2013年全国初中数学竞赛试题含答案

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．设非零实数a ，b ，c 满意2302340a b c a b c ++=⎧⎨
++=⎩
，，则222
ab bc ca
a b c ++++的值为（ ）． （A ）1
2
-
（B ）0
（C ）
12
（D ）1
【答案】A
【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故
2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以2221
2
ab bc ca a b c ++=-
++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个非零实根
1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以
211x ，22
1
x 为两个实根的是（ ）． （A ）2
2
2
2
(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2
2
2
2
(2)0c x b ac x a --+= （C ）2
2
2
2
(2)0c x b ac x a +--= （D ）2
2
2
2
(2)0c x b ac x a ---=
【答案】B
【解答】由于2
0ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b
x x a
+=-
，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 2212122222
2
1212()2112x x x x b ac
x x x x c +--+==，2
2
221211a x x c
⋅=， 于是依据方程根与系数的关系，以
211x ，22
1x 为两个实根的一元二次方程是22
2
220b ac a x x c c
--
+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．
3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，
（第3题）
垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不肯定．．．
是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC
【答案】D
【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝
2
AD BD
+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DO
DE OC
=都是有
理数，而AC ＝
·AD AB 不肯定是有理数．
4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影局部的面积为（ ）．
（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8
【答案】C
【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影局部的面积等于△ACE 的面积．
连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影局部的面积为6． 5．对于随意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：
()()
3223
33
3345
1160
x y x y xy x y x y +++*=
+++-，
且()x y z x y z **=**，则2013201232**
**的值为（ ）．
（A ）
607
967
（B ）
1821
967 （C ）
5463
967
（D ）
16389
967
【答案】C
【解答】设201320124m **
*=，则
（第3题答题）
（第4题答题）
（第4题）
()20132012433m **
**=*323233392745
93316460
m m m m m m ⨯+⨯+⨯+=
=++++-， 于是()201320123292****=*32233339239292455463
10360967
⨯⨯+⨯⨯+⨯+=
=+-．
二、填空题 6．设3
3a =
，b 是2a 的小数局部，则3(2)b +的值为 ．
【答案】9
【解答】由于2
123a a <<<<，故3
2
292b a =-=
-，因此333(2)(9)9b +==．
7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．
【答案】
204
13
【解答】如图，连接AF ，则有：
45
=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，
35
4
AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，
解得10813AEF S ∆=
，9613
AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是204
13
．
8．已知正整数a ，b ，c 满意2
220+--=a b c ，2
380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．
【答案】2013
【解答】由已知2
220+--=a b c ，2
380-+=a b c 消去c ，并整理得
()
2
28666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．
若1a =，则()2
859b -=，无正整数解；
（第7题答题）
（第7题）
若2a =，则()2
840b -=，无正整数解；
若3a =，则()2
89b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．
9．实数a ，b ，c ，d 满意：一元二次方程2
0x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程2
0x ax b ++=的两根为c ，d ，则全部满意条件的数组()，，，a b c d 为 ．
【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为随意实数）
【解答】由韦达定理得，
，
，．
+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b
由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1=
=d a b ，1==b
c d
，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为随意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为随意实数）满意条件．
10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开场时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．
【答案】207
【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，
，+=⎧⎨
+<⎩
x y x y
所以201371
(5032)44
y y x y -+=
=-+， 于是14
y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，
所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．
12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于全部的△ABC ，求BAC ∠全部可能的度数．
【解答】分三种状况探讨． （i ）若△ABC 为锐角三角形．
因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，
所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．
…………5分
（ii ）若△ABC 为钝角三角形．
当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，
所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

…………10分
当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，， 所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．
…………15分
（iii ）若△ABC 为直角三角形．
当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不行能共圆， 所以A ∠不行能等于90︒；
当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满意090A ︒<∠<︒的全部角．
综上可得，A ∠全部可能取到的度数为全部锐角及120︒．
…………20分
（第12题答题（i ））
（第12题答题（ii ））
13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当
2,
2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．
【解答】不能．
依题意，得111
()()()222
a y z
b x z
c x y =
+=+=+，，． 因为2
y z =，所以211(1)()()222
z z a y z z z +=+=+=．
又由于z 为整数，a 为素数，所以2z =或3-，3a =．…………10分
当2z =时，2242)16y z x ====，．进而，9b =，10c =，与b ，c 是素数冲突；…………15分
当3z =-时，0a b c +-<，所以a ，b ，c 不能构成三角形的三边长．………20分
14．假如将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不一样的正整数12n a a a ，，…，，满意对随意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．
【解答】若n ≤6，取m =1，2，…，7，依据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，冲突．
故n ≥7．…………10分
又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对随意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为
正整数）．则10k
i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，
(1j ≤i ＜j ≤7)，满意7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k
j i -，从而7|()j i -，冲突．
故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k
i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。