微积分学PPt标准课件1-第31讲一元微积分应用

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1
y y f (x) B
A
O a x x x b
计算连续曲线y f (x) 在区间 [a, b] 上的一段弧 AB 与直线x a,
x b 以及 x 轴所围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的 体积 . x 积分区间 : x [a, b].
微分元素: x [a, b], x 0.
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
有何想法?
(3) 计算面积
A 1 [(2 x) x2 ]d x [2x x2 x3 ] 1 4 1 .
2
2 3 2 2
12
例2 求曲线 y x2, 直线 y x, y 2x 所围平面图形的面积.
解 由对称性, 计算出第一象限中的面积 A1, 则 A 4A1 .
y
(1) 积分区间 [0, ].
2
(2) 微分元素
• O
d
A1
1 2
(a
sin
2
)2
d
.
x (3) 计算面积
A 4A1
4
2
1
(a
sin
2
)2
d
02
2a2
2
1 cos 4
d a2 .
0
2
2
20
例7 解
求圆 r 3cos 与心形线 r 1 cos 所围成的
注意
在应用微分元素法时, 要求所计算的量A 具有可加性: 即在区间[a, b] 上, 量 A总等于它在该区间的各个子区间上部 分量 A的和 .
求量 A的步骤如下 :
(1) 在区间[a,b]中任取一小区间[x, x d x];
(2) 求出A 在小区间上的部分量的近似值A , 记为 A f (x) d x (微分元素为 d A f (x) d x)
i 1
i 1
4
为简便和醒目起见, 略去下标i , 将具有代表性的第i 个
小区间 [xi1, xi ] 表示为 [x, x d x] , 称之为典型小区间, 且取
i 为区间的左端点x , 则有
A f (x) d x . 通常称 f (x) d x 为量 A的微分元素(或积分元素) , 记为
d A f (x)d x .
17
3 极坐标系中平面图形的面积
r r( ) d
O
x
求由曲线r r( ) 及射线r , r ( ) 所围成的平面图 形的面积时, 取 为积分变量, 则积分区间为[, ]. 剩下的问
题是求微分元素和计算积分值.
任取一个小区间[ , d ] [, ] , 在该小区间上
可以用半径为 r r( ) , 中心角为 d 的圆扇形的面积近
A
由图可以看出 :
选择 y 为积分变量比选择x 为积分变量好.
积分区间为 y [2, 4].
(2) 求微分元素 d A (( y 4) 1 y2 ) d y . 2
(3) 计算面积 A 4 (( y 4) 1 y2 ) d y 18.
2
2
14
2 参数方程形式下平面图形的面积
如果曲线由参数方程给出: x (t), y (t), t .
过点x 和点 x x 分别作垂直于x 轴的平面, 得到如图所示的 两个圆, 其半径分别为f (x) 和 f (x x). 当x 很小时, 可以用 以 f (x) 为半径的圆为底, 以x 为高的圆柱体的体积近似旋转
体在[x, x x] 上的体积: V y2x ( f (x))2 x.
25
2
t
)
d
t
12a2
2
2 (1 sin 2 t) sin 4 t d t
3
a2.
0
8
16
例5 求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost) 的第一拱
(0 t 2 ) 与横轴 x 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
y
x : 0 2 a 时, t : 0 2 .
相关变化率和最大、最小值的应用问题。 ▪ 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 ▪ 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 ▪ 能利用定积分定义式计算一些极限。
7
y y f (x)
xa Oa
y g(x) xb
x x x b x dA
任取 [x, x x] [a, b] , 则微分元素(面积元素)为
d A | f (x) g(x) | d x
于是, 所求面积为
b
A a | f (x) g(x) | d x
8
求由连续曲线 y f (x), y g(x) 及 x a, x b 所围成的平面图形的面积的计算公式为
2
第六章 一元微积分的应用
第四、五、六节 面积、体积、弧长
一、平面图形的面积 二、旋转体的体积 三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法 五、旋转体的侧面积
3
一、微分元素法
数学建模中的微分元素法 (或称为积分元素法)
在物理、几何以及工程实际中, 当把非均匀变化的问题
看作是均匀变化时, 能表示为某两个量的乘积达形式, 则通
ax
(1) 积分区间 x : 0 a 时, t : 0 .
2
3
(2) 微分元素
2
d A1 | y | d x a sin 3 t d(a cos3 t) 3a2 sin 4 t cos2 t d t .
(3) 所求面积
A 4A1
4
a
|
0
y |d x 4
0
(3a
2
sin
4
t
cos
解 (1) 求积分区间: 联立方程组
y x2 y x
y x2 y 2x
y x y 2x
求得交点为 A(1,1), B(2, 4), O(0, 0) .
积分区间为 [0, 1][1, 2] [0, 2].
B y y 2x y x2
yx A
(2) 微分元素
O
1 2x
在[0,1]中, d A (2x x) d x x d x ; 在[1, 2]中, d A (2x x2 ) d x .
|
r12
(
)
r22
(
)
|
d
.
A
1 2
|
r12
(
)
r22
(
)
|
d
.
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二、旋转体的体积
将平面图形绕平面上某 一轴旋转一周所生成的 几何体称为旋转体, 该轴称为旋转轴.
旋转体的特点 : 在区间I 上, 旋转体的体积具有对区间的可加性. 任何一个垂直于旋转轴的平面, 截旋转体所得的 截口 图形均为圆.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第三十一讲 一元微积分的应用(四) —— 面积、体积、弧长
脚本编写：刘楚中
教案制作：刘楚中
1
第六章 一元微积分的应用
本章学习要求：
▪ 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。
▪ 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 ▪ 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解
平面图形的面积 . 由对称性, 求出上半部分的面积A1, 则 A 2A1.
r 3cos (1) 求积分区间 联立方程组
3
O
r 1 cos
x
r 3cos
r 1 cos cos 1
2 (2) 微分元素
3
当0 时, 曲边为 r 1 cos ,
3
d
A1
1 2
(1
cos
)2
d
.
当 时, 曲边为 r 3cos ,
(2) 求微分元素
at O
d A | y | d x a(1 cost) d(a(t sin t))
2 a x
a2 (1 cost)2 d t.
(3) 计算面积
A
2 a
| y|dx
2 a2 (1 cost)2 d t
0
0
a2 2 (1 2 cost cos2 t) d t Baidu Nhomakorabea 3 a2. 0
由量 A 对区间的可加性, 取极限过程d x 0 ( 相当于
|| x || 0) , 将微分元素d A 在区间[a, b] 上“无限累加”起来
(即作定积分) 就得到量 A 在区间[a, b] 上的值：
b
b
A a d A a f (x)d x .
简言之, 我们在这里将定积分理解为微分元素的无限累加5.
(3) 计算定积分求出量A 在区间[a, b] 上的值
b
b
A a d A a f (x)d x .
6
一、平面图形的面积
1 直角坐标系中平面图形的面积
y y f (x)
xa Oa
y g(x)
xb bx
求由连续曲线 y f (x), y g(x) 及 x a, x b 所围成的平面图形的面积 .
(3) 计算面积
A
1
(2x x)d x
2 (2x x2)d x 7 .
0
1
6
13
例3 求曲线 y2 2x 与直线 y x 4 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
y y2 2x B
联立方程组
y2 2x y x4
O
y x4
x
求得交点为 A(2, 2) , B(8, 4) .
计算体积:
1
y y f (x) B
A
O a x x x b
计算连续曲线y f (x) 在区间 [a, b] 上的一段弧 AB 与直线x a,
x b 以及 x 轴所围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的
体积 . x 积分区间 : x [a, b].
微分元素: dV y2 d x.
dV ( f (x))2 d x.
3
2
d
A1
1 2
(3 cos
)2
d
.
21
(3) 计算面积
A 2A1 2
3
1
(1
cos
)2
d
02
2 3
1 2
(3
cos
)
2
d
3
(1
2 cos
1
cos 2
) d
0
2
2 3
9(1
cos 2
2
)
d
5
4
22
r r1( )
A
r r2 ( )
如何计算?
O
x
d
A
1 2
则将直角坐标系下的面 积公式按定积分换元法 处理即可.
此时要求函数(t) 和 (t) 满足定积分换元法的条件.
15
例4 解
求星形线x a cos3 t, y a sin 3 t, 0 t 2
所围成的平面图形的面 积.
y
由对称性, 只需求出
2
第一象限中的面积A1, 然 后乘以 4 即可.
t
O
似代替其上的窄曲边扇形的面积, 从而, 面积元素为
d A 1 r 2 ( ) d . (微分元素)
2
18
求由曲线 r r( ) 及射线 r , r ( )
所围成的平面图形的面积的计算公式为
A
d A
1 r 2 ( ) d .
2
该公式也称为极坐标系中曲边扇形的面积公式.
19
例6 求曲线 r a sin 2 所围成的平面图形的面 积.
常可将问题归结为定积分问题来处理. 运用定积分处理问题时要求量 A 具有对区间的可加性.
按照定积分的概念, 采用 “分划— 近似 —求和 — 取极限”
的步骤将整体问题化成局部问题, 利用整体上变化的量在局
部上近似于不变的辩证关系, 在局部上以“不变”代替“变”,
n
n
便有关系式 A Ai f (i )xi i [xi1, xi ].
b
A a | f (x) g(x) | d x . (a b)
类似地,
求由连续曲线 x ( y), x ( y) 及 y c, y d
所围成的平面图形的面积的计算公式为
d
A c | ( y) ( y) | d y . (c d)
9
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
A 1 [(2 x) x2 ]d x [2x x2 x3 ] 1 4 1 .
2
2 3 2 2
11
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
y
A
y x2
解 (1) 求积分区间
y
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) . 积分区间 x [2,1].
A
y x2
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
(3) 计算面积
A 1 [(2 x) x2 ]d x [2x x2 x3 ] 1 4 1 .
2
2 3 2 2
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例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
y
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
A
y x2
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
(3) 计算面积