2021版高考数学一轮复习第八章数列8.4数列的求和练习理北师

8.4 数列的求和

核心考点·精准研析

考点一分组转化法或并项法求和

1.数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项之和为 ( )

A.-200

B.-100

C.200

D.100

2.数列{1+2n-1}的前n项和为( )

A.2n

B.2n-1+1

C.n-1+2n

D.n+2+2n

3.已知函数f(n)=且a n=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于( )

A.0

B.100

C.-100

D.10 200

4.已知数列{a n}的通项公式是a n=n2sin,则a1+a2+a3+…+a2 021等于

( ) A.- B.

C. D.-

5.已知正项数列{a n}满足-6=a n+1a n.若a1=2,则数列{a n}的前n项和S n=________.

【解析】1.选D.由题意知S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.

2.选C.由题意得a n=1+2n-1,

所以S n=n+=n+2n-1.

3.选B.由题意,得a1+a2+a3+…+a100

=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012

=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)

=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)

=-50×101+50×103=100.

4.选A.a n=n2sin,

所以a1+a2+a3+…+a2 021

=-12+22-32+42-…-2 0192+2 0202-2 0212

=(22-12)+(42-32)+…+(2 0202-2 0192)-2 0212

=(1+2+3+4+…+2 019+2 020)-2 0212

=-2 0212=.

5.因为-6=a n+1a n,

因此(a n+1-3a n)(a n+1+2a n)=0.

又因为a n>0,所以a n+1=3a n.

又a1=2,所以{a n}是首项为2,公比为3的等比数列.

所以S n==3n-1.

答案:3n-1

将T3变为:在数列{a n}中a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为

( ) A.990 B.1 000 C.1 100 D.99

【解析】选A.n为奇数时,a n+2-a n=0,a n=2;n为偶数时,a n+2-a n=2,a n=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.

1.分组法求和的常见类型

(1)若a n=b n±c n,且{b n},{c n}为等差或等比数列,可采用分组法求{a n}的前n项和.

(2)通项公式为a n=的数列,其中数列{b n},{c n}是等比或等差数列,可采用分组法求和.

2.并项求和法

一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n=(-1)n f(n)类型,可采用两项合并求解.

例如S n=1002-992+982-972+…+22-12

=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.

【秒杀绝招】

排除法解T2,把n=1代入排除D选项,把n=2代入排除A、B选项.

考点二错位相减法

【典例】已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.

(1)求数列{b n}的通项公式.

(2)令c n=,求数列{c n}的前n项和T n.

【解题导思】

序号题目拆解

①{a n}的前n项和S n=3n2+8n 知S n求a n

(1)

②{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1求数列{b n}的通项公式

①c n=把a n,b n代入c n=中,得c n的表达式

(2)

求得c n=3(n+1)·2n+1,根据T n的特征利用乘公比错位相

②求数列{c n}的前n项和T n

减法求和

【解析】(1)由题意知,当n≥2时,a n=S n-S n-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,满足上式,所以a n=6n+5.设数列{b n}的公差为d,由

即

可解得所以b n=3n+1.

(2)由(1)知c n==3(n+1)·2n+1.

又T n=c1+c2+…+c n,

得T n=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],

2T n=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],

两式作差,得-T n=3×[2×22+23+24+…+-(n+1)×]

=3×

=-3n·2n+2,所以T n=3n·2n+2.

【答题模板微课】

本例题(2)的模板化过程:

建模板:

“由(1)知c n==3(n+1)·2n+1.”…………写通项

“故T n=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],”…………写前n项和“2T n=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],”…………乘公比

“两式作差,得-T n=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=

3×

=-3n·2n+2,”…………错位相减

“所以T n=3n·2n+2.”…………整理出结果

套模板:

已知a n=2n-1,b n=2n+1,c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和T n.

【解析】由题知c n=a n·b n=(2n+1)2n-1, …………写通项

故T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n+1)×2n-1, …………写前n项和2T n=3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n, …………乘公比

上述两式相减得,-T n=3+22+23+…+2n-(2n+1)×…………错位相减=3+-(2n+1)×2n=(1-2n)×2n-1,

得T n=(2n-1)×2n+1. …………整理出结果

所以数列{c n}的前n项和为(2n-1)×2n+1.