宁波市2021学年第一学期高考模拟考试高三数学试卷 答案

即 sin = 2 + cos ，得 2 cos + cos2 = 1− cos2 ，解得 cos = 3 −1 (舍负).
cos sin
2
可知此时， cos AOB = 1− 3 . 2
（5）当 AOB = 0, , 时，显然不合题意. 2
由（1），（2），（3），（4），（5）可知， cos AOB (−1, 1− 3 ] [1 ,1) .
4
10．答案：B
解析：{an}的前几项依次为1,1, 2, 3, 5,8,13 ，易知数列{an}从第二项起为递增数列，
从而 an+2
=
an+1
+ an
2an (n
2)
，即得
1 an+2
1 2
1 an
(n
2)
，
1 11
1 1 11 1
由 (n 2) ，得 + ( + )(n 2) ，
an+2 2 an
(事实上， f (x) 在 (a, a +1) 上有两个零点) 此时， (a − 3, a) (0, a) ，且 f (x) 在 (a − 3, a) 上有两个零点.
又 a + 1 − 3 = a − 5 0 ， f (0) = f (3) = 9 − 3(2a +1) + a2 + 3 = a2 − 6a + 9 0 ，
E
O
B
C
情形(4)-1
情形(4)-2
C l
下面考虑使得 OC = 1 的 AOB 的大小.
A H
此时，设 AOE = ，有 HOB = COE = ，
从而 B = − ，得 EAB = . 2
EO
B
C
高三数学 试卷 12—4
l
由 OA = 1得 OE = cos , AE = sin .
又 OB = 2 ，得 tan = BE = 2 + cos . AE sin
2
2
故 f (x) 在 (0, a) 上有两个零点.
所以，当 11 a 3 时， f (x) 在区间 (0, +) 内恰有 4 个零点. 4
（2）当 3 − a 0 时，即 a 3时， f (x) 在[a, +) 上有一个零点 x0 . 要是 f (x) 在区间 (0, +) 内恰有 4 个零点，则 x0 必在区间 (a, a + 3) 上. 从而 f (a + 3) = (a + 3)2 − (2a +1)(a + 3) + a2 + 3 0 ，解得 a 9 . 又区间 (0, a) 的长度大于 6 ，得 a 6 .此时， 0 (a − 9, a − 6) . (注：当 a (6,9) 时， f (x) 在[a − 6, a − 3),[a − 3, a),[a, +) 上各有一个零点) 故当 f (0) 0 时， f (x) 在区间 (0, +) 内恰有 4 个零点.
(1 a2021
+
1) a2022
2.84 + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + + ( 1 + 1 )
a5 a6 a7 a8
a a 2021
2022
2.84
+
(1 a5
+
1 a6
)
+
1 2
( 1 a5
+
1 a6
)
+
+
1 21008
( 1 a5
+
1 a6
)
2.84
+
2( 1 a5
+
…………15 分 P
MR N D
O
Q
C
因为 AC ⊥ 平面 PCD ， CD 平面 PCD ， 所以 AC ⊥ CD ,即 ACD=90 . 设 CD = 2 , 则有 AC = PC = CD = 2 ， ADC = 45 ， 在平行四边形 ABCD 中， BCD = 135 ,
C O
B
半径为1的圆.
l
高三数学 试卷 12—3
由②得 (b − a) c = 0 ，即 AB OC = 0 ，从而 OC ⊥ AB ， 所以点 C 在过点 O 且垂直于 AB 的直线 l 上. 又由①得 (a − c) b = 0 ，即 CAOB = 0 ，从而 CA ⊥ OB . 所以点 C 是过点 A 垂直于 OB 的直线与直线 l 的交点. 由题意| c | 1，可知点 C 不在圆内. （1）当 AB 与圆相切时， AOB = ，此时点 C 与点 A 重合，符合.
x = m,
由题意 m2
+
n2
=| b
|2 =
4, m
=
mx
+
ny
=
x
，可得
y
=
m
− m2 n
(显然 n ,
0
)
又由| c | 1，得 m2
+ (m − m2 n
)2
1，消去 n 得 m2
+
m2 (1− m)2 4 − m2
1，
化简得 2m3 − 6m2 + 4 0 ，即 2(m −1)(m2 − 2m − 2) 0 .
结合 −2 m 2 ，可解得 −2 m 1− 3 或1 m 2 .
因此， a b = m (−2,1− 3] [1, 2) .
解法
2：由
a
b
=
b
c
=
c
a
，得
a b
b c
= =
bc ca
− −
− −
− −
− −
− −
① ②
A
作 OA = a,OB = b,OC = c ，有点 A 的轨迹为以 O 为圆心，
2
2
因此， a b = 2cos AOB (−2,1− 3] [1, 2) .
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解：（Ⅰ） f (x) = sin x+ 3 cos x = 2(sin x 1 + cos x (x) = 2sin(x+ ) . 3
记 PC 中点为 N ，连接 RN , DN .
因为 PCD 为正三角形,所以 DN ⊥ PC ，
A
又因为 AC ⊥ 平面 PCD ， AC 平面 ACP ，
所以平面 ACP ⊥ 平面 PCD ， 而平面 ACP 平面 PCD = PC ，
B
所以 DN ⊥ 平面 ACP ，
即 DRN 为直线 MD 与平面 ACP 所成角.
所以 sin =| cos n, MD |
即 = n MD = | n | | MD |
5 3 +0+ 3
4
4
=3 6,
( 3)2 + 02 + (−1)2 ( 5)2 + (− 1)2 + (− 3 )2
8
4
2
4
直线 MD 与平面 ACP 所成角的正弦值为 3 6 . 8
（Ⅱ）方法 2 连接 BD，记 AC BD = O ， 连接 OP,OM，记 OP MD = R ，
取 CD 的中点 I ，连 D1I , BI ，易知 D1I ∥ FG ，
D1
从而 ID1B 就是直线 FG 与直线 BD1 所成角(或其补角). A1
不妨设正方体的棱长为 2 ，则
H
D1I = 5, BD1 = 2 3, BI = 5 ，
D
从而 IBD1 是以 BD1 为底边的等腰三角形，
所以 cos ID1B
又因为 PC ⊥ AC ，且 PQ PC = P ， 所以 AC ⊥ 平面 PCD . 而 PD 平面 PCD ， 所以 AC ⊥ PD .
平面 ABCD = CD ， …………6 分
（Ⅱ）方法 1
过点 C 作 CZ ⊥ 平面 ABCD ，
zP
由（Ⅰ）已证 AC ⊥ 平面 PCD ，
y
而 CD 平面 PCD ，所以 AC ⊥ CD ，
宁波市 2021 学年第一学期高考模拟考试
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
B
D
C
A
D
B
C
A
B
9. 答案：A
解析：由题意 y = f (x) 在[a, +) 上有零点.
高三数学 试卷 12—1
而 f (0) = f (9) = 81− 9(2a +1) + a2 + 3 = a2 −18a + 75 ， 解 f (0) 0 得 9 − 6 a 9 + 6 . 所以，当 9 − 6 a 9 时， f (x) 在区间 (0, +) 内恰有 4 个零点. （3）当 3 − a = 0 时，即 a = 3时，易知 f (x) 在 (0, +) 内仅有 2 个零点，不符. 综上， a (11,3) (9 − 6,9) .
3
AC
O
B
A
C
O
B
C
A
O
B
l
l
l
情形(1)
情形(2)
情形(3)
（2）当 AOB ( , ) 时，点 C 在圆内，舍. 32
（3）当 AOB (0, ) 时，点 C 在圆外，符合. 3
（3）当 AOB ( , ) 时，随着 AOB 增大，OE 增大，且 HOB 增大，所以 OC 2
增大.
A H
2 3
)
，
2
即 y = 2 − 2 cos(2x + 2 ) . 3
令 2k 2x + 2 +2k , k Z ， 3
…………7 分
高三数学 试卷 12—5
得 − +k x +k , k Z ，
3
6
即函数 y = [ f (x)]2 在区间 (− +k , +k ), k Z 上单调递增
记平面 ACP 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，
M
x
D
Q C
高三数学 试卷 12—6
CA = (0,1, 0),CP = (1 , 0, 3 ) ， 22
则
n CA n CP
= =
0, 0,
即
y = 0,
1 2
x
+
3 2
z
=
0,
取
n
=
(
3, 0, −1) .
记直线 MD 与平面 ACP 所成角为 ， MD = ( 5 , − 1 , − 3 ) , 42 4
A
以 CD, CA,CZ 所在直线分别为 x, y, z 轴，
B 如图建立空间直角坐标系.
设 CD = 1,则有 C(0, 0, 0) ， D(1, 0, 0) ， A(0,1, 0) ，
B(−1,1, 0) ， P(1 , 0, 3 ) ， 22
因为 M 是 PB 的中点，所以 M (− 1 , 1 , 3 ) . 42 4
36
要使函数 y = [ f (x)]2 在区间 (−m, m)(m 0) 上单调递增，
只需 (−m, m) (− , ) ， 36
即0m ， 6
所求实数 m 的取值范围是 (0, ] . 6
…………14 分
19. 解：（Ⅰ）记 CD 边中点为 Q ，连接 PQ . 因为 PCD 是正三角形，所以 PQ ⊥ CD . 因为平面 PCD ⊥ 平面 ABCD ，且平面 PCD 所以 PQ ⊥ 平面 ABCD . 而 AC 平面 ABCD ， 所以 PQ ⊥ AC .
33
7
13． 0, (−4, 4)
14． 6, 2 2
15． 9 2
16． 15 5
17． (−2,1− 3] [1, 2)
高三数学 试卷 12—2
16．答案： 15 5
解析：由于平面 ABB1A1 ∥平面 DCC1D1 ，故 EH ∥ FG ，
从而直线 EH 与直线 BD1 所成角等于直线 FG 与直线 BD1 所成角.
而 y = x2 − (2a +1)x + a2 + 3 的对称轴为 x = a + 1 a ， 2
故有 = (2a +1)2 − 4(a2 + 3) 0 ，解得 a 11 . 4
注意到 f (a) = 3 − a .
（1）当 3 − a 0 时，即 11 a 3 时， f (x) 在 (a, +) 上有两个零点. 4
1 a6
)
= 2.84 + 2 (1 + 1) = 3.49 7
58
2
又
S2021
1 1
+
1 1
+
1 2
+
1 3
+
1 5
3
，
因此， 3
S2021
7 2
.
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分，共 36 分.
11． 1 , 10 22
12． (− 3 , 3 ), 7
=
1 2
BD1
D1I
=
3= 5
15 5
.
A E
因此，直线 EH 与直线 BD1 所成角的余弦值为
15 . 5
G C1
B1 F
I
C
B
17．答案： (−2,1− 3] [1, 2)
解法 1：记 a = (1, 0),b = (m, n), c = (x, y) ，则 a b = m,b c = mx + ny,c a = x .
因为 x [0, ] ，
所以 x + [ , 4 ]， 3 33
即 − 3 sin(x + ) 1，
2
3
即 − 3 f (x) 2 ，
所求函数 y = f (x) 的值域为[− 3, 2] .
（Ⅱ） y = [ f (x)]2 =[2sin(x + )]2 ， 3
=
4
1
−
cos(2x
+
an+3 an+2 2 an+1 an
从而
1 a2022
+
1 a2021
1( 1 2 a2020
+
1 )
a2019
1 22
( 1 a2018
+
1 )
a2017
1 21008
( 1 a6
+
1 )，
a5
所以 S2021
S2022
=
1+1+ 11
1 2
+
1 3
+( 1 a5
+
1 a6
)+( 1 a7
+
1 )++ a8