2012届新课标数学考点预测(08)：三角恒等变换
初中数学三角恒等变换知识总结
初中数学三角恒等变换知识总结三角恒等变换是初中数学中非常重要的知识点之一。
通过学习和掌握三角恒等变换，我们可以简化和转换三角函数的表达式，从而更方便地计算和解决与三角函数相关的问题。
本文将对初中数学中常用的三角恒等变换进行总结。
首先，让我们回顾一下三角函数的基本定义。
在一个直角三角形中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别表示：- 正弦函数：$\sin A = \frac{{\text{对边}}}{{\text{斜边}}}$- 余弦函数：$\cos A = \frac{{\text{邻边}}}{{\text{斜边}}}$- 正切函数：$\tan A = \frac{{\text{对边}}}{{\text{邻边}}}$一个重要的三角恒等变换是诱导公式，用于描述同一角的三角函数之间的关系。
这些公式有助于简化和转换三角函数的表达式。
以下是一些常见的三角诱导公式：1. 正弦诱导公式：$\sin (A \pm B) = \sin A \cdot \cos B \pm \cos A \cdot \sin B$2. 余弦诱导公式：$\cos (A \pm B) = \cos A \cdot \cos B \mp \sin A \cdot \sin B$3. 正切诱导公式：$\tan (A \pm B) = \frac{{\tan A \pm \tan B}}{{1 \mp \tan A\cdot \tan B}}$以上是加减角的诱导公式，接下来是倍角和半角的诱导公式：4. 正弦倍角公式：$\sin(2A) = 2\sin A \cdot \cos A$5. 余弦倍角公式：$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$6. 正切倍角公式：$\tan(2A) = \frac{{2\tan A}}{{1 - \tan^2 A}}$对于半角，有以下的诱导公式：7. 正弦半角公式：$\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{{1 - \cos A}}{2}}$8. 余弦半角公式：$\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{{1 + \cos A}}{2}}$9. 正切半角公式：$\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{{\sin A}}{{1 + \cos A}}$此外，还有两个重要的三角恒等变换，它们是三角函数之间的倒数关系：10. 正余弦倒数公式：$\sin\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cos A$11. 余切正切倒数公式：$\tan\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \frac{1}{\tan A}$通过掌握这些三角恒等变换，我们可以更加灵活地处理复杂的三角函数表达式。
2012年高考数学理科二轮复习课件：3.2三角恒等变换和解斜三角形(共28张ppt)
主要考点剖析
考点一 三角化简与求值
命题规律 高考试题以考查学生利用和、差角公式进行
恒等变形的技能和运算能力为主，题型有选择题、填空题以 及解答题，分值在 15 分左右，一般难度不大．解答题往往 将这部分知识融入三角形之中，既考查考生运用三角公式进 行恒等变换的技能，又考查其解三角形的基础知识及正、余 弦定理等．解答题以中档题为主，在命题上通常是先对三角 函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的 形式，再利用图象法或整体换元法将其转化为对基本三角函
数性质的研究．
●例 1 (1)在锐角△ABC 中， 若 tan A＝t＋1， tan B＝t－1， 则 t 的取值范围是( ) (A)( 2，＋∞)． (B)(1，＋∞)． (C)(1， 2)． (D)(－1,1)． (2)cot 20° cos 10°＋ 3 sin 10° tan 70°－ 2cos 40°＝ ________．
2．二倍角公式：sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1； 2tan α tan 2α＝ ． 1－tan2α 公式变形：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α． 1－cos α 1＋cos α 2α 2α sin ＝ ，cos ＝ ， 2 2 2 2 1－cos α α sin α tan ＝ ＝ ． 2 1＋cos α sin α 3．正弦定理 a b c (1)正弦定理： ＝ ＝ ＝2R(R 为三角形外接 sin A sin B sin C 圆的半径)． (2)正弦定理变形：a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C．
4 3 4 于是 cos α＝2cos －1＝2· －1＝ ，sin α＝ ． 2 5 5 5 5 π 3 又 sin(α＋β)＝ 且 ＜α＋β＜ π， 13 2 2 12 ∴cos(α＋β)＝－ ． 13 ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 12 3 5 4 16 ＝－13· ＋ · ＝－ ． 65 5 13 5 16 π 63 (2)由(1)可知 cos β＝－ ，且 ＜β＜π，∴sin β＝ ． 65 2 65 β 2tan 2 π β π 63 而 ＜ ＜ ，tan β＝ ＝－ ， β 4 2 2 16 2 1－tan 2
三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析
三角恒等变换【考纲说明】1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2、 能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.3、 本部分在高考中约占5-10分.【趣味链接】1、 cos(α＋β)有的时候蛮无聊的，把人家好好的α和β硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin(α＋β)也会做差不多的事，但他比较懒,不变号.2、 tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot 陪陪他.【知识梳理】1、两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2、二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3、半角公式2cos 12sin αα-±= 2c o s12c o s αα+±= αααcos 1cos 12tan+-±= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=） 4、三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+= （2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
三角恒等变换知识点总结
三角恒等变换专题-、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴ cos ： - ： = cos ： cos 1 sin ： sin ：:⑵ cos ： 二 cos ： cos ； -sin ： sin ：；⑶ sin ： - - =sin ： cos ； -cos ： sin ： ；（4） sin ： : =sin ： cos ： cos ： sin ：；⑸ tan —J an -tan〔1 +tanot tan P形式―曲氏。
…,2 Sin ：「，其中聞「迁（tan ： - tan ： = tan ： - - 1 tan ： tan ：）；⑹tan ：—旦匹1 -tan 。
tan P（tan 二 1 tan ：二 tani* T"； ]1「tan ： tan ：）.2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴ sin2： =2sin : cos ：.= 仁sin2：2 2 2=si n ： cos ；二 2si n _：〉cos 「 - （s in ：二⑵ cos2：二 cos :「sin 2 ： = 2cos 2 < -1 二 1「2sin 2: 2 ：' =升幕公式 1 cos ： - 2cos ,1 - cos ： =2sin 2cos2-：i }12 ：'=■降幕公式cos2:■21 一：⑶tan2,西二1 -ta n «万能公式半角公式a cos -21 cos a sintan -21 - cos a-1 cos a. a;sin 2sin a 1 cos a1「cos a sin a4、合一变形=把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数, a2 tan2 ;cos2a(后两个不用判断符号，更加好用) 2atan —2 tan 2 a2一个角，一次方”的y = A sin() B5. （1）积化和差公式1 sin 用 cos - = [sin （-：匚 + - ）+sin （二--）]2 1cos -：： cos ，，-'= [cos （：+ - ）+cos （-：i --）]2（2）和差化积公式ct + P a - P sin 、’+sin - = 2 sin ---------------- COS ------1cos/ sin - = [sin （二I + - ）-sin （-：i --）]2 1sin -：： sin= -[cos （二i + - ）-cos （二i -a + P a - Psin 、’ - sin = 2 COS ----- s in --------21 cos2：cos -■二 ------------2 sin c os 、£ =1 sin2-f27、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公 式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：（1 ）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差, 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ①2是〉的二倍；4是2'的二倍；:-是 '的二倍；2 '是一的二倍；24② 15° =45° -30°30ooo=60 - 45.问： sin —二:cos —21212—―TTTT^TT③〉=（二：亠「）_ _ :④ _ . = 一 _（一 _：.）.4 2 4'⑤ 2：二（黒亠卩）（）=（_：）_（_-：）.等等（2） 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
高考数学复习：三角恒等变换与解三角形
考向2 求解三角形中的最值与范围问题 例 3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝ 3csin A－acos C，②(2a－b)sin A ＋(2b－a)sin B＝2csin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并 解答. 已知△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c＝ 3，而且________. (1)求角 C；
解析 因为 tan C＝152，所以 sin C＝1123，cos C＝153， 又 a＝b＝ 13，所以 c2＝a2＋b2－2abcos C＝13＋13－2× 13× 13×153＝16，
所以c＝4.
由sin∠aBAC＝sinc C，得sin∠1B3AC＝142， 13
解得 sin∠BAC＝31313.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5.若 α，β 都是锐角，且 cos α＝ 55，sin(α＋β)＝35，则 cos β 等于
√A.2255
解 选①：因为 a＝ 3csin A－acos C， 所以 sin A＝ 3sin Csin A－sin Acos C，
因为 sin A≠0，所以 3sin C－cos C＝1， 即 sinC－π6＝12， 因为 0<C<π，所以－π6<C－π6<56π， 所以 C－π6＝π6，即 C＝π3.
选②：因为(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C， 所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2， 即a2＋b2－c2＝ab， 所以 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12， 因为 0<C<π，所以 C＝π3.
π6－cosθ＋π6sin π6＋sinθ＋π6cos π6＋cosθ＋π6sin
三角恒等变换的技巧.
巧用三角恒等变换凌云县中学毛昌强三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。
三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。
三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和，差，倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转换。
概括起来就是：利用和，差，倍角等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的。
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能。
常用的数学思想方法技巧如下：一、知角求值一般所给出的角都是非特殊角。
当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式。
例1：已知，，则（）A． B． C． D．解析：两边平方，再同时除以，得，或，代入，得到。
选C。
变式：已知向量与互相垂直，其中。
（1）求和的值；（2）若，求的值。
解析（1）由，即，又，所以。
（2）因为。
点评已知非特殊角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，一般用同角三角函数的关系式来解，它分为两种情况：（1）一个角的某一个三角函数和这个角所在的象限或终边落在哪个坐标轴上都是已知的，此类情况只有一组解；（2）一个角的某一个三角函数值是已知的，但角的范围不确定，那么要根据已知的三角函数值确定这个角的值的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况来解。
例1通过化简后，求出的正切值，再直接用的二倍角的正切值得解，也可利用同角的三角函数基本关系式分别求出的值后求得，不过此时要注意角所在的象限。
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两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15 B.14 C.13 D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 6.3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________.7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分) 4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝_______.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝_________.6． 设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π实用标准文档文案大全 ＝1617，求cos(α＋β)的值．。
(完整版)三角恒等变换知识总结及基础训练
第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
2012年各省高考数学【三角恒等变换】章节试题解析
2012年各省高考数学【三角恒等变换】章节试题解析一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））sin 47sin17cos30cos17-（ ）A ．B ．12-C ．12D2 ．（2012年高考（重庆理））设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．33 ．（2012年高考（陕西文））设向量a =(1.cos θ)与b=(-1, 2cos θ)垂直,则cos 2θ等于A2B 12C ．0D ．-14 ．（2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．15 ．（2012年高考（辽宁理））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则tan α= （ ）A ．-1B ．2-C ．2D ．16．（2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（ ）A ．-34B ．34C ．-43D ．437．（2012年高考（江西理））若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．128．（2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24259 ．（2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2=8θ,则sin θ=（ ）A ．35B ．45C D ．3410．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为 （ ）A ．[ -2 ,2]B ．C ．[-1,1 ]D ．11．（2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α= （ ）A ．B ．CD 二、填空题1．（2012年高考（大纲文））当函数sin (02)y x x x π=≤<取最大值时,x =____.2．（ 2012年高考（江苏））设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____.3．（2012年高考（大纲理））当函数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时,x =_______________.三、解答题1．（2012年高考（四川文））已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域;(Ⅱ)若()10f α=,求sin 2α的值.2．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.3．（2012年高考（湖北文））设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.4．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.5．（2012年高考（北京文））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.6．（2012年高考（天津理））已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.7．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.8．（2012年高考（四川理））函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.9．（2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)3Am x n x x A ==> ,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 10．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围.11．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R )的最小正周期为10π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()cos αβ+的值.12．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)2sin 13cos17sin13cos17︒+︒-︒︒ (2)2sin 15cos15sin15cos15︒+︒-︒︒ (3)2sin 18cos12sin18cos12︒+︒-︒︒ (4)2sin (18)cos48sin(18)cos48-︒+︒--︒︒ (5)2sin (25)cos55sin(25)cos55-︒+︒--︒︒ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.13．（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.14．（2012年高考（安徽理））设函数2())sin 4f x x x π=++ (I)求函数()f x 的最小正周期;(II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.参考答案一、选择题1. 【答案】:C【解析】:sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用473017=+ 2. 【答案】A【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+-【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值.3. 解析:0a b ⋅=,212cos 0θ-+=,2cos 22cos 10θθ=-=,故选C.4. 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-=∴-=∴=- 故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题.5. 【答案】A【解析一】sin cos )sin()144ππαααα-=-=-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=- ，,故选A【解析二】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα--=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=- ,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. 6. 【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果.7. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化;另外,22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 8.答案A【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用.【解析】因为α为第二象限角,故cos0α<,而3sin 5α=,故4cos 5α==-,所以24sin 22sin cos 25ααα==-,故选答案A.9. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.10. 【答案】B【解析】f(x)=sinx-cos(x+6π)1sin sin )226x x x x π=-+=-,[]sin()1,16xπ-∈- ,()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式,利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-,求得()f x 的值域.11. 答案A【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.【解析】s i n c o s3αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=- α是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin αα-=== 22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .二、填空题 1.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.2. 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++. ∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 247=2525- 3.答案:56π 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点.【解析】由sin 2sin()3y x x x π=-=-由502333x x ππππ≤<⇔-≤-<可知22sin()23x π-≤-≤ 当且仅当332x ππ-=即116x π=时取得最小值,32x ππ-=时即56x π=取得最大值.三、解答题1. [解析](1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+=所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-=257251814cos 212=-=+-=）（πα, [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上,所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上,所以s i n 1,26A A π==,故函数f(x)的解析式为()2sin(2).6f x x π=+(Ⅱ)()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=-+12sin 22(sin 22)2x x x =-+sin 2x x =2sin(2),3x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=-=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得.3. 【解析】(1)因为22()sin cos cos cos 222sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-+=-+由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 6264πππλ=-⨯-=-=即λ=故5()2sin()36f x x π=-函数()f x 的值域为[2.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.4. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sincos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-22333sin cos 444αα=+= 5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(1)由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈,故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈. 因为(s()sin x x xf x x-==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --=)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈.由3222,()242k x k x k k Z ππππππ+≤-≤+≠∈得37,()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以()f x 的单调递减区间为37[],()88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识.()=sin 2coscos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333f x x x x x x ππππ++-+sin 2cos 2)4x x x π=+=+所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又()14f π-=-,()()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-最小值为1-.【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡+⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是 32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 8. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（ 所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. 9.解析:(Ⅰ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⋅=62sin 2cos 22sin 232cos 2sin cos 3)(πx A x A x A x A x x A x f , 则6=A ;(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移12π个单位得到函数]6)12(2sin[6ππ++=x y 的图象, 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数)34sin(6)(π+=x x g .当]245,0[π∈x 时,]1,21[)34sin(],67,3[34-∈+∈+ππππx x ,]6,3[)(-∈x g . 故函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 另解:由)34sin(6)(π+=x x g 可得)34cos(24)(π+='x x g ,令0)(='x g ,则)(234Z k k x ∈+=+πππ,而]245,0[π∈x ,则24π=x ,于是367sin6)245(,62sin 6)24(,333sin 6)0(-======πππππg g g , 故6)(3≤≤-x g ,即函数()g x 在5[0,]24π上的值域为]6,3[-. 10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16ω-=±,所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ,即1()23k k ω=+∈Z . 又1(,1)2ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π()04f =,即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=,即λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤,有π5π5π6366x -≤-≤,所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-. 11.解析:(Ⅰ)210T ππω==,所以15ω=.(Ⅱ)515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以3s i n5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α,15sin 17β,所以()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-. 12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.解:(1)选择(2)式计算如下213sin 15cos15sin15cos151sin 3024︒+︒-︒︒=-︒= (2)证明:22sincos (30)sin cos(30)αααα+︒--︒-22sin (cos30cos sin30sin )sin (cos30cos sin30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-22333sin cos 444αα=+=13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手.解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x -=sin 21cos 2x x --)14x π--,{|,}x x k k Z π≠∈(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π; (2)原函数的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-+∈,3(,]8k k k Z πππ+∈. 14. 【解析】2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =-(I)函数()f x 的最小正周期22T ππ== (2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
三角函数恒等变换知识点总结
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换一、知识点：一）公式回顾：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，简记为C(α±β)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，简记为S(α±β)sin2α=2sinαcosα，XXX为S2αcos2α=cos²α-sin²α，XXX为C2αtan2α=(α≠kπ/2且α≠kπ)简记为T2α2、二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。
凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
二）公式的变式1±sin²α=(sinα±cosα)²cos²α=1/(1+tan²α)1-cos²α=2sin²αtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)公式前的±号，取决于2合1公式所在的象限，注意讨论。
absinx+cosx=a+ba+b其中tanθ=b/a二、经典例题剖析：基础题型例1:已知sin2α=5π/13，0<α<π/2，求sin4α，cos4α，tan4α.例2:在△ABC中，cosA=4/5，tanB=2，求tan(2A+2B).题型二：公式的逆向运用例3:求下列各式的值：2tan15°1.化简下列各式：1) sin²22.5°cos²22.5°;2) (1-2sin²75°)/(21-tan15°);3) sin(3π/4)/[1-(tanπ/5)²].2.化简下列各式：1) sin⁴θ-cos⁴θ;2) -αcosα-(3α²/4).3.求值：1) cos(π/12)cos(π/6);2) cos36°cos72°.题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3.化简下列各式：1) 1+sin40°;2) 1-sinα;3) 1+cos20°;4) 1-cosα.1) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ-cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2sinθ/(1-cos2θ);2) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2cosθ/(1+cos2θ).3.已知sinx+cosx=3/2.x∈(0,π)，求sin2x和cos2x.2sinxcosx = sin2x。
三角恒等变换知识点
三角恒等变换知识点三角恒等变换是指一些与三角函数相关的等式，通过它们可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式。
它们在解三角方程、简化三角函数表达式以及证明数学恒等式等方面具有重要的作用。
下面将介绍一些常用的三角恒等变换及其相关知识点。
1.余弦和差公式余弦和差公式是将两个角的余弦之间的关系进行表示的公式：cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B利用这个公式，可以将两个角的和（或差）的余弦值表达为这两个角的余弦值以及正弦值之间的关系。
2.正弦和差公式正弦和差公式是将两个角的正弦之间的关系进行表示的公式：sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B利用这个公式，可以将两个角的和（或差）的正弦值表达为这两个角的正弦值以及余弦值之间的关系。
3.二倍角公式二倍角公式是将一个角的两倍表达为这个角的余弦值或正弦值之间的关系：cos(2A) = cos^2 A – sin^2 Asin(2A) = 2 sin A cos A利用这个公式，可以将一些角的两倍的余弦值或正弦值表示为这个角的余弦值或正弦值的函数。
4.半角公式半角公式是将一个角的一半表达为这个角的余弦值或正弦值之间的关系：cos(A/2) = ±√[(1 + cos A)/2]sin(A/2) = ±√[(1 – cos A)/2]利用这个公式，可以将一些角的一半的余弦值或正弦值表示为这个角的余弦值或正弦值的函数。
5.和差化积公式和差化积公式是将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数乘以另一个三角函数的表达式：sin A + sin B = 2 sin[(A + B)/2] cos[(A – B)/2]sin A – sin B = 2 cos[(A + B)/2] sin[(A – B)/2]cos A + cos B = 2 cos[(A + B)/2] cos[(A – B)/2]cos A – cos B = -2 sin[(A + B)/2] sin[(A – B)/2]利用这个公式，可以将两个三角函数的和（或差）表示为一个三角函数的乘积。
2012届新课标数学高考一轮复习教案6.2简单的三角恒等变换
2.简单的三角恒等变形【知识点精讲】三角恒等变形的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角恒等变形包括三角函数的求值、化简与证明题；三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次三角恒等式的常用证明方法：（1）化繁到简法；（2）左右归一法；（3）变更命题法注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】例1．（1）计算)310(tan 40sin 00-的值。
解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000- =000060cos 10cos 50sin 40sin -⋅=160cos 10cos 280sin 000-=⋅- （2）求值：2sin20°+cos10°+tan20°sin10°的值。
练习:（全国高考）求值tan20°+4sin20°；解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=0020cos 40sin 80sin + =320cos 20cos 60sin 2000= 例2；（1）已知 180270-<<-α，化简：α2cos 21212121+⋅+ 解：原式=α2cos 2121⋅+=()αcos 2121-⋅+=()αcos 121-=2sin α=2sin α- （2）化简：βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222⋅-⋅+⋅ 解答：见《走向高考》p51例3例３ 已知sin x ＋sin y ＝31 ，求sin x －cos 2y 的最大、最小值． 解答：见《走向高考》p49例1例4：若()2cos 2sin 333x x x f x =-．（1）[]0,x π∈，求()f x 的值域； （2）在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若()1f C =，且2b ac =，求sin A ．解：（1）21cos 22223()2cos 12sin()1323336x f x x x x x π-=-⋅=+-=+- 2225[0,][0,][,]333666x x x πππππ∈⇒∈⇒+∈ 212sin()[,1]2sin()[1,2][0,1]36236x x y ππ+∈⇒+∈⇒∈ （2）2()2sin()1136f C C π=+-=22sin()1363622C C C ππππ⇒+=⇒+=⇒= 因为22sin sin sin sin b ac B A C A =⇒==22C B A ππ=⇒=-，所以222sin cos sin 1sin sin sin B A A A A A ==⇒-=⇒=练习 已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋ 2sin ωx cos ωx ＋ 1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是2π . (1)求ω的值；(2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解答：见《走向高考》p51例4【课堂小结】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形1．三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
三角恒等变换知识总结
三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= 对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。
2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。
3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()sin cos a x b x x ρ+=+.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。
5.常用知识点：（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =，1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=； 二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）2、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） 3、若3,4παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________. 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos 5πcos 52π的值等于（ ） (提示:构造分子分母) 6、cos 20cos 40cos60cos80=（ ）7、 已知322A ππ<<，且3cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ） 考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于（ ） 9、已知,31cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（） 10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x ππ=-++-是（ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.其中cos ϕϕ==）如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________.2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.7．若2tan(),45πα+=则tan α=________. （二）三角函数式的化简与求值[例1] 1.0000cos15sin15cos15sin15-+； 2.00sin 50(1); 3. 求tan70tan503tan70tan50+-值;4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ∙∙=++（三）三角函数给值求值问题1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是_____________; 2. 已知54cos(),cos ,,135αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。
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2
B.2C.2
D.2〖解析〗3sin70
22cos103cos20
22cos103(2cos201)
2cos10222．
（2）用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
（3）用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．函数式的化简、求值及恒等式的证明。
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．
2012届新课标数学考点预测（8）
三角恒等变换
一、考点介绍
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用，由此出发，导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换，从而发展学生的推理能力和运算能力．
1．和与差的三角函数公式
（1）向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
二、高考真题
1．（2007年宁夏、海南文9）
．若cos2
πsin42，则cossin的值为（）
Ａ．2Ｂ．1
2
2Ｃ．212
2
〖解析〗
由cos2
sin(
1
24)22csosin)2,∴sinα+cosα=
〖答案〗Ｃ．．
2（2008年高考海南卷7）.3sin70