北师版初中九上数学1.1.1菱形的性质【课件】
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九年级数学北师版·上册
第一章特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内 角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相 等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形 邻边相等
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
A.10
B.12
C.15
D.20
第1题图
第2题图
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC，
BD相交于O点，点E是AD的中点，连接OE，则线
段OE的长为_6_c_m____.
3.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
4.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则
例1 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线
AC与BD相交于点O.
B
求证:(1) AB = BC = CD =AD； (2) AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴AB = BC = CD =AD.
菱形是特殊的平行四边形.
注意：平行四边形不一定是菱形.
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两条对角线有什么位置关系?
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
（2）∵AB = AD，
B
∴△ABD是等腰三角形.
A
O
又∵四边形ABCD是菱形，
C
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. D
在等腰三角形ABD中，
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
EC
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA .
∴AO＝BE .
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边
形的所有性质外，还有一般平行四边形所没有的特殊 性质.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
△ABD的周长等于
（B）
A.18
B.16
C.15
D.14
例3 如图，点E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，
AE交BD于点O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， A
D
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
O
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB=AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC=∠DAE.
B
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD. 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的 两条对角线所在的直线都 是它的对称轴，每条对角 线平分一组对角．
角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
边
1.两组对边平行且相等；
菱
2.四条边相等
形 的
角
性
两组对角分别相等，Fra Baidu bibliotek 角互补
质 对 1.两条对角线互相垂直平分； 角 线 2.每一条对角线平分一组对角
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
( C)
第一章特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内 角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相 等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形 邻边相等
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
A.10
B.12
C.15
D.20
第1题图
第2题图
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC，
BD相交于O点，点E是AD的中点，连接OE，则线
段OE的长为_6_c_m____.
3.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
4.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则
例1 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线
AC与BD相交于点O.
B
求证:(1) AB = BC = CD =AD； (2) AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴AB = BC = CD =AD.
菱形是特殊的平行四边形.
注意：平行四边形不一定是菱形.
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两条对角线有什么位置关系?
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
（2）∵AB = AD，
B
∴△ABD是等腰三角形.
A
O
又∵四边形ABCD是菱形，
C
∴OB = OD （菱形的对角线互相平分）. D
在等腰三角形ABD中，
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA.
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
EC
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA .
∴AO＝BE .
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边
形的所有性质外，还有一般平行四边形所没有的特殊 性质.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
△ABD的周长等于
（B）
A.18
B.16
C.15
D.14
例3 如图，点E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，
AE交BD于点O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
证明：∵四边形ABCD为菱形， A
D
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
O
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AB=AE，∴∠ABC＝∠AEB.
∴∠ABC=∠DAE.
B
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD. 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的 两条对角线所在的直线都 是它的对称轴，每条对角 线平分一组对角．
角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
边
1.两组对边平行且相等；
菱
2.四条边相等
形 的
角
性
两组对角分别相等，Fra Baidu bibliotek 角互补
质 对 1.两条对角线互相垂直平分； 角 线 2.每一条对角线平分一组对角
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是
( C)