高考数学二轮复习考前专题四数列、推理与证明第2讲数列的求和问题讲学案理(2021学年)

2018年高考数学二轮复习考前专题四数列、推理与证明第2讲数列的求和问题讲学案理

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第２讲数列的求和问题

高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.

热点一分组转化求和

有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和,然后再合并．

例1 （201７·山东省平阴县第一中学模拟）已知数列｛aｎ}是等差数列,其前ｎ项和为S n,数列｛b n}是公比大于０的等比数列，且b1＝-2a1=2,a3+ｂ２＝－1,Ｓ3+2ｂ３＝7．

（1）求数列{aｎ}和｛b n}的通项公式;

（2)令ｃn＝错误!求数列{ｃn}的前n项和Ｔn。

解（１）设数列｛a n｝的公差为d，{b n}的公比为q,且ｑ〉0，

由题易知，a1＝-1，b1=2，

由错误!得错误!

解得q＝2错误!,此时d＝－2,

∴aｎ＝－2n＋１，b n=2ｎ．

(2)由(１）知,ａn＝－2ｎ+1,ｂn＝2ｎ，

∴c n=错误!

当ｎ为偶数时,奇数项和偶数项各有错误!项,

∴T n=(ｃ1+c3＋c５+…＋c n－1）+(ｃ2+c４+…＋ｃn)

＝ｎ+(c２＋c4＋…＋cｎ），

令H n=c2+c4＋c6＋…+ｃｎ，

∴H n=错误!+错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!,

＼f（1，4）Ｈn=3

23

+＼f（7，2５)+…+错误!＋错误!，

以上两式相减，得

＼f(3,４)H n=＼f(３，２)+＼f（４,23)+＼f(4,25)＋…＋错误!-错误!

=错误!－错误!－错误!

=错误!－错误!－错误!

＝错误!-错误!,

∴Ｈn＝＼f（26,9)-错误!.

故当n为偶数时,T n=＼ｆ(26,9)＋n-错误!，

当ｎ(n≥３)为奇数时,n－1为偶数，

T n＝Ｔn

＋aｎ＝错误!+(n－1)-错误!+2

－1

=错误!＋ｎ－错误!,

经验证，n=１也适合上式.

综上,得T n=错误!

思维升华在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式.

跟踪演练1 (2017届广东省揭阳市模拟)已知数列｛aｎ}中,a1＝１,a n＋１=＼f（2n＋１a n,n)＋n+1。

(１）求证:数列错误!是等比数列；

（2)求数列{aｎ}的前ｎ项和S n.

（１)证明方法一由已知得错误!=2·错误!+1，

∴错误!＋1＝２错误!,

又a1＋1=2，a n>0,∴＼f（ａn,n)+１≠0，

∴错误!＝２，

∴数列错误!是首项为２,公比为2的等比数列．

方法二由a n+1＝错误!+n＋1,

得nａn＋1＝2(ｎ＋1）a n+ｎ（n+1),

由a1>０及递推关系,可知aｎ〉0,

∴错误!+1≠０，

∴错误!=错误!

＝错误!=2，

又∵a１=１，∴＼f（a1，1)＋1＝２,

∴数列错误!是首项为2，公比为2的等比数列.

(2)解由(1）得错误!+1=2·２n-1＝2ｎ,

∴a n＝n·２n－n,

Ｓn=2+２×２2＋3×23+…+(n－1)２n-１+n×２n－［1+２+3+…+（n－１）＋n],

设Ｔn=2＋２×22+3×23+…+(n-１）２n－1＋ｎ×2n，①

则2Tｎ＝２2＋2×23+3×24＋…+（ｎ-1)2n＋n×2ｎ＋1，ﻩ②

由①-②,得

-Ｔn=2+22＋23＋…＋2n－n·2n+１

＝＼f(２1－2n，1－2)－n·2ｎ+1＝-（n－1)2n+1-2,

∴Ｔn=(n－1)2n＋１＋2,

又１+２＋3＋…+(n－１）＋n＝＼f(n1+n,２),

∴Ｓn＝（n-１)2n＋1-＼f（nｎ+１，2）+２.

热点二错位相减法求和

错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n·b n}的前ｎ项和,其中｛ａｎ}，｛b n}分别是等差数列和等比数列．

例 2 (2017·山西省实验中学联考）已知数列{aｎ}为等差数列，且ａ3＝5,a5=9，数列{b n｝的前ｎ项和S n=错误!b n+错误!。

（１)求数列｛a n}和｛ｂn}的通项公式；

(2)设cｎ=a n|bｎ|,求数列{ｃn}的前n项的和T n.

解（1)因为数列{ａn｝为等差数列，

所以d＝错误!(a５－a3）＝2,

又因为ａ3=5，所以a1＝1,所以a n＝2n－1．

当n＝1时,b1＝错误!b1＋错误!,所以b１=1；

当n≥2时,bｎ＝Ｓn-Ｓn－1=错误!b n-错误!ｂｎ-1,

所以ｂn=－2b n－１，

即数列｛b n}是首项为1,公比为-2的等比数列，

所以b n＝(－2)n－1.

（2)因为ｃn=ａn|ｂn|＝(2ｎ－1）2n－1，

所以Tｎ＝1×1+3×２＋5×22+…＋（2n－1）2n-1，

2T n＝１×２＋3×２2＋5×23+…＋（2n－1)２n，