(七年级)二元一次方程组及解不等式组

二元一次方程组及解不等式组
1、二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1, 二元一次方程有无数多个解.
2、二元一次方程组：有一个解，可以用代入消元法和加减消元法解.
3、三元一次方程组：先转化为二元一次方程组.
4、应用题：解、设、列、解、验、答
5、典型例题：
①二元一次方程满足的条件：系数≠0，次数=1
②平方＋绝对值= 0
③已知方程（组）的解，求其它未知数的值
4、解不等式组的步骤：
（1）先求出各个不等式的解集
（2）将这些解集表示在同一个数轴上
（3）在数轴上找出这些解集的公共部分，就是这个不等式组的解集。

5、典型例题：①已知解集求未知数范围：看解集不等号方向是否改变，不变则系数＞0，改变则系数＜0 ②已知不等式（组）的解求未知数的值：令所求解集等于已知解集
③已知不等式（组）的整数解求未知数的值：先求出解集，令解集满足一定条件
解法:
消元法
1）代入消元法
用代入消元法的一般步骤是：
1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；
2.将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
3.解这个一元一次方程，求出x 或y 值；
4.将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；
5。

把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

[1]
例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③
把③代入②，得6(5-y)+13y=89
得y=59/7
把y=59/7代入③，得x=5-59/7
得x=-24/7
∴x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。

2）加减消元法
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。

用加减消元法解方程组的的第一种方法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解：①+②
得：2x=14
∴x=7
把x=7代入①
得：7+y=9
∴y=2
∴方程组的解是x=7
y=2
用加减消元法解方程组的的第二种方法
例：解方程组：
x+y=9①
x-y=5②
解：①+②
得：2x=14
∴x=7
①-②
得：2y=4
∴y=2
∴方程组的解是x=7
y=2
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction），简称加减法。

换元法
例2，（x+5)+(y-4)=8
（x+5)-(y-4)=4
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
m+n=8
m-n=4
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

设参数法
例3，x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t,y=4t
方程2可写为：5t+6*4t=29
29t=29
t=1
所以x=1,y=4
图像法
二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。

三种解编辑
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：
唯一解
如方程组x+y=5①
6x+13y=89②
x=-24/7
y=59/7 为方程组的解
有无数组解
如方程组x+y=6①
2x+2y=12②
因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

无解
如方程组x+y=4①
2x+2y=10②，
因为方程②化简后为
x+y=5
这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=c
dx+ey=f
当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

其它编辑
注意
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！不止限制于一种。

也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

重点：一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）
依据—等式性质
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c>0)
列方程（组）解应用题
一概述
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：
⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系
1．行程问题（匀速运动）
基本关系：s=vt
⑴相遇问题（同时出发）；
⑵追及问题（同时出发）；
⑶水中航行；
例：甲、乙两人在400m的环形跑道上同一起点同时背向起跑，25秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，则根据题意列方程组为___________________.
2．配料问题：溶质=溶液×浓度
溶液=溶质+溶剂
2、有两种药水，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现要配制浓度为70%的药水300千克，则需用浓度为60%的药水多少千克，需用浓度为90%的药水多少千克？
3．增长率问题
销售利润＝总产值－总支出 100-=
⨯总产值总支出销售利润率％总产值
【例】某工厂去年的利润为200万。

今年总产值比去年增加了20％，总支出比去年减少了10％，今年的利润为780万元。

去年的总产值、总支出各是多少万元？
解：设去年的总产值为x 万元，总支出y 万元。

则有
根据上表可列方程组 ⎧⎨⎩ 解得： x y =⎧⎨=⎩
1、某企业去年的总收入比总支出多500万元，今年的总收入比去年增加10％，总支出节约15％，因此总收入比总支出多800万元。

求去年的总收入和总支出。

2、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台，改进生产技术后，计划第二季度生产两种机器共544台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10％，乙种机器产量要比第一季度增产20％。

该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
3、革命老区百色的某个芒果种植基地，去年结余为500万元，估计今年可结余960万元，并且今年的收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入和支出各是多少万元？
4．工程问题
基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看成单位“1”）。

1、一个工人一天能生产100值螺栓或150只螺帽，一只螺栓要与2只螺帽配套，若有工人
42名，问怎样分配，才能使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套？
2、八年级A班同学50人，为参加学校举办的迎国庆文艺活动，做一批道具，每人每天平均做花18朵，面具16个，如果一个面具配两朵花，应分配多少学生做面具，多少学生做花，才能使面具和花刚好配套？
3、某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲零件12个或乙零件23个，应分配多少人生产甲零件，多少人生产乙零件，才能使每天生产的甲零件和乙零件刚好配套？（每3个甲零件和2个乙零件配成一套）
5．几何问题
常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

三注意语言与解析式的互化：
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系：
1、一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的3倍，将个位上的数字与十位上的数字对
调后所得的两位数比原来的两位数小18，求这个两位数。

区别一元二次方程编辑
1．定义及一般形式：
2．解法：⑴直接开平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左边=0）
3．根的判别式：
4．根与系数顶的关系：
逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。

5．常用等式：
⑵基本思想：
⑶基本解法：
①乘方法（注意技巧！！）
②换元法（例，）
⑷验根及方法：
知识梳理编辑
1．二元一次方程（组）及解的应用：注意：方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。

2．解二元一次方程组及二元一次不等式组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。

3．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。