人教版九年级数学上册24.1.3+弧、弦、圆心角同步测试+新人教版

弧、弦、圆心角
1．若AB ︵，CD ︵是同一圆上的两段弧，且AB ︵＝CD ︵，则弦AB 与弦CD 之间的关系是( C )
A ．A
B ＜CD B ．AB ＞CD
C ．AB ＝C
D D ．不能确定
【解析】 同圆或等圆中等弧所对的弦相等．
2．如图24－1－27所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则
∠COE 为( C )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．120°
【解析】 易知∠EOB ＝180°－60°＝120°.∵C ，D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，
∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ，∴∠COE ＝23∠EOB ，∴∠COE ＝23
×120°＝80°.故选C.
图24－1－27
图24－1－28
图24－1－29
3．如图24－1－28，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D ，延长OD 交⊙O 于E ，则下列说法错误的是( D )
A ．AD ＝BD
B ．∠AOE ＝∠BOE
C.AE ︵＝BE ︵ D ．OD ＝DE
【解析】 由垂径定理得A ，C 正确．又由AE ︵＝BE ︵得∠AOE ＝∠BOE ，故B 正确，故选D.
4．如图24－1－29，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，∠BOC ＝110°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝( D )
A ．70°
B ．60°
C ．50°
D ．40°
【解析】 ∠AOC ＝180°－∠BOC ＝180°－110°＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，
∴∠A ＝∠D ＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠A －∠D ＝180°－70°×2＝40°.故选D.
5．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为( B )
A ．A
B ＝2CD B ．AB ＜2CD
C ．AB ＞2C
D D ．不能确定
【解析】 如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，则有AB ︵＝CE ︵，∴AB ＝CE .∵CD ＋DE ＝2CD ＞CE ＝
AB ，∴AB ＜2CD .
6．如图24－1－30，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD ＝( B )
A ．105°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
图24－1－30
图24－1－31
7．如图24－1－31所示，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB ＝60°，那么与线段OA
相等的线段有__OC ，OD ，OB ，AC ，CD ，DB __；与AC ︵相等的弧有__CD ︵和DB ︵__．
8．如图24－1－32，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝42°，则∠B ＝__69°__．
【解析】 ∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝12
×(180°－42°)＝69°.
图24－1－32
图24－1－33
9．如图24－1－33，AB 为半圆O 的直径，OC ⊥AB ，OD 平分∠BOC ，交半圆于点D ，AD 交OC 于点E ，则∠AEO 的度数是__67.5°__．
【解析】 因为OD 平分∠BOC ，所以∠BOD ＝12∠BOC ＝12
×90°＝45°.因为OA ＝OD ，所以∠A ＝∠D .又因为∠BOD ＝∠A ＋∠D ＝2∠A ，所以∠A ＝12∠BOD ＝12
×45°＝22.5°，所以∠AEO ＝90°－22.5°＝67.5°.
10．如图24－1－34所示，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 的大小关系是__AC ＝CB __．
图24－1－34
图24－1－35
11．如图24－1－35，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，以C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于D 点，则弧AD 为__70__度．
【解析】 连接CD ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，
∴∠A ＝90°－∠B ＝55°.∵CA ＝CD ，
∴∠A ＝∠CDA ＝55°，∴∠ACD ＝180°－2∠A ＝70°.
12．如图24－1－36，AB ，BC ，AC 都是⊙O 的弦，且∠AOB ＝∠BOC .求证：(1)∠BAC ＝∠BCA ；
(2)∠ABO ＝∠CBO .
图24－1－36
【解析】 (1)在⊙O 中，有圆心角∠AOB ＝∠BOC ，则可知该圆心角所对的弦相等，即AB
＝BC ，在△ABC 中，AB ＝BC ，则∠BAC ＝∠BCA .(2)图中共有4个等腰三角形，根据它们的底角分别相等，可以得出结论．
证明：(1)∵∠AOB ＝∠BOC ，
∴AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA .
(2)∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ，
同理得∠CBO ＝∠BCO ，∠CAO ＝∠ACO .
又∵∠BAC ＝∠BCA ，∴∠BAO ＝∠BCO ，
∴∠ABO ＝∠CBO .
13．如图24－1－37所示，已知AB 为⊙O 的直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点，CM ⊥
AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.
图24－1－37
第13题答图
【解析】 证两弧相等，可根据其定义和圆心角、弦、弧三者之间的关系定理与推论来证明． 证明：如图所示，连接OC ，O D ，则OC ＝OD .
又OM ＝12OA ，ON ＝12
OB ，OA ＝OB ， ∴OM ＝ON ，∴Rt △CMO ≌Rt △DNO ，
∴∠COA ＝∠DOB ，∴AC ︵＝BD ︵.
14．如图24－1－38所示，A ，B ，C 为⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，连接AB ，BC ，
CA .
(1)试确定△ABC 的形状；
(2)若AB ＝a ，求⊙O 的半径．
图24－1－38
第14题答图
解： (1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，
∴AB ＝BC ＝CA (在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC 为等边三角形．
(2)如图，连接OA ，OB ，OC ，过O 作OE ⊥BC ，垂足为E .∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵(已知)，
∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA (在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．
又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠COA ＝360°(周角的定义)，
∴∠BOC ＝120°.又∵OB ＝OC ，OE ⊥BC ，
∴∠BOE ＝∠COE ＝60°，BE ＝EC ＝12BC ＝12AB ＝12
a (等腰三角形三线合一)． ∴∠OBE ＝90°－∠BOE ＝30°.∴OE ＝12
OB . 根据勾股定理得BE 2＋OE 2＝O B 2，
∴⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12OB 2＝OB 2，
解得OB ＝33a (负值已舍)，即⊙O 的半径为33
a . 15．如图24－1－39，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点．连接AB ，AD ，AF ，求证：AB ＋AF ＝AD .
【解析】 连接OB ，OF ，得到等边△AOB ，△AOF ，据此并结合圆的性质，即可推理出AB ＝AF ＝AO ＝OD ，从而得到AB ＋AF ＝AD .
图24－1－39
解：连接OB ，OF .∵A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB ＝∠AOF ＝60°，又∵OA ＝OB ，OA ＝OF ，∴△AOB ，△AOF 是等边三角形，∴AB ＝AF ＝AO ＝OD ，∴AB ＋AF ＝AO ＋OD ＝AD .
16．已知如图24－1－40，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN ︵的中点，P 是直径MN 上
一动点，⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值为多少？
图24－1－40
第16题答图
【解析】 利用圆的对称性，找到AP ＋BP 取最小值时的P 点，再结合弧与圆心角的关系得到直角三角形，运用勾股定理求解．
解：作A 关于MN 的对称点A ′，根据圆的对称性，则A ′必在圆上，
连接BA ′交MN 于P ，连接P A ，则P A ＋PB 最小，此时P A ＋PB ＝P A ′＋PB ＝A ′B ，连接OA ，OA ′，OB .
∵AN ︵＝13
MN ︵，∴∠AON ＝∠A ′ON ＝60°. ∵AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝12
∠AON ＝30°， ∴∠A ′OB ＝90°，
∴A ′B ＝OA ′2＋OB 2＝12＋12＝2，
即AP ＋BP 的最小值是 2.。