2-3分块矩阵及其运算
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λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
1 解 把 A, B 分块成 0 A = −1 1
0 1
0 0 0 0 2 1 0 1 0 1
E O = , 1 A E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
第三节、 第三节、分块矩阵及运算
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法 分块法， 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 A1 0 = A2 , 1 A3 b
即
A
A 1 = A2 A3
A = (a 1 0 0) 1
0 a 0 0 A2= 0 1 1 b
其中 Ai (i = 1,2, L s )
A1 都是方阵 , 那末称 A 为 O A2 分块对角矩阵 . A= , O O A = diag A1 , A2 ,L , As . As
(
)
A1 (6)设 A =
A2
o
, O As
a 0 A= 1 0 a 0 A= 1 0 1 a 0 1
1 a 0 1 0 0 b 1
0 0 b 1
0 0 A O 0 b 1 1 a 0 O B A = E B , 其中E = 1 0 b a 1 1 0 b
A3 = (0 1 1 b)
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 = 1 C3 b
C2 = (0 0)
C2 , C4
C1 = (a 1)
0 a C3 = 1 0 0 1
b 1 C4 = 1 b
1 0 4 2
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
1 −1 = −2 −1 0 4 4 1 1 0 3 3
A1 + B22 E
0 1 . 3 1
B 例2：设 A = 0
D , 其中 B 和 C 都是可逆方阵 , C
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
A11 (4 ) 设 A = M As1
L Ar 1 M , L Asr
T T A11 L As1 M . 则 AT = M AT L AT sr 1r
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
数k乘矩阵 AΒιβλιοθήκη 需k乘A的每个子块若A与 B相乘 , 需A的列的划分 与 B 的行的划分相一致
−1
证明A可逆, 并求A . 证 由B , C可逆, 有 A = B C ≠ 0, 得A可逆. X Z −1 B D X Z E 设 A = , 则 = W Y 0 C W Y 0 BX + DW = E , X = B −1 , BZ + DY = O , Y = C −1 , ⇒ ⇒ CW = O , Z = − B −1 DC −1 , CY = E . W = O.
二、分块矩阵的运算规则
(1 ) 设矩阵
A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用
L L A1 r B11 M , B = M B A sr s1 L L B1 r M B sr
相同的分块法 , 有
A11 A= M A s1
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
C 11 AB = M C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r M L C sr (i = 1 , L , s ; j = 1 , L , r ). L
其中 Aij与 Bij的行数相同 , 列数相同 , 那末
A11 + B 11 A+ B = M A +B s1 s1
L L
A1 r + B 1 r M . A sr + B sr
A11 L A1r (2 ) 设 A = M M , λ为数 , 那末 A L A s1 sr
o
若 Ai (i = 1, 2 , L , s )可逆 , 则 A 可逆 , 并有
A1−1 −1 A2 −1 A = . O −1 As
o
o
设 1 0 0 1 A= −1 2 1 1 求 AB .
例1
0 0 0 0 , 1 0 0 1
O −1 A2
1 0 0 5 = 0 1 − 1. 0 −2 3
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
因此 B −1 −1 A = O − B −1 DC −1 . −1 C
0 . E
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
−1 1
解
O , A2
1 A1 = (5 ), A = ; 5 1 − 1 −1 A2 = ; − 2 3
3 1 A2 = , 2 1
1 A = ; 5
−1 1
1 − 1 A = ; − 2 3
−1 2
A1−1 ∴ A −1 = O
0 b1 1 0 a 0 b2 0 a b1 = ),1 1 4 0 0 0 1 1 = ( A1 , A2 A3b24 A4((0 a A2b= b) 其中 3 3 = a 0 1 b 1 0 1 b 3 1 b b4 0 b
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
1 解 把 A, B 分块成 0 A = −1 1
0 1
0 0 0 0 2 1 0 1 0 1
E O = , 1 A E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
第三节、 第三节、分块矩阵及运算
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法 分块法， 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 A1 0 = A2 , 1 A3 b
即
A
A 1 = A2 A3
A = (a 1 0 0) 1
0 a 0 0 A2= 0 1 1 b
其中 Ai (i = 1,2, L s )
A1 都是方阵 , 那末称 A 为 O A2 分块对角矩阵 . A= , O O A = diag A1 , A2 ,L , As . As
(
)
A1 (6)设 A =
A2
o
, O As
a 0 A= 1 0 a 0 A= 1 0 1 a 0 1
1 a 0 1 0 0 b 1
0 0 b 1
0 0 A O 0 b 1 1 a 0 O B A = E B , 其中E = 1 0 b a 1 1 0 b
A3 = (0 1 1 b)
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 = 1 C3 b
C2 = (0 0)
C2 , C4
C1 = (a 1)
0 a C3 = 1 0 0 1
b 1 C4 = 1 b
1 0 4 2
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
1 −1 = −2 −1 0 4 4 1 1 0 3 3
A1 + B22 E
0 1 . 3 1
B 例2：设 A = 0
D , 其中 B 和 C 都是可逆方阵 , C
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
A11 (4 ) 设 A = M As1
L Ar 1 M , L Asr
T T A11 L As1 M . 则 AT = M AT L AT sr 1r
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
数k乘矩阵 AΒιβλιοθήκη 需k乘A的每个子块若A与 B相乘 , 需A的列的划分 与 B 的行的划分相一致
−1
证明A可逆, 并求A . 证 由B , C可逆, 有 A = B C ≠ 0, 得A可逆. X Z −1 B D X Z E 设 A = , 则 = W Y 0 C W Y 0 BX + DW = E , X = B −1 , BZ + DY = O , Y = C −1 , ⇒ ⇒ CW = O , Z = − B −1 DC −1 , CY = E . W = O.
二、分块矩阵的运算规则
(1 ) 设矩阵
A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , 采用
L L A1 r B11 M , B = M B A sr s1 L L B1 r M B sr
相同的分块法 , 有
A11 A= M A s1
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
C 11 AB = M C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r M L C sr (i = 1 , L , s ; j = 1 , L , r ). L
其中 Aij与 Bij的行数相同 , 列数相同 , 那末
A11 + B 11 A+ B = M A +B s1 s1
L L
A1 r + B 1 r M . A sr + B sr
A11 L A1r (2 ) 设 A = M M , λ为数 , 那末 A L A s1 sr
o
若 Ai (i = 1, 2 , L , s )可逆 , 则 A 可逆 , 并有
A1−1 −1 A2 −1 A = . O −1 As
o
o
设 1 0 0 1 A= −1 2 1 1 求 AB .
例1
0 0 0 0 , 1 0 0 1
O −1 A2
1 0 0 5 = 0 1 − 1. 0 −2 3
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
因此 B −1 −1 A = O − B −1 DC −1 . −1 C
0 . E
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
−1 1
解
O , A2
1 A1 = (5 ), A = ; 5 1 − 1 −1 A2 = ; − 2 3
3 1 A2 = , 2 1
1 A = ; 5
−1 1
1 − 1 A = ; − 2 3
−1 2
A1−1 ∴ A −1 = O
0 b1 1 0 a 0 b2 0 a b1 = ),1 1 4 0 0 0 1 1 = ( A1 , A2 A3b24 A4((0 a A2b= b) 其中 3 3 = a 0 1 b 1 0 1 b 3 1 b b4 0 b