高中数学(人教B版)直线上向量的坐标及其运算
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OM 2 (OA OB)
M(x), A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
取 |a| = 1，也就是 a 为单位向量时，则 |λ| = |b| ，|μ| = |c|.
l
b
a
c
一.直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ，由共线向 量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存 在唯一的实数x，使得 a = xe，此时，x 称为向量 a 的坐标.
直线上向量的坐标及其运算
高一年级 数学
知识概要
一.直线上向量的坐标 二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解 四.课堂小结
复习
向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即 AA= 0. 单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.
交换律 结合律 分配律
AB | AB | AB OB OA
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
l B
b
a
c
OAC
D
由共线向量基本定理知， 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b= λa；
c // a，则存在唯一的实数μ，使得 c= μa.
l
b
a
c
其中，| | | b | ，且向量 a 与向量 b 方向相反，则λ<0；
|a|
|， |且 ||向ac || 量 a 与向量 c 方向相同，则μ>0.
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系： a + b = x1e x2e = ( x1 x2)e， 所以a + b 的坐标是 x1 x2 .
直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
如果 u,v是两个实数， 那么 ua + vb = u(x1e) v(x2e)
= (ux1)e (vx2 )e = (ux1 vx2 )e 所以ua + vb的坐标是 ux1 vx2 .
点O，原点O对应的数0就是零向量的坐标. 因此，直线上零向量的坐标为0.
e
O1
x
为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是 默认已经按照上述方式指定了单位向量 e ，并建立了数 轴；而且谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向 同向的单位向量 e.
此时：如果数轴上一点A对应的数为 x (记为A(x)，也称 点A的坐标为 x) ，那么向量 OA 对应的坐标为 x；
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB | AB |
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB | AB | AB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB | AB | AB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的 中点坐标公式
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
OM OA OB OM 1
OM 2 (OA OB)
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
OM OA OB OM 1
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
OM OA OB OM
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
a
e
l A
O1
x
直线上向量的坐标的直观理解 :
在直线 l 上指定一点O作为原点，以 e 的方向为正方向，e 的
模为单位长度建立数轴，对于 l 上的任意一个向量a，如果
我们把它的始点平移到原点O，那么 a 的终点对应的数就是
向量 a 的坐标.
a
e
l A
O1
x
思考：定义中直线上单位向量 e 的坐标是多少？
(
x1e
+
x2e)
=
1 2
(
x1
x2 )e，
又因为OM
xe ，因此，x
x1
2
x2
.
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的 中点坐标公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点， 设M(x)是线段AB的中点
AM MB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的 中点坐标公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点， 设M(x)是线段AB的中点
向量的加法 abba (a b) c a (b c)
数乘向量
(a) ()a (a) ( )a a a (a b) a b
共线向量基本定理: 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b=λa.
向量b
任意
一一对应
实数λ
确定
共线向量基本定理: 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b=λa.
a
b
O1
x
解：因为 a 的始点在原点， 因此由 a 的终点坐标可知 a 的坐标为2.
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
a
b
O1
Hale Waihona Puke x解：因为 b = – 3e ， 所以 b 的坐标为– 3.
二. 直线上向量的运算与坐标的关系 思考：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算 与它们对应的坐标之间有什么关系？ 假设直线上两个向量a,b的坐标分别为 x1, x2 即 a x1e ，b x2e .
反之，如果向量 OA 对应的坐标为 x，那么数轴上一点 A对应的数为 x，也就是点A的坐标为 x.
求直线上向量的坐标的两种方法： (1) 将向量用单位向量表示出来； (2) 将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
a
b
O1
x
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
反之，当 x1 x2 时，有x1 x2 = 0， 则 ( x1 x2)e = 0， 即 x1e x2e，所以 a = b.
直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系：
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系： a + b = x1e x2e = ( x1 x2)e， 所以a + b 的坐标是 x1 x2 .
e
O1
x
思考：定义中直线上单位向量 e 的坐标是多少？
分析：因为e 是单位向量，所以| e |=1， 且以 e 的方向为正方向，则 x >0， 所以 x =1. 所以直线上单位向量 e 的坐标为1.
e
O1
x
思考：如何求出直线上零向量的坐标.
e
O1
x
思考：如何求出直线上零向量的坐标.
分析：因为零向量是始点和终点相同的向量， 将零向量的始点平移到原点O，那么零向量的终点也是原
1 2
(
x1e
+
x2e)
=
1 2
(
x1
x2 )e，
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
1 2
l
e
a
对直线上向量a 的坐标为 x 的理解:
(1) | a | =| xe | =| x || e |=| x | ；
(2) 当 x > 0时，a 的方向与 e 的方向相同； 当 x = 0时，a 是零向量； 当 x < 0时，a 的方向与 e 的方向相反.
对直线上向量a 的坐标为 x 的理解:
5
例2. 已知直线上向量 a 的坐标为–2，b的坐标为5，求下列
向量的坐标：(1) a + b ； (2) 1 b ； (3) –2a –3b . 5
解：(1) a + b 的坐标为 –2+5=3；
(2) 1 b 的坐标为 1 5 1 ；
5
5
(3) –2a –3b的坐标为 (2) (2) 35 11.
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
AB | AB | AB OA ,OB A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e .
所以 AB | AB || x2 x1 | ，向量AB 的坐标为x2 x1.
l
e
a
按照定义，如图可知， | a | = 4，向量a 与单位向量 e 的方向
相反，则向量 a 的坐标为 – 4 . 在直线 l 上指定一点O作为原点，e 的方向为正方向，e 的模 为单位长度建立数轴，将向量a 的始点平移到原点O，得到 向量 OA= a. 这时，A点的坐标与向量 a 的坐标相同.
反之，当 x1 x2 时，有x1 x2 = 0， 则 ( x1 x2)e = 0， 即 x1e x2e，所以 a = b.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
确定实数λ 的方法是:
(1)
| |
|b|；
|a|
(2) λ 的正负由a和b 的方向决定，
a和b 的方向相同，则λ>0； a和b 的方向相反，则λ<0.
特别说明:
本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量. 我们约定，直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的 向量.
B
OAC
D
也就是说，给定一条直线 l，记OA= a，OB = b，CD = c，则 必有向量 a,b,c 为共线向量.
如果 u,v是两个实数， 那么 ua –vb = u(x1e) v(x2e)
= (ux1)e (vx2 )e = (ux1 vx2 )e 所以ua – vb的坐标是 ux1 vx2 .
例2. 已知直线上向量 a 的坐标为–2，b的坐标为5，求下列 向量的坐标：(1) a + b ； (2) 1 b ； (3) –2a –3b .
(1) | a | =| xe | =| x || e |=| x | ；
(2) 当 x > 0时，a 的方向与 e 的方向相同； 当 x = 0时，a 是零向量； 当 x < 0时，a 的方向与 e 的方向相反.
也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全 被其坐标确定.
按照定义，如图可知， | a | = 4，向量a 与单位向量 e 的方向 相反，则向量 a 的坐标为 – 4.
M(x), A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
取 |a| = 1，也就是 a 为单位向量时，则 |λ| = |b| ，|μ| = |c|.
l
b
a
c
一.直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ，由共线向 量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存 在唯一的实数x，使得 a = xe，此时，x 称为向量 a 的坐标.
直线上向量的坐标及其运算
高一年级 数学
知识概要
一.直线上向量的坐标 二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解 四.课堂小结
复习
向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即 AA= 0. 单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.
交换律 结合律 分配律
AB | AB | AB OB OA
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
l B
b
a
c
OAC
D
由共线向量基本定理知， 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b= λa；
c // a，则存在唯一的实数μ，使得 c= μa.
l
b
a
c
其中，| | | b | ，且向量 a 与向量 b 方向相反，则λ<0；
|a|
|， |且 ||向ac || 量 a 与向量 c 方向相同，则μ>0.
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系： a + b = x1e x2e = ( x1 x2)e， 所以a + b 的坐标是 x1 x2 .
直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
如果 u,v是两个实数， 那么 ua + vb = u(x1e) v(x2e)
= (ux1)e (vx2 )e = (ux1 vx2 )e 所以ua + vb的坐标是 ux1 vx2 .
点O，原点O对应的数0就是零向量的坐标. 因此，直线上零向量的坐标为0.
e
O1
x
为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是 默认已经按照上述方式指定了单位向量 e ，并建立了数 轴；而且谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向 同向的单位向量 e.
此时：如果数轴上一点A对应的数为 x (记为A(x)，也称 点A的坐标为 x) ，那么向量 OA 对应的坐标为 x；
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB | AB |
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB | AB | AB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AB | AB | AB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的 中点坐标公式
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
OM OA OB OM 1
OM 2 (OA OB)
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
OM OA OB OM 1
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设M(x)是线段AB的中点
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，
AM MB
OM OA OB OM
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
a
e
l A
O1
x
直线上向量的坐标的直观理解 :
在直线 l 上指定一点O作为原点，以 e 的方向为正方向，e 的
模为单位长度建立数轴，对于 l 上的任意一个向量a，如果
我们把它的始点平移到原点O，那么 a 的终点对应的数就是
向量 a 的坐标.
a
e
l A
O1
x
思考：定义中直线上单位向量 e 的坐标是多少？
(
x1e
+
x2e)
=
1 2
(
x1
x2 )e，
又因为OM
xe ，因此，x
x1
2
x2
.
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的 中点坐标公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点， 设M(x)是线段AB的中点
AM MB
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的 中点坐标公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点， 设M(x)是线段AB的中点
向量的加法 abba (a b) c a (b c)
数乘向量
(a) ()a (a) ( )a a a (a b) a b
共线向量基本定理: 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b=λa.
向量b
任意
一一对应
实数λ
确定
共线向量基本定理: 如果a 0且b // a，则存在唯一的实数λ，使得 b=λa.
a
b
O1
x
解：因为 a 的始点在原点， 因此由 a 的终点坐标可知 a 的坐标为2.
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
a
b
O1
Hale Waihona Puke x解：因为 b = – 3e ， 所以 b 的坐标为– 3.
二. 直线上向量的运算与坐标的关系 思考：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算 与它们对应的坐标之间有什么关系？ 假设直线上两个向量a,b的坐标分别为 x1, x2 即 a x1e ，b x2e .
反之，如果向量 OA 对应的坐标为 x，那么数轴上一点 A对应的数为 x，也就是点A的坐标为 x.
求直线上向量的坐标的两种方法： (1) 将向量用单位向量表示出来； (2) 将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
a
b
O1
x
例1. 如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.
反之，当 x1 x2 时，有x1 x2 = 0， 则 ( x1 x2)e = 0， 即 x1e x2e，所以 a = b.
直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系：
2. 向量的运算与它们对应的坐标之间的关系： a + b = x1e x2e = ( x1 x2)e， 所以a + b 的坐标是 x1 x2 .
e
O1
x
思考：定义中直线上单位向量 e 的坐标是多少？
分析：因为e 是单位向量，所以| e |=1， 且以 e 的方向为正方向，则 x >0， 所以 x =1. 所以直线上单位向量 e 的坐标为1.
e
O1
x
思考：如何求出直线上零向量的坐标.
e
O1
x
思考：如何求出直线上零向量的坐标.
分析：因为零向量是始点和终点相同的向量， 将零向量的始点平移到原点O，那么零向量的终点也是原
1 2
(
x1e
+
x2e)
=
1 2
(
x1
x2 )e，
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
1 2
l
e
a
对直线上向量a 的坐标为 x 的理解:
(1) | a | =| xe | =| x || e |=| x | ；
(2) 当 x > 0时，a 的方向与 e 的方向相同； 当 x = 0时，a 是零向量； 当 x < 0时，a 的方向与 e 的方向相反.
对直线上向量a 的坐标为 x 的理解:
5
例2. 已知直线上向量 a 的坐标为–2，b的坐标为5，求下列
向量的坐标：(1) a + b ； (2) 1 b ； (3) –2a –3b . 5
解：(1) a + b 的坐标为 –2+5=3；
(2) 1 b 的坐标为 1 5 1 ；
5
5
(3) –2a –3b的坐标为 (2) (2) 35 11.
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
AB | AB | AB OA ,OB A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e .
所以 AB | AB || x2 x1 | ，向量AB 的坐标为x2 x1.
l
e
a
按照定义，如图可知， | a | = 4，向量a 与单位向量 e 的方向
相反，则向量 a 的坐标为 – 4 . 在直线 l 上指定一点O作为原点，e 的方向为正方向，e 的模 为单位长度建立数轴，将向量a 的始点平移到原点O，得到 向量 OA= a. 这时，A点的坐标与向量 a 的坐标相同.
反之，当 x1 x2 时，有x1 x2 = 0， 则 ( x1 x2)e = 0， 即 x1e x2e，所以 a = b.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
确定实数λ 的方法是:
(1)
| |
|b|；
|a|
(2) λ 的正负由a和b 的方向决定，
a和b 的方向相同，则λ>0； a和b 的方向相反，则λ<0.
特别说明:
本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量. 我们约定，直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的 向量.
B
OAC
D
也就是说，给定一条直线 l，记OA= a，OB = b，CD = c，则 必有向量 a,b,c 为共线向量.
如果 u,v是两个实数， 那么 ua –vb = u(x1e) v(x2e)
= (ux1)e (vx2 )e = (ux1 vx2 )e 所以ua – vb的坐标是 ux1 vx2 .
例2. 已知直线上向量 a 的坐标为–2，b的坐标为5，求下列 向量的坐标：(1) a + b ； (2) 1 b ； (3) –2a –3b .
(1) | a | =| xe | =| x || e |=| x | ；
(2) 当 x > 0时，a 的方向与 e 的方向相同； 当 x = 0时，a 是零向量； 当 x < 0时，a 的方向与 e 的方向相反.
也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全 被其坐标确定.
按照定义，如图可知， | a | = 4，向量a 与单位向量 e 的方向 相反，则向量 a 的坐标为 – 4.