函数导数习题(含答案)

函数、导数部分
1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}
2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为 1或0
2、将函数()x
x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图
象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为
()11log 2--=x y
3、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ B ）
A. ⎪⎭
⎫
⎝⎛23,2ππ B. ()ππ2, C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,23ππ D. ()ππ3,2
4、设()x x x f s i n =，1x 、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（D ）
A. 1x ＞2x
B. 1x +2x ＞0
C. 1x ＜2x
D. 2
1x ＞2
2x 5、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ A ） 6、方程0122
=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是 a ≤ 1 7、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1
-=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是 C
8、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=34812
3
的图象关于原点中心对称，则()x f （B ）
A. 在[]34,34-上为增函数 C. 在[)+∞,34上为增函数，在(]
34,-∞-上为减函数
B. 在[]34,34-上为减函数 D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数 9、设(){}12,2
++==bx x y y x M ，()(){}b x a y y x P +==2,，(){}φ==P M b a S ,，
则S 的面积是π
10、已知()()
x x x f a a log log 2
+-=对任意⎪⎭
⎫
⎝⎛∈21,
0x 都有意义，则实数a 的取值范围是1,116⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
11、函数432
--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--
4,425，则实数m 的取值范围是 3,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
12、函数()cox x xcox
x f ++=
sin 1sin 的值域是121,11,22⎡⎤⎛⎤
---- ⎢⎥⎥ ⎣⎦⎝
⎦. 13、对于任意实数x 、y ，定义运算x *y 为：x *y =cxy by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，则m =__________4_____. 14、若函数())4(log -+
=x
a
x x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是04a <≤或1a ≠.
15、若曲线()2
1a x y --=与2+=x y 有且只有一个公共点P ，O 为坐标原点，则
OP 的取值范围是
2⎤⎦.
16、若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足
()()()[]n x f x f x f n ++211
≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，
则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的
17、二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 [2,4]
18.已知函数)(x f y =的图象与函数x
a y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，
记]1)2(2)()[()(-+=f x f x f x g ．若)(x g y =在区间]2,2
1[上是增函数，则实数a 的取值范围是（ D ）
A ．),2[+∞
B ．)2,1()1,0(
C ．)1,21[
D ．]2
1,0( 19、设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )
（Ⅱ）求g (a )
（Ⅲ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a
解析：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

（Ⅰ）令t =要使有t 意义，必须1+x ≥0且1-x ≥0，即-1≤x ≤1,
∴22[2,4],t =+t ≥0 ①
t 的取值范围是2].2
112
t =
-
∴m(t)=a(
2112t -)+t=21
,2
at t a t +-∈
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数2
1(),2]2
m t at t a t =+-∈的最大值。

注意到直线1t a =-是抛物线2
1()2
m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论。

（1）当a>0时，函数y=m(t), 2]t ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，
由1
t a
=-
<0知m(t)在2].上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时，m(t)=t, 2]t ∈,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), 2]t ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，
若1
t a
=-
∈，即2a ≤-则()g a m ==
若1t a =-
∈，即122a -<≤-则11()()2g a m a a a
=-=--
若1(2,)t a =-
∈+∞，即1
02
a -<<则()(2)2g a m a ==+
综上有2,1(),2a g a a a ⎧+⎪
⎪
=--⎨
1
2
1,222
a a a >-
-
<<-≤-
(III)解法一： 情形1：当2a <-时
112a >-
，此时()g a =11
()2g a a
=+
由1212
a a +
==--a<-2矛盾。

情形2
：当2a -≤<
1122a -
<≤-
时，此时()g a =11()2
a
g a a =--
12
a
a =--解得，
a =
a <
情形3
：当,2a ≤≤
-
12a ≤-
时，此时1
()()g a g a
==
所以2
a ≤-
情形4
：当12a <≤-
时，12a -≤<1()2g a a a
=--，
1
()g a
=1,222a a a a --==->-解得与矛盾。

情形5：当102a -
<<时，12a <-，此时
g(a)=a+2, 1
()g a
=
由2a +=
1
2,2
a a =>-与矛盾。

情形6：当a>0时，10a >，此时g(a)=a+2, 11
()2g a a
=+
由1
221a a a
+=+=±解得，由a>0得a=1.
综上知，满足1()()g a g a =的所有实数a
为,2
a ≤≤-
或a=1
57.（浙江卷）设2
()32f x ax bx c =++ 0=++c b a 若,f(0)＞0，f(1)
＞0，求证：
(Ⅰ)a ＞0且-2＜
b
a
＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
解析：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。

满分14分。

证明：（I ）因为(0)0,(1)0f f >>，所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=，消去b ，得0a c >>；
由条件0a b c ++=，消去c ，得0a b +<，20a b +>. 故21b
a
-<
<-. （II ）抛物线2
()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2
3(,)33b ac b a a
--， 在21b a -<
<-的两边乘以13-，得12
333
b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a
c ac
f a a
+--=-
< 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -
与(,1)3b
a
-内分别有一实根。

故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.
13．（福建卷）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是(0,5),且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12。

（I ）求()f x 的解析式；
（II ）是否存在实数,m 使得方程37
()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质 的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

解：（I ）2
2
()8(4)16.f x x x x =-+=--+
当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，
22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++
当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==
当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2
()()8.h t f t t t ==-+
综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪
=≤≤⎨⎪-+>⎩
（II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数
()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

22()86ln ,
62862(1)(3)
'()28(0),
x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值
当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
()70,
()6ln 3150,
x m x m φφ=->⎧⎪⎨
=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln3.m <<-
所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m
的取值范围为(7,156ln 3).-
23．（辽宁卷）已知函数f(x)=d cx bx ax +++233
1
,其中a , b , c 是以d 为公差的等差
数列，，且
a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-0,2a
b
］上，处取得最大植在1')(x x f ，
在
处
取得
2x ，
将
点
依
次（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ， B ， C
(I)求的值o x
(II)若⊿ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+，求a ,d 的值
【解析】(I):
2b a c =+
22()2()(1)()f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++
令()0f x '=,得1c x x a
=-=-
或 0,00a d a b c
>>∴<<< 1,1c c
a a ∴>-<-
当1c
x a
-
<<-时, ()0f x '<; 当1x >-时, ()0f x '> 所以f(x)在x=-1处取得最小值即1o x =-
(II) 2()2(0)f x ax bx c a '=++>()f x '∴的图像的开口向上,对称轴方程为b
x a
=-
由1b
a
>知2|(1)()||0()|b b b a a a ---<--()f x '∴在2[1,0]b a -上的最大值为(0)f c '=
即1x =0
又由21,[1,0]b b b a a a >-∈-知∴当b
x a =-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即
01
()(1)3
f x f a =-=-21(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a ∴----
由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2
221,a =3(1)3d a d a
-=-
即
又由三角形ABC 的面积为32+
得1(1)()223
b a
c a -+⋅+=
利用b=a+d,c=a+2d,得2
22(2)3d d a
+
=+
联立(1)(2)可得3,d a ==.
解法2:
2()2(0)f x ax bx c a '=++>2(1)0,(0)b
f f c a
''-
== 又c>0知()f x 在2[1,0]b
a
-
上的最大值为(0)f c '=即: 1x =0 又由21,[1,0]b b b a a a >-∈-知∴当b
x a =-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即
01
()(1)3
f x f a =-=-21(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a ∴----
由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2
221,a =3(1)3d a d a
-=-
即
又由三角形ABC
的面积为32+
得1(1)()223
b a
c a -
+⋅+=利用b=a+d,c=a+2d,得2
22(2)
3d d a
+
=+
联立(1)(2)可得3,d a ==
【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
2005高考（函数部分）
11．（福建卷)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小
值是 （ B ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 12. （湖北卷）函数|1||
|ln --=x e y x 的图象大致是
（ D ）
20. （山东卷）函数2
1
sin(),10,
(),0.
x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ C ）
（A ）1 （B
）2- （C
）1,2- （D
）1,2
3. （北京卷）设f (x )是定义在[0, 1]上的函数，若存在x *∈(0，1)，使得f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *，1]上单调递减，则称f (x )为[0, 1]上的单峰函数，x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f (x )，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （I ）证明：对任意的x 1，x 2∈(0，1)，x 1＜x 2，若f (x 1)≥f (x 2)，则(0，x 2)为含峰区间；若f (x 1)≤f (x 2)，则(x *，1)为含峰区间；
（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x 1，x 2∈(0，1)，满足x 2－x 1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ；
（III ）选取x 1，x 2∈(0, 1)，x 1＜x 2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x 2)或(x 1，1)，在所得的含峰区间内选取x 3，由x 3与x 1或x 3与x 2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x 2)的情况下，试确定x 1，x 2，x 3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
解：（I ）证明：设x *为f (x ) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f (x )在[0, x *]上单调递增，在[x *, 1]上单调递减．
当f (x 1)≥f (x 2)时，假设x *∉(0, x 2)，则x 1<x 2<x *，从而f (x *)≥f (x 2)>f (x 1)， 这与f (x 1)≥f (x 2)矛盾，所以x *∈(0, x 2)，即(0, x 2)是含峰区间.
当f (x 1)≤f (x 2)时，假设x *∉( x 2, 1)，则x *<≤x 1<x 2，从而f (x *)≥f (x 1)>f (x 2)， 这与f (x 1)≤f (x 2)矛盾，所以x *∈(x 1, 1)，即(x 1, 1)是含峰区间. （II ）证明：由（I ）的结论可知：
当f (x 1)≥f (x 2)时，含峰区间的长度为l 1＝x 2； 当f (x 1)≤f (x 2)时，含峰区间的长度为l 2=1－x 1； 对于上述两种情况，由题意得 210.5
10.5x r x r +⎧⎨
-+
⎩≤≤ ① 由①得 1＋x 2－x 1≤1+2r ，即x 1－x 1≤2r.
又因为x 2－x 1≥2r ，所以x 2－x 1=2r, ② 将②代入①得
x 1≤0.5－r, x 2≥0.5－r ， ③ 由①和③解得 x 1＝0.5－r ， x 2＝0.5＋r ．
所以这时含峰区间的长度l 1＝l 1＝0.5＋r ，即存在x 1，x 2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ．
（III ）解：对先选择的x 1；x 2，x 1<x 2，由（II ）可知 x 1＋x 2＝l ， ④
在第一次确定的含峰区间为(0, x 2)的情况下，x 3的取值应满足 x 3＋x 1＝x 2， ⑤ 由④与⑤可得21
31
112x x x x =-⎧⎨
=-⎩,
当x 1>x 3时，含峰区间的长度为x 1．
由条件x 1－x 3≥0.02，得x 1－(1－2x 1)≥0.02，从而x 1≥0.34． 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x 1＝0.34，x 2＝0.66，x 3=0.32．
4（上海）已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,j i AB 22+=(i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2-x-6.
(1)求k 、b 的值;
(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数
)
(1
)(x f x g +的最小值. [解](1)由已知得A(k
b
-
,0),B(0,b),则AB ={k b ,b},于是k b =2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,
)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+2
1
+x -5
由于x+2>0,则
)
(1
)(x f x g +≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ∴
)
(1
)(x f x g +的最小值是-3. 7．(浙江)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．
(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；
(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；
(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
解：（I ）设函数()y f x =的图象上任一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ,
则 0002
2
x x
y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 即 00x x y y =-⎧⎨=-⎩.
∵点00(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上.
∴22,y x x -=- 即22,y x x =-+ 故g(x)＝22x x -+.
(II)由()()|1|g x f x x ≥--可得：2
|2|1|0x x --≤
当x ≥1时，2
21|0x x -+≤
此时不等式无解。

当1x <时，2
210x x -+≤
∴112
x -≤≤
因此，原不等式的解集为[-1,
12
]. (III) 2
()(1)2(1) 1.h x x x λλ=-++-+
① 当1λ=-时，()h x ＝41x +在[-1,1]上是增函数，
∴1λ=-
②当1λ≠-时，对称轴的方程为11x λ
λ
-=+ (i) 当1λ<-时，
11λ
λ-+1≤-，解得1λ<-。

(ii) 当1λ>-时，11λ
λ
-+≥1时，解得10λ-<≤
综上,0λ≤
9.（全国I ）（1）设函数22()log (1)log (1)(01)f x x x x x x =+--<<，求)(x f 的最小值； （2）设正数1232,,,
,n p p p p 满足12321n p p p p ++++=， 求证：121222323222log log log log .n n p p p p p p p p n +++
+≥-
（Ⅰ）解：对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f
.2
ln 1
2ln 1)1(log log 22-+
--=x x ).1(log log 22x x --= 于是.0)2
1(='f
当221
,()log log (1)0,()2
x f x x x f x '<=--<时在区间)21,0(是减函数，
当221
,()log log (1)0,()2
x f x x x f x '>=-->时在区间)1,21(是增函数.
所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)2
1
(-=f ，
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.
（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.
（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++
当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足
令.,,,,222
211221x
p q x p q x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q
由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++
k
k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ ,l o g )()l o g 22x x k x x +-≥+ ①
同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p
).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ②
综合①、②两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p
).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x
即当1+=k n 时命题也成立.
根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二：
令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=
],log )1(log )1(log [)(222c c
x
c x c x c x c x g +--+=
利用（Ⅰ）知，当1(),().22
x c
x g x c ==即时函数取得最小值
对任意都有,0,021>>x x
2
log 22log log 2
1221222121x x x x x x x x ++⋅
≥+ ]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论.
（i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.
（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p
111111
12122222212122212122222212122log log log .
1,,,
, 1.
log log log log k k k k k k k k p p p p p p k n k p p p p p p H p p p p p p p p ++++++--++
+≥-=+++
+==++
++当时满足令
由①得到
11111112212221221212212()[log ()1]()[log ()1],
()()1,
k k k k k k H p p p p p p p p p p p p ++++++---≥++-++++-++
++=因为
由归纳法假设
11
11
1221
22212
212
()l o g ()()l o g (),k k k k p p p p p p
p p k ++++--
++++
+
+≥-得到 1112212()(1).k k H k p p p p k +++≥--++
++=-+
即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.。