2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第八章 平面解析几何 第5节 第2课时

第八章 第5节 第2课时
1．直线y ＝2x －1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解析：A [⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1
x 29＋y 24＝1
得4x 2＋9(2x －1)2＝36，即40x 2－36x －27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直
线与椭圆相交，选A.]
2．过椭圆x 25＋y 2
4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB
的面积为( )
A.43
B.53
C.54
D.103
解析：B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
5＋y 2
4＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐
标y B ＝4
3
，
∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12
×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝5
3，故选B.]
3．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为1
2，则该椭圆
的方程是( )
A.2x 275＋2y 2
25＝1 B.x 275＋y 2
25＝1 C.x 225＋y 2
75
＝1 D.2x 225＋2y 2
75
＝1 解析：C [c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2
a 2＝1，联立方程
⎩⎨
⎧
x 2a 2－50＋y 2
a
2＝1，y ＝3x －2，
消去y ，整理得
(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450
＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 2
75＝1.] 4．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )
A.x 22＋y 2
＝1 B.x 23＋y 2
3＝1 C.x 24＋y 2
3
＝1 D.x 25＋y 2
4
＝1 解析：C [设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则
c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于
A ，
B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2
＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋
y 2
3＝1.]
5．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .
以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )
A.35
B.12
C.23
D.34
解析：A [因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即|OC |＝bc
a ，因为四边形F AMN 是平
行四边形，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2
，bc a ，代入椭圆方程得(a ＋c )24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又
0<e <1，所以e ＝3
5
.故选A.]
6．已知斜率为1的直线过椭圆x 24
＋y 2
＝1的右焦点交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 ________ .
解析：x 24
＋y 2
＝1的右焦点为F (3，0)，故直线方程为y ＝x －3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －3x 2＋4y 2－4＝0
得5x 2－83x ＋8＝0，x 1＋x 2＝
835，x 1x 2＝8
5
，由弦长公式得|AB |＝(1＋12)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8
5
.
答案：8
5
7．(2020·珠海质检)过点M (1,1)作斜率为－13的直线l 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0): 相交于A ，B 两点，
若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 __________ .
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题得
⎩⎪⎨
⎪⎧
b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b
2b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b
2， ∴b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0， ∴b 2(x 1－x 2)＝－a 2(y 1－y 2)， ∴b 2
a 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝13
， ∴a 2＝3b 2，∴a 2＝3(a 2－c 2)，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63
. 答案：
6
3
8．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为2
2.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ 解：(1)因为椭圆M 的离心率为22
， 所以4－b 24＝
⎝⎛⎭⎫
222，得b 2＝2. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，
消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0. 因为直线l 与椭圆M 相交，
所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0， 解得k <－
142或k >14
2
. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－
142∪⎝⎛⎭
⎫142，＋∞时，直线l 与
椭圆M 相交．。