湖北省孝感市孝昌县卓宇学校2021届九年级第一学期9月月考数学试卷(含解析)

2021-2021学年湖北省孝感市孝昌县卓宇学校九年级〔上〕月考数学试卷〔9
月份〕
一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕
1．以下关于x的方程：
①ax2+bx+c=0；②3〔x﹣9〕2﹣〔x+1〕2=1；③x+3=；④〔a2+1〕x2﹣a=0；⑤ =x﹣1，
其中一元二次方程的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
2．假设函数y=〔m+1〕x是二次函数，那么m的值是〔〕
A．﹣1 B．﹣1或3 C．2 D．3
3．用配方法解方程3x2﹣9x+1=0时，配方结果正确的选项是〔〕
A．〔x+〕2=B．〔x﹣〕2=C．〔x﹣〕2=D．〔x﹣〕2=
4．顶点为〔5，1〕，形状与函数y=x2的图象一样且开口方向相反的抛物线是〔〕
A．y=﹣+1 B．y=﹣x2﹣5 C．y=﹣〔x﹣5〕2﹣1 D．y=〔x+5〕2﹣1
5．x=1是关于x的方程〔1﹣k〕x2+k2x﹣1=0的根，那么常数k的值为〔〕
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＜B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0
7．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2〔x﹣1〕2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是〔〕
A．y=2〔x﹣1〕2﹣2 B．y=2〔x+1〕2﹣2 C．y=2〔x+1〕2+2 D．y=2〔x﹣3〕2+2
8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；假设每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利到达15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，那么可以列出的方程是〔〕
A．〔3+x〕〔4﹣0.5x〕=15 B．〔x+3〕〔4+0.5x〕=15 C．〔x+4〕〔3﹣0.5x〕=15 D．〔x+1〕〔4﹣0.5x〕=15
9．假设正比例函数y=mx〔m≠0〕，y随x的增大而减小，那么它和二次函数y=mx2+m的图象大致是〔〕
A．B．C．D．
10．如图是抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的局部图象，其顶点坐标为〔1，n〕，且与x轴的一个交点在点〔3，0〕和〔4，0〕之间．那么以下结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a〔c﹣n〕；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题〔共6小题，每题3分，共18分〕
11．实数满足〔x2﹣x〕2﹣〔x2﹣x〕﹣6=0，那么代数式x2﹣x+1= ．
12．假设关于x的方程mx2﹣〔2m﹣2〕x+m=0有实数根，那么m的取值范围是．
13．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是．
14．二次函数y=a〔x﹣2〕2+c〔a＞0〕，当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，那么
y1，y2，y3的大小关系是．
15．在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，所得抛物线的解析式是．
16．函数y=ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，写出a所有可能的值．
三、解答题〔共7小题，共72分〕
17．用适当的方法解以下方程
〔1〕〔x﹣3〕2+2x〔3﹣x〕=0
〔2〕4〔x﹣3〕2=9〔x﹣2〕2
〔3〕〔x+2〕〔x+3〕=30
〔4〕x〔x+4〕=6x+5．
18．二次函数y=﹣﹣x+3．
〔1〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；
〔2〕画出抛物线的图象；
〔3〕当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y 有最大值还是最小值？是多少？
19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果假设干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
〔1〕假设将这种水果每斤的售价降低x元，那么每天的销售量是斤〔用含x的代数式表示〕；〔2〕销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
20．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
〔1〕求m的取值范围；
〔2〕当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
21．如图：y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，A，B坐标分别是〔﹣1，0〕和〔3，0〕与y轴交于点C〔0，3〕．
〔1〕求抛物线解析式，并确定其对称轴；
〔2〕设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得
△PDC是等腰三角形？假设存在，求符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
22．关于x的一元二次方程：x2﹣〔m﹣3〕x﹣m=0．
〔1〕试判断原方程根的情况；
〔2〕假设抛物线y=x2﹣〔m﹣3〕x﹣m与x轴交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，那么A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？假设存在，求出这个值；假设不存在，请说明理由．
〔友情提示：AB=|x2﹣x1|〕
23．如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
〔1〕求二次函数的表达式；
〔2〕连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
〔3〕假设点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M〔4，m〕是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
2021-2021学年湖北省孝感市孝昌县卓宇学校九年级〔上〕月考数学试卷〔9月份〕
参考答案与试题解析
一、选择题〔共10小题，每题3分，共30分〕
1．以下关于x的方程：
①ax2+bx+c=0；②3〔x﹣9〕2﹣〔x+1〕2=1；③x+3=；④〔a2+1〕x2﹣a=0；⑤ =x﹣1，
其中一元二次方程的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义即可得．
【解答】解：根据一元二次方程的定义，是一元二次方程的有②④这两个，
应选：B．
【点评】此题主要考察一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是关键．
2．假设函数y=〔m+1〕x是二次函数，那么m的值是〔〕
A．﹣1 B．﹣1或3 C．2 D．3
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据形如y=ax2是二次函数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m2﹣2m﹣1=2且m+1≠0，解得m=3，
应选：D．
【点评】此题考察了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出方程是解题关键，注意二次项的系数不等于零．
3．用配方法解方程3x2﹣9x+1=0时，配方结果正确的选项是〔〕
A．〔x+〕2=B．〔x﹣〕2=C．〔x﹣〕2=D．〔x﹣〕2=
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答此题．
【解答】解：3x2﹣9x+1=0
x2﹣3x=﹣
〔x﹣〕2=，
应选C．
【点评】此题考察解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进展变形．
4．顶点为〔5，1〕，形状与函数y=x2的图象一样且开口方向相反的抛物线是〔〕
A．y=﹣+1 B．y=﹣x2﹣5 C．y=﹣〔x﹣5〕2﹣1 D．y=〔x+5〕2﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的开口方向由a的正负决定可求得a的值，再利用抛物线的顶点式可求得其解析式．
【解答】解：
∵形状与函数y=x2的图象一样且开口方向相反，
∴a=﹣，
∵抛物线顶点坐标为〔5，1〕，
∴抛物线解析式为y=﹣〔x﹣5〕2+1，
应选A．
【点评】此题主要考察二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a〔x﹣h〕2+k 中，其对称轴为x=h，顶点坐标为〔h，k〕．
5．x=1是关于x的方程〔1﹣k〕x2+k2x﹣1=0的根，那么常数k的值为〔〕
A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得k的值．
【解答】解：当k=1时，方程〔1﹣k〕x2+k2x﹣1=0为一元一次方程，解为x=1；
k≠1时，方程〔1﹣k〕x2+k2x﹣1=0为一元二次方程，把x=1代入方程〔1﹣k〕x2+k2x﹣1=0可得：1﹣k+k2﹣1=0，即﹣k+k2=0，可得k〔k﹣1〕=0，即k=0或1〔舍去〕；
应选C．
【点评】该题应注意方程与一元二次方程的区别，此题1﹣k可为0，同时此题也考察了因式分解．
6．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k＜B．k＜且k≠0
C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，
∴≤k＜，且k≠0．
应选：D．
【点评】此题考察了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考察了一元二次不等式的解法．
7．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2〔x﹣1〕2不动，而把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是〔〕
A．y=2〔x﹣1〕2﹣2 B．y=2〔x+1〕2﹣2 C．y=2〔x+1〕2+2 D．y=2〔x﹣3〕2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=2〔x﹣1〕2的顶点坐标为〔1，0〕，
∵把x轴、y轴分别向下、向左平移2个单位，
∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为〔3，2〕，
∴抛物线的解析式为y=2〔x﹣3〕2+2．
应选：D．
【点评】此题考察了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．
8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；假设每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利到达15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，那么可以列出的方程是〔〕
A．〔3+x〕〔4﹣0.5x〕=15 B．〔x+3〕〔4+0.5x〕=15 C．〔x+4〕〔3﹣0.5x〕=15 D．〔x+1〕〔4﹣0.5x〕=15
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【分析】根据假设每盆花苗增加x株，那么每盆花苗有〔x+3〕株，得出平均单株盈利为〔4﹣0.5x〕元，由题意得〔x+3〕〔4﹣0.5x〕=15即可．
【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
〔3+x〕〔4﹣0.5x〕=15，
应选：A．
【点评】此题考察了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
9．假设正比例函数y=mx〔m≠0〕，y随x的增大而减小，那么它和二次函数y=mx2+m的图象大致是〔〕
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据正比例函数图象的性质确定m＜0，那么二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
【解答】解：∵正比例函数y=mx〔m≠0〕，y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．
∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有A选项．
应选A．
【点评】此题考察了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．
10．如图是抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的局部图象，其顶点坐标为〔1，n〕，且与x轴的一个交点在点〔3，0〕和〔4，0〕之间．那么以下结论：
①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a〔c﹣n〕；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是〔〕
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】数形结合．
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点〔﹣2，0〕和〔﹣1，0〕之间，那么当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进展判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，那么可对②进展判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，那么可对③进展判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，那么抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进展判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点〔3，0〕和〔4，0〕之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点〔﹣2，0〕和〔﹣1，0〕之间．
∴当x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为〔1，n〕，
∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a〔c﹣n〕，所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
应选C．
【点评】此题考察了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左；当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于〔0，c〕：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题〔共6小题，每题3分，共18分〕
11．实数满足〔x2﹣x〕2﹣〔x2﹣x〕﹣6=0，那么代数式x2﹣x+1= 4或﹣1 ．
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】设t=x2﹣x，那么原方程转化为关于t的一元二次方程t2﹣t﹣6=0，利用因式分解法解该方程即可求得t的值；然后整体代入所求的代数式进展解答．
【解答】解：设t=x2﹣x，
由原方程，得
t2﹣t﹣6=0，
整理，得
〔t﹣3〕〔t+2〕=0，
所以t=3或t=﹣2．
当t=3时，x2﹣x+1=3+1=4．
当t=﹣2时，x2﹣x+1=﹣2+1=﹣1．
故答案是：4或﹣1．
【点评】此题考察了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
12．假设关于x的方程mx2﹣〔2m﹣2〕x+m=0有实数根，那么m的取值范围是m≤．．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】分类讨论：当m=0，方程变形为2x=0，一元一次方程有实数解；当m≠0，根据判别式的意义得到△=〔2m﹣2〕2﹣4m•m≥0，解得m≤，所以m≤且m≠0时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可．
【解答】解：〔1〕当m=0，方程变形为2x=0，解得x=0；
〔2〕当m≠0，△=〔2m﹣2〕2﹣4m•m≥0，解得m≤，即m≤且m≠0时，方程有两个实数根，综上所述，当m的取值范围为m≤时，方程有实数根．
故答案为m≤．
【点评】此题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是50+50〔1+x〕+50〔1+x〕2=196 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．
【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50〔1+x〕万个，九月份的产量为50〔1+x〕2万个，
∴50+50〔1+x〕+50〔1+x〕2=196，
故答案为：50+50〔1+x〕+50〔1+x〕2=196．
【点评】此题考察了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．
14．二次函数y=a〔x﹣2〕2+c〔a＞0〕，当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，那么
y1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由抛物线开口向上，可知当x的值离对称轴越远时，其对应的函数值越大，可分别计算、3、0与x=2的距离，再比例大小即可．
【解答】解：
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x的值离对称轴越远时，其对应的函数值越大，
∵抛物线对称轴为x=2，
∴|﹣2|=2﹣＜1，|3﹣2|=1，|0﹣2|=2，
∴|﹣2|＜|3﹣2|＜|0﹣2|，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】此题主要考察二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线开口向上时x的值离对称轴越远其对应的函数值越大是解题的关键．
15．在平面直角坐标系中，先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，所得抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x﹣8 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案．
【解答】解：先将抛物线y=2x2﹣4x+8关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣2x2+4x﹣8；
再将所得的抛物线y=﹣2x2+4x﹣8关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=﹣2x2﹣4x﹣8．
故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣8．
【点评】此题考察的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
16．函数y=ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点，写出a所有可能的值0，1，9 ．【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】分类讨论：当a=0时，函数解析式为y=3x+1，此一次函数与x轴只有一个交点；当a≠0时，利用△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到△=〔3﹣a〕2﹣4a=0，然后解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：当a=0时，函数为一次函数，此时函数图象与x轴只有一个交点；
当a≠0时，抛物线y=ax2+〔3﹣a〕x+1的图象与x轴有且只有一个交点，那么△=〔3﹣a〕2﹣4a=0，解得a1=1，a2=9，
综上所述，当a为0或1或9时，函数y=ax2﹣ax+3x+1的图象与x轴有且只有一个交点．
故答案为：0，1，9．
【点评】此题考察了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y=ax2+bx+c〔a，b，c是常数，a≠0〕：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．注意分类讨论：a=0或a≠0．
三、解答题〔共7小题，共72分〕
17．用适当的方法解以下方程
〔1〕〔x﹣3〕2+2x〔3﹣x〕=0
〔2〕4〔x﹣3〕2=9〔x﹣2〕2
〔3〕〔x+2〕〔x+3〕=30
〔4〕x〔x+4〕=6x+5．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】〔1〕先提公因式x﹣3，注意第二项中要变为﹣2x，化成两个一次因式的积，从而求出方程的解；
〔2〕先移项，利用平方差公式分解因式，在化简，从而求出方程的解；
〔3〕去括号，移项，化成一般式，利用十字相乘分解因式，再求方程的解；
〔4〕去括号，化为一般式，利用配方法解方程．
【解答】解：〔1〕〔x﹣3〕2+2x〔3﹣x〕=0，
〔x﹣3〕〔x﹣3﹣2x〕=0，
x﹣3=0，﹣x﹣3=0
x1=3，x2=﹣3；
〔2〕4〔x﹣3〕2=9〔x﹣2〕2，
4〔x﹣3〕2﹣9〔x﹣2〕2=0，
[2〔x﹣3〕+3〔x﹣2〕][2〔x﹣3〕﹣3〔x﹣2〕]=0，
〔5x﹣12〕〔﹣x〕=0，
5x﹣12=0，﹣x=0，
x1=，x2=0；
〔3〕〔x+2〕〔x+3〕=30，
x2+5x+6﹣30=0，
x2+5x﹣24=0，
〔x+8〕〔x﹣3〕=0，
x1=﹣8，x2=3；
〔4〕x〔x+4〕=6x+5，
x2+4x﹣6x﹣5=0，
x2﹣2x﹣5=0，
〔x﹣1〕2=6，
x﹣1=，
x1=1+，x2=1﹣．
【点评】此题考察了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法；要根据方程的特点灵活选用适宜的方法．
18．二次函数y=﹣﹣x+3．
〔1〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；
〔2〕画出抛物线的图象；
〔3〕当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y 有最大值还是最小值？是多少？
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】〔1〕把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标及对称轴；
〔2〕可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象；
〔3〕结合抛物线图象及增减性可求得答案．
【解答】解：
〔1〕∵y=﹣﹣x+3=﹣〔x+1〕2+，
∴抛物线顶点坐标为〔﹣1，〕，对称轴为x=﹣2；
〔2〕在y=﹣﹣x+3中，令y=0可得﹣﹣x+3=0，解得x=﹣1±，
令x=0可得y=3，结合〔1〕中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如下图：
〔3〕∵抛物线开口向下，对称轴为x=﹣1，顶点坐标为〔﹣1，〕，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x增大而减小，当x=﹣1时，y有最大值，最大值为．
【点评】此题主考察二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a〔x﹣h〕2+k 中，其对称轴为x=h，顶点坐标为〔h，k〕．
19．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果假设干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
〔1〕假设将这种水果每斤的售价降低x元，那么每天的销售量是100+200x 斤〔用含x的代数式表示〕；
〔2〕销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】〔1〕销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
〔2〕根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．
【解答】解：〔1〕将这种水果每斤的售价降低x元，那么每天的销售量是100+×20=100+200x 〔斤〕；
〔2〕根据题意得：〔4﹣2﹣x〕〔100+200x〕=300，
解得：x=或x=1，
当x=时，销售量是100+200×=200＜260；
当x=1时，销售量是100+200=300〔斤〕．
∵每天至少售出260斤，
∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
【点评】此题考察理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
20．〔10分〕〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
〔1〕求m的取值范围；
〔2〕当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】〔1〕根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
〔2〕根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
【解答】解：〔1〕∵原方程有两个实数根，
∴△=〔﹣2〕2﹣4〔m﹣1〕≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
〔2〕∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=6x1•x2，
即4=8〔m﹣1〕，
解得：m=．
∵m=＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】此题考察了根与系数的关系以及根的判别式，解答此题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
21．如图：y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，A，B坐标分别是〔﹣1，0〕和〔3，0〕与y轴交于点C〔0，3〕．
〔1〕求抛物线解析式，并确定其对称轴；
〔2〕设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得
△PDC是等腰三角形？假设存在，求符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质．
【分析】〔1〕根据待定系数法求二次函数的解析式，并利用配方法求对称轴；
〔2〕分两种情况：①当以CD为底边时，如图2，根据两点间距离公式PD=PC，列式计算，并根据点P在对称轴右侧，所以x应该大于1进展取舍；
②当DC为腰时，如图3，那么P、C关于直线x=1对称，写出点P的坐标．
【解答】解：〔1〕如图1，把〔﹣1，0〕和〔3，0〕与y轴交于点C〔0，3〕代入y=ax2+bx+c中得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣〔x2﹣2x+1﹣1〕+3=﹣〔x﹣1〕2+4，
∴对称轴是直线x=1；
〔2〕存在，
由〔1〕得D〔1，4〕，
当△PDC是等腰三角形时，分两种情况：
①当以CD为底边时，如图2，PD=PC，
设P〔x，y〕，
那么〔x﹣1〕2+〔y﹣4〕2=x2+〔y﹣3〕2，
解得：x+y=4，
∵P在抛物线上，
∴，
4﹣x=﹣x2+2x+3，
x1=，x2=＜1〔舍〕，
∴y=4﹣x=4﹣=，
∴P〔，〕，
②当DC为腰时，如图3，那么P、C关于直线x=1对称，
∴P〔2，3〕，
综上所述，点P的坐标为P〔，〕或〔2，3〕．
【点评】此题是二次函数的综合问题，考察了利用待定系数法求二次函数的解析式，同时根据等腰三角形的判定分两种情况进展讨论；根据两点间距离公式列方程求解．
22．关于x的一元二次方程：x2﹣〔m﹣3〕x﹣m=0．
〔1〕试判断原方程根的情况；
〔2〕假设抛物线y=x2﹣〔m﹣3〕x﹣m与x轴交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，那么A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？假设存在，求出这个值；假设不存在，请说明理由．
〔友情提示：AB=|x2﹣x1|〕
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式．
【分析】〔1〕根据根的判别式，可得答案；
〔2〕根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：〔1〕△=[﹣〔m﹣3〕]2﹣4〔﹣m〕=m2﹣2m+9=〔m﹣1〕2+8，
∵〔m﹣1〕2≥0，
∴△=〔m﹣1〕2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
〔2〕存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．
∵AB=|x1﹣x2|，
∴AB2=〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2
=〔m﹣3〕2﹣4〔﹣m〕=〔m﹣1〕2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB==2
【点评】此题考察了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
23．如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
〔1〕求二次函数的表达式；
〔2〕连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
〔3〕假设点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M〔4，m〕是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】〔1〕先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；
〔2〕根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，那么N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐标为D〔n，﹣n2+4n+5〕，根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；
〔3〕由题意可得二次函数的顶点坐标为H〔2，9〕，点M的坐标为M〔4，5〕，作点H〔2，9〕关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M〔4，5〕关于x轴的对称点HM1，可得点M1的坐标连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．
【解答】解：〔1〕∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A〔﹣1，0〕，C〔0，5〕，
∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A，C两点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5；
〔2〕如图1，
∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，
∴由二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5得，点B的坐标B〔5，0〕，设直线BC解析式为y=kx+b，
∵直线BC过点B〔5，0〕，C〔0，5〕，
∴，
解得，
∴直线BC解析式为y=﹣x+5，
设ND的长为d，N点的横坐标为n，
那么N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐标为D〔n，﹣n2+4n+5〕，
那么d=|﹣n2+4n+5﹣〔﹣n+5〕|，
由题意可知：﹣n2+4n+5＞﹣n+5，
∴d=﹣n2+4n+5﹣〔﹣n+5〕=﹣n2+5n=﹣〔n﹣〕2+，
∴当n=时，线段ND长度的最大值是；
〔3〕如图2中，
由题意可得二次函数的顶点坐标为H〔2，9〕，点M的坐标为M〔4，5〕，
作点H〔2，9〕关于y轴的对称点H1，那么点H1的坐标为H1〔﹣2，9〕，
作点M〔4，5〕关于x轴的对称点HM1，那么点M1的坐标为M1〔4，﹣5〕，
连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，
所以H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，那么点F、E即为所求，
设直线H1M1解析式为y=k1x+b1，
直线H1M1过点M1〔4，﹣5〕，H1〔﹣2，9〕，
根据题意得方程组，
解得，
∴y=﹣x+，
∴点F，E的坐标分别为〔，0〕〔0，〕．
【点评】此题考察了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的表达式，待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的顶点坐标，两点间的距离公式，二次函数的最值，轴对称﹣最短路线问题，方程思想的应用，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题．。