轨迹与方程学习.pptx

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z
θM
R
y
Q
P
中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为
x r sin cos
y
r
s in
sin
(5)
z r cos
（4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。
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例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
r=OM=OQ+QP+PM
称为曲线的坐标式参数方程。
O
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A
P(x(t),y(t))
r(a)
r(t)
B
r(b)
x
5、直线的方程
已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线l的方程。
解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0， 则点M在l上的充要条件为矢量M0M与v共线，即
当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢
z
OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
S
o x
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M y
2、曲面的矢量式参数方程
定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在 这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢， 而这径矢可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2）完全决 定，则称（2）式为曲面的矢量式参数方程，其中u,v为 参数。
z F (x, y, z) = 0
S
(2) 不在S上点的坐标都不
o
满足方程F (x, y, z) =0;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图 形.
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例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分 面的方程。
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二、曲面的参数方程 1、双参数矢函数 在两个变数u,v的变动区域内定义的函数
r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)
称为双参数矢函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢 r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。
球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
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M
R M0
例 4 求与原点O 及M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2的点的全
体所组成的曲面方程.
解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有
| MO | 1 ,
| MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
表示的径矢r(t)
的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意
点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某
一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的矢量式参数方程，其中t 为参数。
4、坐标式参数方程
曲线 的参数方程常可以写成下列形式：
x x(t)
y
y
y(t)
(a t b)
r=OM=OQ+QP+PM
x
且 PM=(rcosθ)k
QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin )j
OQ=(|OP|cos )i=(rsinθcos )i 所以
r=(rsinθcos )i +(rsinθsin )j+ (rcosθ)k (4)
此即为中心在原点，半径为r的球面的矢量式参数方程。
注2：直线的方向矢量： 与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。
（3）：直线的对称式方程
由直线的参数方程（2）中消去参数t可得：
对称式方程
x x0 y y0
X
Y
（4）直线的一般方程和点法式方程
将对称式方程改写为
Ax+By+c=0
(3)
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其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(3)称为直线 的一般方程。
z
l
oo
y
x M(x, y, 0)
平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.
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2、 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移 动直线 L 形成的轨迹叫做柱面.
反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则 Ax0+By0+c=0
故（3）可改写为
A(x-x0)+B(y-y0)=0
（4）
或
x x0 y y0
B
A
可见系数A，B的几何意义是：
矢量q={B,-A}是直线（3）的一个方向矢量，而矢 量p={A,B}垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我 们称p={A,B}为直线（3）的法矢量，而方程（4）称 为直线的点法式方程。
M0M=tv
(t为随M而定的实数）
又因为 所以
M0M=r-r0 r-r0=tv
故得l的
（1）矢量式参数方程为 r=r0+tv (＜t＜+)
（2）矢量式参数方程为
x
y
x0 y0
Xt Yt
(2)
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注1：参数t的几何意义： 当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。 事实上，|MM0|=|tv|=|t|
y
xy=2
o
x
1、矢性函数
当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢 称为变矢，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的矢性函数，记为r=r(t) (atb).
2、矢性函数的分量表示
而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk
所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）
此即为圆柱面的矢量式参数方程。
其坐标式参数方程为
x R cos
y
ห้องสมุดไป่ตู้
R
sin
(7)
z u
（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是
-＜，-＜u＜+
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z
rM
Q oo
例6 方程 z ( x 1)2 的(图y形是2怎)样2 的？1
解 根据题意有
z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
y
t
sin
t
arc
sint
注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。
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第二节 曲面的方程
一、. 定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:
(1) S上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0;
y
x
P
第三节 母线平行于坐标轴的柱面
1、引例: 考虑方程x2 + y2 = R2所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示 以原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线L沿xoy面上的 圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线.
|y|=|x|
即
X+y=0 与 x-y=0
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例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程.
解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即
(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1) 称方程(1)为球面的标准方程. 特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时,
A1A2 B1B2 A12 B12 A22 B22
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例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。
解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点， 经过一段时间的滚 动， 圆与直线的切点移 到 A 点，圆心的位置移 到C点，这时有
y
设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则矢性函数可 表示为
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).
（1）
其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。
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3、矢量式参数方程
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).
若取(atb)的一切可能值，由（1）
3、曲面的坐标式参数方程
因为径矢r(u,v)的分量为{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面 的参数方程也常写成
x x(u, v)
y
y(u, v)
(3)
z z(u, v)
表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。
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例5 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。
解：设M(x,y,z)是球面上任一点， M在xOy 坐标面上的射影为P，而 P在x轴上的射影为Q，又设在坐标 面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与 OM的交角zOM=θ，则
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例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a>0) 为参数方程。 解：设y=tx，代入可得参数方程
x
2at 2 1 t2
y
2at3 1 t2
( t )
注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如
x et t lg t 2
所求方程为
x
22
y
12
z
42
116 .
3
3 9
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例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面? 解: 原方程可改写为 (x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 5的球面.
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二、曲线的矢量式方程
例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。
解：矢量式方程
|OM|=R
普通方程
x2+y2=R2
例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。
解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4
化为普通方程为
xy=2 (x+y2)
故曲线为
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从而点P的矢量式参数方程为
r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜θ＜+）
其坐标式参数方程为 这种曲线称为旋轮线或摆线。
x a( sin )
y
a(1
cos
)
( )
y x
O
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例5 已知大圆的半径为a，小圆的半径为大圆半径的 四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线，求四尖 星形线的方程。
解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为
|AM|=|BM| 用两点间的距离公式代入并化简可得：
2x-6y+2z-7=0
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是
解（略） 参数方程为
x a cos3
y
a
s in 3
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七 曲线的参数方程 例6 把椭圆的普通方程式
化为ax参22数方程by。22 1
法一
x a cos
y
b
sin
( )
法二
设y=tx+b,代入原方程得
解得
x 0, x 2a2bt
b2 a2t 2
x2 a2
(tx b)2 b2
Pa C
r
θa
x
r=OP=OA+AC+CP
O
设θ=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成的有向角为
(i,CP) ( )
2
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则 CP ia cos( ) ja sin( )
2
2
又因为
(a sin )i (a cos )j
︵
|OA|=AP=aθ，
所以 OA=aθi, AC=aj
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6、两条直线相关位置的判定 给定两条直线
l1: A1x+B1y+C1=0 l2: A2x+B2y+C2=0
则
(1)
l1与l2相交
A1 A2
B1 B2
(2)
l1 || l2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
(3)
l1与l2重合
A1 A2
B1 B2
C1 C2
（4）两直线的交角
cos(l1,l2)
1
在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取
x
2a b2
2bt a2t
2
从而
y
b(b2 a2t 2 ) b2 a2t 2
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在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为
x
2a2bu b2 a2u2
y
b(b2 a2u2 b2 a2u2
)
( u )
注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t→时的交点。