【二模】海南省2018届高三数学阶段性测试(二模)试题理(附答案)

海南省2018届高三阶段性测试（二模）
数学试题 理
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|320}A x x x =+-≤，2{|log (21)0}B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．2|13x x ⎧⎫-≤≤
⎨⎬⎩⎭ B ．2|13x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
C ．{|11}x x -≤≤
D ．1
2|
2
3x x ⎧
⎫<≤⎨⎬⎩
⎭
2.已知复数z 满足(34)34z i i +=-，z r
为z 的共轭复数，则z =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3.如图，当输出4y =时，输入的x 可以是（ ）
A ．2018
B ．2017
C ．2016
D ．2014 4.已知x 为锐角，
cos 3sin a x
x
-=a 的取值范围为（ ）
A ．[2,2]-
B ．3)
C ．(1,2]
D ．(1,2)
5.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）
A ．
18 B ．916 C ．4
π D ．1516 6.2
4
(1)(1)x x x ++-的展开式中，3
x 的系数为（ ）
A ．3-
B ．2-
C ．1
D ．4
7.已知正项数列{}n a 满足22
1120n n n n a a a a ++--=，设1
2
1
log n n a b a +=，则数列{}n b 的前n 项和为（ ）
A ．n
B ．
(1)
2
n n - C ．(1)2n n + D ．(1)(2)2
n n ++
8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（ ）
A ．62．3．8 D ．9 9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则2017
2017
S =（ ） A ．1009 B ．1008 C ．2 D ．1 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()(12)f x f x =-，当[0,6]x ∈时，
6()log (1)f x x =+，若()1([0,2020])f a a =∈，则a 的最大值是（ ）
A ．2018
B ．2010
C ．2020
D ．2011
11.已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若
111AF BF
+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为
（ ）
A ．18
B ．30
C ．32
D ．36 12.已知1a >，方程
102
x
e x a +-=与ln 20
x x a +-=的根分别为1x ，2x ，则2212122x x x x ++的取值范围为（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,)+∞
C ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知(1,)a m =r ，1b =r ，7a b +=r r ，且向量a r ，b r 的夹角是60o
，则m = ．
14.已知实数x ，y 满足1
2103x x y x y ≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+≤⎩
，则3z x y =+的最大值是 ．
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的
直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为16，则
1
b
a +的最大值为 ． 16.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =，26PB =，则当PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的表面积为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且
3cos sin cos b A a A C +sin cos 0c A A +=.
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，12
B π=
，求ABC ∆的面积.
18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o
，2AB AC ==，点M 为11A C 的中点，点N 为1AB 上一动点.
（1）是否存在一点N ，使得线段//MN 平面11BB C C ？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由.
（2）若点N 为1AB 的中点且CM MN ⊥，求二面角M CN A --的正弦值.
19.某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站.甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为
14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13
. （1）求甲、乙两人付费相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.
20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，A ，F 分
别为椭圆的上顶点和右焦点，AOF ∆的面积为1
2
，直线AF 与椭圆交于另一个点B ，线段AB 的中点为P .
（1）求直线OP 的斜率；
（2）设平行于OP 的直线l 与椭圆交于不同的两点C ，D ，且与直线AF 交于点Q ，求证：
存在常数λ，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
.
21.已知函数()x
e f x x
=，()ln 1g x x =+.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）证明：3
()()x f x g x >.
（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
：1232
x t y t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB +的值.
23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()1f x x x m =-+-.
（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（2）若不等式()21f x m ≥-对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
答案
一、选择题
1-5: DABCB 6-10: BCDAD 11、12：CA 二、填空题
13. 7 15. 4
3
16. 6 三、解答题
17.（1
cos sin cos A a A C +sin cos 0c A A +=及正弦定理得，
sin (sin cos cos sin )A A C A C
+cos B A =，
即sin sin()A A C
+cos B A =， 又sin()sin 0A C B +=>
，所以tan A = 又(0,)A π∈，所以23
A π=. （2）由（1）知23A π=
，又12B π=，易求得4
C π=， 在ABC ∆
中，由正弦定理得
sin
sin 12
3
b π
=
2b =. 所以ABC ∆的面积为1
sin 2
S ab C
=
12==18.（1）存在点N ，且N 为1AB 的中点. 证明如下：
如图，连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11A C ，1A B 的中点， 所以MN 为11A BC ∆的一条中位线，//MN BC ，
MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C .
（2）设1AA a =，则2
2
1CM a =+，22
414a MN +=+28
4
a +=， 222
20
544
a a CN +=+=，
由CM MN ⊥，得222
CM MN CN +=，解得2a =
由题意以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，可得(0,0,0)A ，(0,2,0)C ，21,0,2N ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，2)M ， 故21,0,2AN ⎛= ⎝⎭u u u r ，(0,2,0)AC =u u u r ，21,2,2CN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，(0,2)CM =-u u u u
r ，. 设(,,)m x y z =u r
为平面ANC 的一个法向量，则
0,0,m AC m AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 得20,2
0,y x z =⎧⎪
⎨=⎪⎩ 令1x =-，得平面ANC 的一个法向量(2)m =-u r
， 同理可得平面MNC 的一个法向量为(3,2)n =r
，
故二面角M CN A --的余弦值为cos ,315
m n <>=
⋅5=.
故二面角M CN A --2
5255
11515⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭
.
19.（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424
--=， 乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333
--=， 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，
则1111()4343P A =
⨯+⨯111233
+⨯=， 所以甲、乙两人付费相同的概率是1
3
.
（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.
111
(6)4312
P X ==⨯=，
11(9)43P X ==⨯111
436
+⨯=，
111(12)432P X ==⨯+1111
3433⨯+⨯=，
111(12)432P X ==⨯+11
34⨯=，
111
(18)236
P X ==⨯=.
因此X 的分布列如下：
X 6
9
12
15
18
P
112
16
13
14
16
所以X 的数学期望()69126E X =⨯
+⨯121534+⨯+⨯1864
+⨯=. 20.（1）因为椭圆的离心率为22
，所以2222a b a -=222a b =，2222
c a b b =-=， 所以(0,)A c ，(,0)F c ，所以211
22
c =，所以1c =，所以椭圆的方程为2212x y +=.
直线AF 的方程为1y x =-+，联立2
21,21,
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩
消去y 得2
340x x -=，所以43x =或
0x =，
所以41,33B ⎛⎫-
⎪⎝⎭，从而得线段AB 的中点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 所以直线OP 的斜率为1
132
203
-=-.
（2）由（1）知，直线AF 的方程为1y x =-+，直线OP 的斜率为
1
2
，设直线l 的方程为1
(0)2
y x t t =
+≠. 联立1,21,y x t y x ⎧
=+⎪⎨⎪=-+⎩得22,3
21.3t x t y -⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩所以点的坐标为2221,33t t -+⎛⎫ ⎪⎝⎭.
所以2222,33t t QA --⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，2222,3
3t t QB ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭u u u r . 所以2
8(1)9
QA QB t ⋅=-u u u r u u u r .
联立2
21,21,
2
x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得22
322202x tx t ++-=，
由已知得2
4(32)0t ∆=->，又0t ≠
，得0,22t ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
U .
设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则1112y x t =
+，221
2
y x t =+， 1243
t
x x +=-，212443t x x -=.
所以112221,33t t QC x y -+⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭u u u r 112211,323t t x x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
222211,323t t QD x x --⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭u u u r ， 故
12222233t t QC QD x x --⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭u u u r u u u r 1211112323t t x x --⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1212555()46t x x x x -=++25(1)9t -+=25445544363t t t --⨯-⨯25(1)9t -+258(1)49
t =⨯-. 所以54QC QD QA QB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .所以存在常数54
λ=，使得QC QD QA QB λ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r . 21.（1）由题易知2(1)'()x
x e f x x
-=， 当(,0)(0,1)x ∈-∞U 时，'()0f x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，
所以()f x 的单调递减区间为(,0)(0,1)-∞U ，单调递增区间为(1,)+∞.
（2）g()x 的定义域为(0,)+∞，要证3
()()x f x g x >，即证3ln 1x e x x x +>. 由（1）可知()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()(1)f x f e ≥=. 设3ln 1()x h x x +=，0x >，因为423ln '()x h x x
--=， 当2
3(0,)x e -∈时，'()0h x >，当2
3(,)x e -∈+∞时，'()0h x <，
所以()h x 在23(0,)e -上单调递增，在23(,)e -+∞上单调递减，所以2
2
3
()()3e h x h e -≤=， 而2
3
e e >，所以3()()x
f x
g x >. 22.（1）把4sin 3πρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
展开得2sin ρθθ=+， 两边同乘ρ
得22sin cos ρρθθ=+①.
将222
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①即得曲线C
的直角坐标方程为2220x y y +--=②.
（2
）将1,
23x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
代入②式，得230t ++=，
易知点M 的直角坐标为(0,3).
设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t
的几何意义即得12MA MB t t +=+=23.（1）当3m =时，原不等式可化为135x x -+-≥. 若1x ≤，则135x x -+-≥，即425x -≥，解得1
2x ≤-；
若13x <<，则原不等式等价于25≥，不成立； 若3x ≥，则135x x -+-≥，解得9
2x ≥. 综上所述，原不等式的解集为：19|22x x x ⎧⎫
≤-≥⎨⎬⎩⎭或.
（2）由不等式的性质可知()1f x x x m =-+-1m ≥-， 所以要使不等式()21f x m ≥-恒成立，则121m m -≥-， 所以112m m -≤-或121m m -≥-，解得2
3m ≤，
所以实数m 的取值范围是2|3m m ⎧⎫
≤⎨⎬⎩⎭.。