多自由度系统振动

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
4.3 固有频率和主振型
作用力方程：
X ∈ Rn
&& + KX = P (t ) MX
&& + KX = 0 MX
M、K ∈ R n×n
固有振动方程 或自由振动方程：
P (t ) ∈ R n
同步振动： 系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律 都相同的运动。 假设系统的运动为：
⎡2k − mω ⎢ ⎣ −k
2
−k ⎥⎢ ⎥ 3k − 2mω 2 ⎦ ⎣φ 2 ⎦
2 −α −1
m
⎢0⎥ ⎣ ⎦
⎡2 − α ⎢ −1 ⎣
− 1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 3 − 2α ⎦ ⎣φ 2 ⎦ ⎣0⎦
α1 = 1, α 2 = 2.5
特征方程：
−1 = 2α 2 − 7α + 5 = 0 3 − 2α
对于半正定系统，有 ω ≥ 0
4
对于正定系统必有 ω > 0
2006年5月4日 《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
& f&(t ) φT Kφ − = T = λ = ω2 f (t ) φ Mφ
& f&(t ) + ω 2 f (t ) = 0
ϕ 为常数 a、b、（1）正定系统 Nhomakorabea6
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
k11 − ω 2 m11 k 21 − ω 2 m21 M k n1 − ω 2 mn1
k12 − ω 2 m12 k 22 − ω 2 m22 M k n 2 − ω 2 mn 2
L k1n − ω 2 m1n L k 2 n − ω 2 m2 n =0 O M L k nn − ω 2 mnn
ω 特征值（固有频率）
n 自由度系统：
φ 特征向量（振型或模态）
ωi
一一对应
i =1~ n
φ(i )
⎡φ1( i ) ⎤ ⎢ ⎥ φ(i ) = ⎢ M ⎥ ∈ R n×1 ⎢φn( i ) ⎥ ⎣ ⎦
ωi、φ(i ) 代入，有：
2006年5月4日 《振动力学》
( K − ωi2 M ) φ(i ) = 0
T
X =φf (t )
X ∈ Rn
φ∈ Rn
φT Mφ& f&(t ) +φT Kφf (t ) = 0
& f&(t ) φT Kφ − = T = λ = ω2 f (t ) φ Mφ
λ ：常数
M 正定，K 正定或半正定
对于非零列向量φ： φT Mφ > 0 令：
φT Kφ ≥ 0
λ = ω2
ω≥0
ω 2 n + a1ω 2 ( n −1) + L + a n −1ω 2 + a n = 0 频率方程
解出 n 个值，按升序排列为：
2 2 0 < ω12 ≤ ω 2 ≤ L ≤ ωn
或特征多项式
ω i ：第 i 阶固有频率
2006年5月4日 《振动力学》
ω1 ：基频
7
仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数
⎧ f (t ) = a sin(ωt + ϕ ), ⎨ ⎩ f (t ) = at + b, 主振动
ω>0 ω=0
只可能出现形如 X =φa sin(ω t + ϕ )的同步运动 系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动 （2）半正定系统 可能出现形如 X =φa sin(ω t + ϕ )的同步运动 也可能出现形如 X =φ(at + b) 的同步运动 （不发生弹性变形 ）
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
采用位移方程求解固有频率 位移方程：
&& + X = FP (t ) FMX
X ∈ Rn
F = K −1 柔度矩阵
&& + X = 0 自由振动的位移方程： FMX
主振动： 代入，得： 解释：
X =φ sin(ω t + ϕ )
( FM − λI ) φ= 0
（2）
将 α ＝α 2＝2. 5代入
2006年5月4日 《振动力学》
φ2 = 1
φ1＝ − 2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
第一阶主振型：
⎡1⎤ φ ＝⎢ ⎥ ⎣1⎦
（ 1 ）
（2）
k
m
x1
k
2m
x2 2k
⎡ − 2⎤ 第二阶主振型： φ ＝⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦
画图：以横坐标表示静平衡位 置，纵坐标表示主振型中各元 素的值 第一阶主振动，两个质量在静平 衡位置的同侧，做着同向运动。 而做第二阶主振动时，两质量在 平衡位置的异侧，做着异向运动。
2006年5月4日 《振动力学》 18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
&& + KX = 0 正定系统： MX
(i ) T X (i ) = [ x1(i ) L xn ]
X ∈ Rn
M、K ∈ R n×n
第 i 阶主振动 ： X (i ) =φ(i ) ai sin(ωi t + ϕi )
i =1~ n
φ(i ) = [φ1(i ) L φn(i ) ]T
系统的固有振动：
X (t ) =φ(1) a1 sin(ω1 + ϕ1 ) +φ( 2 ) a2 sin(ω2t + ϕ 2 ) + … +φ( n ) an sin(ωnt + ϕ n ) = ∑φ(i ) ai sin(ωi t + ϕi )
φ有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零
K −ω2M = 0
特征方程
k11 − ω 2 m11 k 21 − ω 2 m21 M 2006年5月4日 2 k ω mn1 − 《振动力学》 n1
k12 − ω 2 m12 k 22 − ω 2 m22 M k n 2 − ω 2 mn 2
L k1n − ω 2 m1n L k 2 n − ω 2 m2 n =0 O M L k nn − ω 2 mnn
2006年5月4日
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
&& + KX = 0 正定系统： MX
主振动： X =φa sin(ω t + ϕ ) 将常数 a 并入φ 中
X ∈R
ω >0
n
M 正定，K 正定
φ = [φ1 φ2 L φn ]T
X =φ sin(ω t + ϕ )
2 φ=0 代入振动方程： ( K − ω M )
21
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
&1 ⎤ ⎡ 2k x ⎡m 0 ⎤ ⎡ & +⎢ ⎥ ⎢ 0 2m ⎥ ⎢ & & ⎣ ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣ − k
− k ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 3k ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦
2 = α ω 令 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ k =
X =φ f (t )
常数列向量 运动规律的时间函数
2006年5月4日 《振动力学》
X ∈ Rn φ∈ Rn f (t ) ∈ R1
3
X = [ x1
x2 L xn ]T
φ = [φ1 φ2 L φn ]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
&& + KX = 0 MX
代入，并左乘 φ ：
2 φ=0 特征值问题： ( K − ω M )
X ∈ Rn
记为 B
M、K ∈ R n×n
特征矩阵
(i ) 应的主振型 φ
或 B(ω )
2 ω 当 i 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 adjB 求得相
根据逆矩阵定义 ： 两边左乘 B B ：
1 B = adjB B
−1
B I = BadjB
α1 = 1, α 2 = 3, α 3 = 4
ω1 = k / m , ω2 = 1.732 k / m , ω3 = 2 k / m
本题中α1、α 2、α 3 都是单根
⎡3 − α adj ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0 −1 2 −α −1
1
1
无节点
1 2
一个节点
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：求固有频率和主振型
x1 2k m k x2 m k m x3 2k
解：
&1 ⎤ ⎡ 3k x ⎡m 0 0 ⎤ ⎡ & ⎢ 0 m 0 ⎥ ⎢& &2 ⎥ + ⎢− k x ⎥⎢ ⎥ ⎢ 动力学方程： ⎢ ⎢ &3 ⎥ x ⎣ 0 0 m⎥ ⎦⎢ ⎣& ⎦ ⎢ ⎣0 −k − 2k −k 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ −k ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ − 3k ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
L φ
(i ) T n 20
]
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：求固有频率和主振型
k
m
x1
k
2m
x2 2k
解：
动力学方程：
&1 ⎤ ⎡ 2k x ⎡m 0 ⎤ ⎡ & +⎢ ⎥ ⎢ 0 2m ⎥ ⎢ & &2 ⎦ ⎣− k ⎣ ⎦⎣x − k ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ =⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 3k ⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦
为求主振型，先将 α = α 1 = 1 代入 ：
⎧φ1 − φ2 = 0 ⎨ ⎩− φ1 + φ2 = 0
一个独立 令 则 令 则
ω1 =
k k , ω2 = 1.581 m m
（ 1 ）
φ2 = 1
φ1＝1
⎡1⎤ 第一阶主振型：φ ＝⎢ ⎥ ⎣1⎦
⎡ − 2⎤ φ ＝⎢ ⎥ 第二阶主振型： ⎣ 122⎦
i =1 n
ai , ϕi (i = 1 ~ n)： 初始条件决定
模态叠加法
n个主振动的叠加
由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动 一般不是简谐振动，甚至不是周期振动
2006年5月4日 《振动力学》 19
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
&& + KX = 0 正定系统： MX
φ = [φ1 φ2 L φn ]T
λ 特征值
λ = 1/ ω 2
？
(K − ω M ) φ=0
2
K φ = ω Mφ
2
1
ω2
Iφ = K −1 Mφ 1 I) φ=0
8
λ = 1/ ω 2
2006年5月4日 《振动力学》
( FM −
ω
2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
φ=0 特征值问题： ( K − ω 2 M )
当 ω = ω i 时 ： B (ωi )adjB (ωi ) = 0
或
( K − ωi M )adjB (ωi ) = 0
2
adjB (ω i ) 的任一非零列都是第 i 阶主振动 φ( i )
2006年5月4日 《振动力学》
( K − ωi2 M ) φ(i ) = 0
φ = [φ
(i )
(i ) 1
2 ( K − ω M) φ=0 或直接用
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ 令主振动： ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎣ x 2 ⎦ ⎣φ 2 ⎦
⎡2k − mω 2 得： ⎢ −k ⎣ 2006年5月4日
《振动力学》
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ −k =⎢ ⎥ ⎥ 2 ⎥⎢ 3k − 2mω ⎦ ⎣φ 2 ⎦ ⎣0⎦
11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
第 i 阶主振动 ：
X (i ) =φ(i ) ai sin(ωi t + ϕi )
(i ) T X (i ) = [ x1(i ) L xn ]
φ(i ) = [φ1(i ) L φn(i ) ]T
比值：
φ
x1( i )
(i ) 1
=
φ
(i ) x2 (i ) 2