湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.1函数与方程检测题(含解析)新人教版必修1 (2)

3.1函数与方程
一、填空题
1．已知方程2x
＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.
解析 设f (x )＝2x
＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 2
2．已知a 是函数f (x )＝2x
－log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足________(与零
的关系)．
解析 因为f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f (a )＝0，于是由0＜x 0＜a ，得f (x 0)＜f (a )＝0，即f (x 0)＜0. 答案 f (x 0)＜0
3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2
－ax 的零点是________． 解析 由f (x )＝ax ＋b 有零点2，得2a ＋b ＝0(a ≠0)，代入g (x )，得g (x )＝－2ax 2
－ax ＝－ax (2x ＋1)，它有零点x ＝0和x ＝－1
2.
答案 0，－1
2
4．设函数y (x )＝1
3x －ln x (x ＞0)，则函数f (x )在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别
为________．
解析 设y ＝1
3x 与y ＝ln x ，作图象可知f (x )在区间(0,1)内无零点，在
(1，＋∞)内仅有两个零点．
答案 0,2
5．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，
由根与系数的关系知⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－6，
∴f (x )＝x 2
－x －6.∵不等式af (－2x )＞0， 即－(4x 2
＋2x －6)＞0⇔2x 2
＋x －3＜0，
解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪ －
3
2＜x ＜1.
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－
32＜x ＜1
6.已知函数()421x
x
f x m =+⋅+有且只有一个零点,则实数m 的值为 .
解析 由题知:方程4210x x
m +⋅+=只有一个零点.令2(0)x
t t =>,
∴方程2
10t m t +⋅+=只有一个正根.
∴由图象(图略)可知2
0240m m ⎧->,
⎪⎨⎪∆=-=.
⎩
∴m=-2.
答案 -2
7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x
－1，x ＞0，－x 2
－2x ，x ≤0.
若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取
值范围是________．
解析 画出图象，令g (x )＝f (x )－m ＝0，即f (x )与y ＝m 的图象的交点有3个， ∴0＜m ＜1.
答案 (0,1)
8．偶函数f (x )在区间为[0，a ](a ＞0)上是单调，函数，且f (0)·f (a )＜0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________．
解析 由f (0)·f (a )＜0，且f (x )在[0，a ](a ＞0)上单调，知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x )为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根． 所以f (x )＝0在区间[－a ，a ]内有两个根． 答案 2
9．设函数f (x )＝x 2
－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a .若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＜0与g (x 0)＜0同时成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝ax －2a ＝a (x －2)，
当a ＜0时，x ＞2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7，舍去； 当a ＞0时，x ＜2，由f (2)＜0，得4－2a ＋a ＋3＜0，a ＞7.
综上，a ∈(7，＋∞)． 答案 (7，＋∞)
10.若二次函数2
y ax bx c =++中ac<0,则函数的零点个数是______个． 解析 令2
0ax bx c ++=,
因0a ≠,判别式2
40b ac ∆=->,故函数必有两个零点. 答案 2
11．已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 2 0112 011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 2 011
2 011，
设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ] (a ＜b ，a ，b ∈Z )内，则b －a 的最小值为________． 解析 由f ′(x )＝1－x ＋x 2
－x 3
＋…＋x
2 010
＝1＋x
2 011
1＋x
，则f ′(x )＞0，f (x )为增函数，又f (0)
＝1＞0，f (－1)＜0，从而f (x )的零点在(－1,0)上；同理g (x )为减函数，零点在(1,2)上，∴F (x )的零点在(－4，－3)和(4,5)上，要区间[a ，b ]包含上述区间(b －a )min ＝9. 答案 9
12．若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件： ①P 、Q 都在函数f (x )的图象上；
②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与(Q ，
P )看作同一个“友好点对”)．
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 2
＋4x ＋1，x ＜0，2
e
x ，x ≥0，
则f (x )的“友好点对”有________个．
解析 根据题意：“友好点对”，可知，只须作出 函数y ＝2x 2
＋4x ＋1(x ＜0)的图象关于原点对称的图象， 看它与函数y ＝2
e x (x ≥0)交点个数即可．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2. 即f (x )的“友好点对”有：2个． 答案 2
13．已知函数f (x )＝x 2
＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．
解析 因为Δ＝(1－k )2
＋4k ＝(1＋k )2
≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点
x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2
＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)
＜0，即2＜k ＜3. 答案 (2,3) 二、解答题
14．若函数f (x )＝ax 2
－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．
(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2
－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2
－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.
综上，当a ＝0或a ＝－1
4
时，函数仅有一个零点．
15．关于x 的方程mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．
解析 令f (x )＝mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14， 依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＞0，f
4＜0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＜0，f
4＞0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，26m ＋38＜0
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
m ＜0，26m ＋38＞0.
解得－19
13
＜m ＜0，
即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1913，0. 16已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点． 思路分析 由题意可知，方程4x ＋m ·2x
＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解． 解析 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x
＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x
＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2
＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2
－4＝0，
∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x
＝1，x ＝0符合题意．
当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时，
t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，
即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．
综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.
【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方
程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题． 17．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2
＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间 [－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
解析 当a ＝0时，函数f (x )＝2x －3的零点x ＝3
2
∉[－1,1]．
当a ≠0时，函数f (x )在[－1,1]上的零点可能有一个与两个这两种情况． ①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－8a －3－a ＞0，f －1f
1＝a －5
a －1≤0
或
⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－8a －3－a ＝0，－1≤－12a ≤1，
解得1≤a ≤5或a ＝－3－72
.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，则有
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0
Δ＝4－8a －3－a ＞0，
－1＜－1
2a ＜1，f 1≥0，f －1≥0
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜0，
Δ＝4－8a －3－a ＞0，
－1＜－1
2a
＜1，
f 1≤0，f －1≤0，
解得a ＜－3－7
2
或a ≥5.
综上，得a 的取值范围是⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[5，＋∞)．
18．(1)m 为何值时，f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4. ①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
(2)若函数f (x )＝|4x －x 2
|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．
解析 (1)①f (x )＝x 2
＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ
＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2
－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1. ②法一 设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4.
由题意，知⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝4m 2
－43m ＋4＞0，x 1＋1
x 2＋1＞0，x 1＋1＋x 2＋1＞0⇔
⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
－3m －4＞0，3m ＋4－2m ＋1＞0，－2m ＋2＞0
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞4或m ＜－1，m ＞－5，m ＜1，
∴－5＜m ＜－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．
法二 由题意，知⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＞0，－m ＞－1，
f －1＞0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2
－3m －4＞0，m ＜1，1－2m ＋3m ＋4＞0.
∴－5＜m ＜－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．
(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2
|＋a ＝0， 则|4x －x 2
|＝－a . 令g (x )＝|4x －x 2
|，
h (x )＝－a .
作出g (x )，h (x )的图象． 由图象可知，当0＜－a ＜4，
即－4＜a ＜0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，。