点到直线的距离和两条平行直线间的距离

n
P2
y
m
P1
l
0
x
点到直线的距离
已知点P的坐标为（x0， y0），直线l 的方程 是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
则|PQ|为所求. 过点P做直线 l 垂线PQ， 解： 设直线l的法向量为 n ， Q( x1 , y1 ) ,
M
. . C
x
所求直线l ：x 3 y 5 0 或 x 1 . 综上所述：
例3 直线 l 过3 x 4 y 5 0 和 2 x 3 y 8 0 的交点，且与
解3：设直线 l 的方程为：
3 x 4 y 5 ( 2 x 3 y 8) 0
( A2 B2C2 0)
( A2 B2C2 0)
预备知识：方向向量和法向量 对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A≠0,B≠0)
如果向量 m 与直线l平行， 则称向量 m 为直线l的方向向量. A B (1 , k ) B (1 , ) ( B , A)，m ( B , A). 可表示为： B 如果向量 n 与直线l垂直， 则称向量 n 为直线l的法向量. 可表示为： n ( A , B).
A2 B 2 Ax0 By0 C . A B
由三角形面积公式可知：d· ∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣ 所以， d
Ax0 By0 C A2 B 2
.
可证，当A=0或B=0时，以上 公式仍适用。于是得到距离 公式：
d
Ax0 By0 C A2 B 2
注意：先把直线方程化为一般式，再用公式 .
y
d
Ax0 By0 C2
2 2
A B Ax0 By0 C1 0 Ax0 By0 C1
o P
x
d
| C 2 C1 | A2 B 2
注意：两直线的一次项系数完全相同， 若不同，需变成系数完全相同时再用.
点到直线的距离公式:
已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程 是Ax+B y +C=0，则点P到直线l 的距离为：
By0 C Ax0 C x1 , y2 . A B
By0 C Ax0 C x1 , y2 . A B 所以， Ax0 By0 C PR x0 x1 , A
Ax0 By0 C PS y0 y2 , B
RS PR 2 PS 2
解：
y
. . C
M
.
o
A
x
2k 3 k 2 k 1
2

4k 5 k 2 k2 1
1 即 3k 1 3k 3 解 得 ： k . 3 1 l：y 2 ( x 1) 即 x 3 y 5 0 . 3
.B
y
. . C
M
.
oLeabharlann Ad 2 3 7 0 8 2 2 ( 7 ) 2
o
P
x
14 14 53 . 53 53 2 2 ( 7 ) 2
68
想一想： 是否可以在直线2 x 7 y 6 0 上任取一点
P( x ， y ) 来求距离?
另解： 在直线 2 x 7 y 6 0 上任取一点 P( x0 ， y0 )
l 的距离．
分析1：要求 PQ 的长度
可以象上一个问题的解法一样， 利用两点的距离公式可以求 PQ 的长度．
这种解法好不好，为什么?
问题:
分析2：如果 PQ 垂直坐标
轴，则交点和距离都容易求出， 那么不妨做出与坐标轴垂直的线 段 PS 和 PR ，如图所示，显然 相对而言 PS 和 PR 好求一些．
点到直线的距离
已知点P的坐标为（x0， y0），直线l 的方程 是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
设A≠0，B≠0，这时l与x轴、 y轴都相交。过P 作x轴的平行线， 交l于点 R(x1, y0) ；作y轴的平行 线，交l于点 S(x0, y2). 由 A x1+B y0 +C=0 A x0+B y2 +C=0 得
( 2 3)2 (4 3 )2
5 4 即 | 3 13 || 15 3 | 解得 或 . 9 3
故所求直线 l ：x 3 y 5 0 或 x 1 .
5 的直线方程。 例4.与直线x 2 y 1 0 平行且距离为
解： 设与直线 x 2 y 1 0平行的直线 l：x 2 y C 0
解2：
x 1 3 x 4 y 5 0 解得： 由方程组 y 2 2 x 3 y 8 0 .B 两直线的交点为 C（ 1， 2 ）
A（ 2， 3 ），B（ 4 ， 5 ）两点的距离相等，求 直线 l 的方程。
y
. A ①当直线 l // 直线AB 时， 1 5 3 kl k AB o 3 4 2 1 l：y 2 ( x 1) 即 x 3 y 5 0 . 3 ②当直线 l 过线段AB的中点M(-1 ,4)时， l：x 1
x 1 3 x 4 y 5 0 解得： 由方程组 y 2 2 x 3 y 8 0 .B 两直线的交点为 C（ 1， 2 ）
设 l 方程为： y 2 k( x 1) 即 kx y (k 2) 0 则由题意
A（ 2， 3 ），B（ 4 ， 5 ）两点的距离相等，求 直线 l 的方程。
68
两平行线l1 : Ax By C1 0 ， 再想一想： l 2 : Ax By C 2 0 之间的距离 d ?
在直线l1 : Ax By C1 0 上任取一点 P( x0 ， y0 ) 证明：
则 P ( x0 ， y0 ) 到直线l 2 : Ax By C 2 0 的距离就是两平行线间 的距离.
d
Ax0 By0 C A2 B 2
平行线间的距离公式： 设两平行线 l1 : Ax By C1 0 ， l 2 : Ax By C 2 0 之间的距离为 d， 则d
y
l1
d
l2
| C 2 C1 | A2 B 2
o
x
练习： 1. 求原点到下列直线的距离: (1) 3 x 2 y 26 0 ; (2) x y.
∴ Q(3，4)
∴点P到直线 l 的距离为 | PQ | ( 3 1) 2 (4 2) 2 2 5 . 如果把问题一般化就有如下问题：
问题:
Px0，y0 和直线 已知：
Ax By C 0 l：
（ P 不在直线 直线
l
上，且 A 0，B 0 ），试求 P 点到
化为一般式:
-1 O C (-1,0)
3 x
x y4 0
h
| 1 0 4 | 12 12
1 5 S 2 2 5 2 2
例2 求平行直线 2x-7y +8=0和 2x-7y -6=0的距离。
在直线 2 x 7 y 6 0 上取一点 解：
y
P(3 ， 0)
则 P (3 ， 0) 到 直 线2 x 7 y 8 0 的距离就是两平行线的 间 距 离.
点到直线的距离和两条平行直线间的距离
问题： 0 已知点 P （-1，2）和直线 l：2 x y 10 ，
求点 P到直线
l 的距离．
解：设过点P和直线 l 垂直的直线PQ方程为 y
1 y 2 ( x 1) 2
PQ：x 2 y 5 0 .
Q P . O x
2 x y 10 0 x 3 解方程组 x 2y 5 0 y 4
即
A（ 2， 3 ），B（ 4 ， 5 ）两点的距离相等，求 直线 l 的方程。
(2 3) x (4 3 ) y 8 5 0
由已知得 | ( 2 3)2 (4 3 )3 8 5 |
2 2

( 2 3) (4 3 ) | ( 2 3)(4) (4 3 )5 8 5 |
A1x+B1 y +C1=0， A2x+B2 y +C2=0.
A1 B1 l1 、 l2 相交 方程组唯一解 A B 2 2 ( A B 0)
A1 B1 C1 l1 、 l2 重合 方程组无穷多解 A2 B2 C 2
2 2
A1 B1 C1 l1 、 l2 平行 方程组无解 A2 B2 C 2
x
又当l x 轴时， l：x 1 都是 3 . 此时A（ 2， 3 ） , B（ 4， 5 ）到l： x 1 的距离
故所求直线 l ：x 3 y 5 0 或 x 1 .
例3 直线 l 过3 x 4 y 5 0 和 2 x 3 y 8 0 的交点，且与
d
Ax0 By0 C A2 B 2
平行线间的距离公式： 设两平行线 l1 : Ax By C1 0 ， l 2 : Ax By C 2 0 之间的距离为 d， 则d
y
l1
d
l2
| C 2 C1 | A2 B 2
o
x
交 点 设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0，
3. 求下列两条平行线的距离:
(1) 2 x 3 y 8 0 ，2 x 3 y 18 0 ； (1) 2 13 ; (2) 3x 4 y 10 , 6 x 8 y 0. (2) 2 .
例3 直线 l 过3 x 4 y 5 0 和 2 x 3 y 8 0 的交点，且与
2. 求下列点到直线的距离:
(1) A( 2 ， 3) , 3 x 4 y 3 0 ; ( 2) B(1， 0) , 3 x y 3 0 ; ( 3) C (1， 2) , 4 x 3 y 0 .
(1) 2 13 ; (2) 0 .
9 (1) ； 5 ( 2) 0 ； 2 ( 3) . 5
则由两平行线间的距离 公式，有
| C ( 1) | 1 2
2 2
5 C 1 5 5
C 5 5 1或C 5 5 1
故所求直线 l：x 2 y 5 5 1 0或x 2 y 5 5 1 0
点到直线的距离公式:
已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程 是Ax+B y +C=0，则点P到直线l 的距离为：
则 P ( x0 ， y0 ) 到直线2 x 7 y 8 0 的距离就是两平行线间 的距离.
d 2 x 0 7 y0 8 2 ( 7 )
2 2
y
o P
x
2 x0 7 y0 6 0 2 x0 7 y0 6
d
14 14 53 . 53 53 2 2 ( 7 ) 2
10 2 5 5
解：设AB边上的高为h
1 S | AB | h 2
| AB | (3 1) 2 (1 3) 2 2 2
P107 :例6
y 3 2 1
A (1,3)
k AB
3 1 1 1 3
h
1 2
B (3,1)
AB的方程为:
y 3 1 ( x 1)
l2: A2x+B2 y +C2=0.
这两条直线是否有交点 方程组

A1x+B1 y +C1=0， 是否有唯一解。 A2x+B2 y +C2=0.
说明：若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交 ；
若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ； 若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 。
方程组：
例1 求点P0（-1, 2）到下列直线的距离 （1） 2 x+ y -10=0； （2） 3 x=2。
解：(1) 由点到直线的距离公式 ，得
d 2 ( 1) 2 10
2 2
2 1 2 ( 2) 直 线 x 平 行 于 y 轴 ， 3
2 5 d | ( 1) | 3 3