0），B （2，0），C （2，2），即可计算出三角形ABC 的面积＝4；
（2）由于CB ∥y 轴，BD ∥AC ，则∠CAB ＝∠ABD ，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E 作EF ∥AC ，则BD ∥AC ∥EF ，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED ＝∠1＋∠2＝1
2×90°＝45°；
（3）先根据待定系数法确定直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1，则G 点坐标为（0，1），然后利用S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG 进行计算．
【详解】
解：（1）由题意知：a ＝−b ，a−b ＋4＝0，
解得：a ＝−2，b ＝2，
∴ A （−2，0），B （2，0），C （2，2），
∴S △ABC ＝1AB BC=42⋅； （2）∵CB ∥y 轴，BD ∥AC ，
∴∠CAB ＝∠ABD ，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，
过E 作EF ∥AC ，
∵BD ∥AC ，
∴BD ∥AC ∥EF ，
∵AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，
∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，
∴∠AED ＝∠1＋∠2＝12×90°＝45°；
（3）存在．理由如下：
设P 点坐标为（0，t ），直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，
把A （−2，0）、C （2，2）代入得： -2k+b=02k+b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=1
⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝1
2x ＋1，
∴G 点坐标为（0，1），
∴S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG ＝12|t−1|•2＋12|t−1|•2＝4，解得t ＝3或−1，
∴P 点坐标为（0，3）或（0，−1）．
【点睛】
本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
三、解答题
11．（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当时，；当时，．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数，进而可求和的度数；
解析：（1）30°，70°，20°；（2）15°，5°，0°，5°；（3）当αβ<时，
1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-．
【分析】
（1）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，进而可求AEC ∠和EAD ∠的度数；
（2）先利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据角平分线和高的性质分别得出EAC ∠和DAC ∠的度数，则前三问利用EAD EAC DAC ∠=∠-∠即可得出答案，第4问利用EAD DAC EAC ∠=∠-∠即可得出答案；
（3）按照（2）的方法，将相应的数换成字母即可得出答案．
【详解】
（1）∵20B ∠=︒，60C ∠=°，
∴180100BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1502
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
20EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ，
9070AEC EAD ∴∠=︒-∠=︒ ．
（2）当30B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵30B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18090BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1452
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
15EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当50B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵50B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒ ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1352
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当60B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵60B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18060BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1302
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
0EAD EAC CAD ∴∠=∠-∠=︒ ；
当70B ∠=︒，60C ∠=°时，
∵70B ∠=︒，60C ∠=°，
∴18050BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1252
EAC BAC ∠=∠=︒． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9030CAD C ∴∠=︒-∠=︒ ，
5EAD DAC EAC ∴∠=∠-∠=︒ ．
（3）当B C ∠<∠ 时，即αβ<时，
∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1()2
EAD EAC CAD βα∴∠=∠-∠=- ； 当B C ∠>∠ 时，即αβ>时，
∵B α∠=，C β∠=，
∴180180BAC B C αβ∠=︒-∠-∠=︒-- ．
∵AE 平分BAC ∠， ∴1111(180)902222
EAC BAC αβαβ∠=∠=︒--=--． ∵AD 是高，
90ADC ∴∠=︒ ，
9090CAD C β∴∠=︒-∠=︒- ，
1()2
EAD DAC EAC αβ∴∠=∠-∠=- ；
综上所述，当αβ<时，1()2EAD βα∠=-；当αβ>时，1()2
EAD αβ∠=-． 【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三角形的角平分线，高，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
12．（1）∠EPB ＝170°；（2）①当交点P 在直线b 的下方时：∠EPB ＝20°，②当交点P 在直线a ，b 之间时：∠EPB ＝160°，③当交点P 在直线a 的上方时：∠EPB ＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当
解析：（1）∠EPB ＝170°；（2）①当交点P 在直线b 的下方时：∠EPB ＝20°，②当交点P 在直线a ，b 之间时：∠EPB ＝160°，③当交点P 在直线a 的上方时：∠EPB ＝∠1﹣50°＝20°；（3）①当交点P 在直线a ，b 之间时：∠EPB ＝180°﹣|n°﹣50°|；②当交点P 在直线a 上方或直线b 下方时：∠EPB ＝|n°﹣50°|.
【分析】
（1）利用外角和角平分线的性质直接可求解；
（2）分三种情况讨论：①当交点P 在直线b 的下方时；②当交点P 在直线a ，b 之间时；③当交点P 在直线a 的上方时；分别画出图形求解；
（3）结合（2）的探究，分两种情况得到结论：①当交点P 在直线a ，b 之间时；②当交点P 在直线a 上方或直线b 下方时；
【详解】
解：（1）∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBC ＝1
2∠ABC ＝50°，
∵∠EPB 是△PFB 的外角，
∴∠EPB ＝∠PFB+∠PBF ＝∠1+（180°﹣50°）＝170°；
（2）①当交点P 在直线b 的下方时：
∠EPB ＝∠1﹣50°＝20°；
②当交点P 在直线a ，b 之间时：
∠EPB ＝50°+（180°﹣∠1）＝160°；
③当交点P 在直线a 的上方时：
∠EPB ＝∠1﹣50°＝20°；
（3）①当交点P 在直线a ，b 之间时：∠EPB ＝180°﹣|n°﹣50°|；
②当交点P 在直线a 上方或直线b 下方时：∠EPB ＝|n°﹣50°|；
【点睛】
考查知识点：平行线的性质；三角形外角性质．根据动点P 的位置，分类画图，结合图形求解是解决本题的关键．数形结合思想的运用是解题的突破口．
13．(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD 的高为OC ，所以S △BCD=CD•OC ，（2）利用
∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠
解析：(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD 的高为OC ，所以S △BCD =12
CD •OC ，（2）利用∠CFE +∠CBF =90°，∠OBE +∠OEB =90°，求出∠CEF =∠CFE ．
（3）由∠ABC +∠ACB =2∠DAC ，∠H +∠HCA =∠DAC ，∠ACB =2∠HCA ，求出∠ABC =2∠H ，即可得答案．
详解：（1）S △BCD =12CD •OC =12
×3×2=3． （2）如图②，∵AC ⊥BC ，∴∠BCF =90°，∴∠CFE +∠CBF =90°．∵直线MN ⊥直线PQ ，∴∠BOC =∠OBE +∠OEB =90°．∵BF 是∠CBA 的平分线，∴∠CBF =∠OBE ．∵∠CEF =∠OBE ，∴∠CFE +∠CBF =∠CEF +∠OBE ，∴∠CEF =∠CFE ．
（3）如图③，∵直线l ∥PQ ，∴∠ADC =∠PAD ．∵∠ADC =∠DAC
∴∠CAP =2∠DAC ．∵∠ABC +∠ACB =∠CAP ，
∴∠ABC +∠ACB =2∠DAC ．∵∠H +∠HCA =∠DAC ，∴∠ABC +∠ACB =2∠H +2∠HCA ∵CH 是，∠ACB 的平分线，∴∠ACB =2∠HCA ，∴∠ABC =2∠H ，∴H ABC ∠∠=12
．
点睛：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解． 14．(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.
【分析】
（1）根据题意，已知，，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解； （2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE ，∠AED=∠A′
解析：(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.
【分析】
（1）根据题意，已知70C ∠=︒，65B ∠=︒，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；
（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE ，∠AED=∠A′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
②利用两次外角定理得出结论；
（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG ）以及（∠C'DE+∠C'ED ）和（∠A'HL+∠A'LH ），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵70C ∠=︒，65B ∠=︒，
∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE ）=360°-310°=50°；
（2）①122A ∠+∠=∠,理由如下
由折叠得：∠ADE=∠A′DE ，∠AED=∠A′ED ，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE -∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ；
②221A ∠=∠+∠，理由如下：
∵2∠是ADF 的一个外角
∴2A AFD ∠=∠+∠.
∵AFD ∠是A EF '△的一个外角
∴1AFD A '∠=∠+∠
又∵A A '∠=∠
∴221A ∠=∠+∠
（3）如图
由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG ）-（∠C'DE+∠C'ED ）-（∠A'HL+∠A'LH ）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
【点睛】
题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
15．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；
（3）分和两种情况求解即可得
解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出90CAN ∠=︒，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出AFD ∠，即可得出结论；
（3）分90DAF ∠=︒和90AFD ∠=︒两种情况求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）//MN GH ，
180ACB NAC ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90CAN ∴∠=︒，
30BAC ∠=︒，
9060BAN BAC ∴∠=︒-∠=︒；
（2）由（1）知，60BAN ∠=︒，
45EDF ∠=︒，
18075AFD BAN EDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，
90DFE ∠=︒，
15AFE DFE AFD ∴∠=∠-∠=︒；
（3）当90DAF ∠=︒时，如图3，
由（1）知，60BAN ∠=︒，
30FAN DAF BAN ∴∠=∠-∠=︒；
当90AFD ∠=︒时，如图4，
90DFE ∠=︒，
∴点A ，E 重合，
45EDF ∠=︒，
45DAF ∴∠=︒，
由（1）知，60BAN ∠=︒，
15FAN BAN DAF ∴∠=∠-∠=︒，
即当以A 、D 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，FAN ∠度数为30或15︒．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出60BAN ∠=︒是解本题的关键．。