第15讲势流理论2

（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动
设半径为r0 的无限长圆柱体，在无界理想流体中以v0 作等速直线运 动，求流场的速度分布、压力分布和流体对圆柱体的作用力。 若取随圆柱体的动坐标系，则圆柱体静止，流体从无穷远处以速度v0 流过来，流动定常。 匀速直线运动的动坐标系，仍然是惯性坐标系，物体间相互作用的动 力学关系不变。
在圆柱表面 r = a 上的压力分布：
p − p0 =
圆柱表面上的压力系数：
1 2 ρv0 (1 − 4 sin 2 θ ) 2
p − p0 cp = = 1 − 4 sin 2 θ 1 2 ρv0 2
圆柱表面的压力对称于x轴和y轴，cp>0为正压， cp<0为负压。 在θ =±
π
2
处，c p min
（1）驻点 在点源的前方必有一点速度为零，这 一点称为驻点。驻点的位置：
v0
I
y
x
m cosθ ⎫ = 0⎪ u = v0 + 2π r ⎬ m sinθ =0 ⎪ v= 2π r ⎭
解得：
a
m
2π a
θ =π,
r=a=
m 2πv0
或：
x=−
m ,y=0 2πv0
前方正对点源的流线在驻点处分为两个分支，形成图示的流线I。流 线I很像物体的头部，将流体推开。流线I两侧的流体不会流到对方去，就 像一个真实的I形状的物体，物体表面就是流线I。因此均匀流与点源的叠 加可以模拟I形状静止半无限绕流流场的解。
速度势代入物面边界条件：
∂ϕ ∂r
解得： M = 2πv0 a 2
= v0 cos θ −
r =a
M cos θ 2π r 2
=0
r =a
a2 则速度势为： ϕ = v0 r cos θ (1 + 2 ) r
（满足无穷远边界条件）
a2 流函数和复势分别为： ψ = v0 r sin θ (1 − r 2 )
（2）流线I的方程： 在驻点（a，π）：
v0
I
y
m m ψ = v0 a sin π + π = = aπv0 2π 2
代入流函数，得过驻点流线方程：
x
a
m
2π a
m ψ = v0 r sin θ + θ = aπv0 2π
整理：
v0 r sin θ + av0θ = aπv0
r sin θ + aθ = aπ
绕流也存在这样的一个点。 此后，流体又开始缓慢减速，到无穷远处，速度降为来流速度， cp趋 近于零。
2 均匀流和一对等强度源、汇的叠加
沿x轴方向的均匀流与一对等强度源汇叠加，源位于(-b，0)，汇位于 (b，0)。
v0
y
m −m
o
b b
x
叠加后流场的速度势和流函数为：
m m 2 2 ϕ = v0 x + ln ( x + b) + y − ln ( x − b) 2 + y 2 2π 2π
1 均匀流和点源的叠加
将沿x轴方向的均匀流与平面点源叠加，如图。
v0
+m
+
叠加后的势函数、流函数为：
m m ln r = v0 x + ln r ϕ = v0 r cos θ + 2π 2π m m ψ = v0 r sin θ + θ = v0 y + ln eθ 2π 2π
复势为：
m m iθ W ( z ) = v0 ( x + iy ) + ln re = v0 z + ln z 2π 2π
（２） 速度分布
流场中任意一点处的速度分布：
⎫ ∂ϕ a2 = v0 cos θ (1 − 2 ) vr = ⎪ ⎪ ∂r r ⎬ Γ0 ⎪ 1 ∂ϕ a2 = − v0 sin θ (1 + 2 ) − vθ = 2πr ⎪ r ∂θ r ⎭
在圆柱表面的速度为：
⎫ Γ0 ⎪ ⎬ vθ = −2v0 sin θ − 2π a ⎪ ⎭
复速度为：
dW m x m y = v0 + −i dz 2π x 2 + y 2 2π x 2 + y 2
速度分布为：
m x m cosθ ⎫ u = v0 + = v0 + 2 2 ⎪ 2π x + y 2π r ⎪ ⎬ m y m sinθ ⎪ v= = 2 2 ⎪ 2π x + y 2π r ⎭
− 0 .5 − 1 .0
x
在驻点，cp＝1，表示来流速度在接近驻点过程中逐渐减速，到达驻点 时，速度降为零，动能全部转化为静压能。 从驻点向后，流速增加， cp迅速减小。 cp＝0时，表明该点流速已达 到来流的速度。 沿物面向后，流体继续加速， cp变为负值，说明压力已低于来流的静 压。 流速达到最大值时， cp达到最小值，该点为压力最小点。一般物体
(5) 势流理论的价值
尽管势流理论在求解绕流问题时，产生了阻力为零的不合理现象， 但这并不影响势流理论在流体力学中的地位。 势流理论的解是一种基本解，对于求解不脱体的非圆柱绕流问题具 有重大价值。例如对于平板绕流、机翼绕流、细长物体横向绕流等问 题，势流理论仍是最简单、有效的方法。
5 绕圆柱有环量流动
令速度等于零，可求驻点位置：
vr = 0
∂ϕ a2 vr = = v0 cos θ (1 − 2 ) = 0 ∂r r
r=a ⎫ ⎪ 解得： π θ =± ⎬ 2⎪ ⎭
r = a 时，即在圆柱面上：
vθ = −2v0 sin θ −
Γ0 =0 2π a
⇒
sin θ = −
Γ0 4π av0
速度环量或涡强取不同值，驻点有三种情况： （1）
Γ0 < 1 有两个解，关于y轴负半轴对称。 4π av0 Γ0 π 只有一个解：θ = − =1 4π av0 2 Γ0 > 1 无解，圆柱表面无驻点。 4π av0
3 均匀流与偶极的叠加
均匀流沿x轴正向，偶极位于原点，方向在x轴负方向。叠加后的速度 势、流函数和复势为：
ϕ = v0 r cos θ +
M cos θ 2π r M sin θ ψ = v0 r sin θ − 2π r
速度分布：
M W ( z ) = v0 z + 2πz
vr = ∂ϕ M cos θ = v0 cos θ − ∂r 2π r 2
Γ0 =
r =a
v ⋅ d l = a ω ⋅ 2π a = 2πω a 2 ∫
有环量绕流的速度势满足如下边界条件：
∂ϕ = 0 （圆柱表面上r=a） ∂r ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = −v0 sinθ 或 = v0 cosθ， = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
（１） 速度势
有环量绕流可看成无环量绕流与点涡的叠加，速度势为：
vθ =
1 ∂ϕ M sin θ = −v0 sin θ − r ∂θ 2π r 2
令速度为零，得两个驻点坐标：
M r= , 2πv0
⎧0 θ =⎨ ⎩π
或
M x=± , 2πv0
y=0
将驻点坐标代入流函数：
M sin θ M ψ = v0 r sin θ − = v0 r sin θ (1 − )=0 2 2πv0 r 2π r
= −3
⎧θ = 0 在 ⎨ 处，c p max = +1 ⎩θ = π
圆柱表面压力的变化可以用能量守恒定律来解释。
（４） 圆柱受力
沿圆柱表面将压力积分：
P = − ∫∫ pnds = − ∫ p(cosθ i + sin θ j )adθ ⋅1 = 0
S 0
2π
圆柱所受合力为零，与实际不符，称为达朗伯佯谬。 实际上，圆柱体在流体中运动是要受到阻力作用的，导致这一谬误 的原因是没有考虑粘性。 粘性的存在，一方面对圆柱体产生向后的摩擦阻力；另一方面，由于 粘性存在，流体绕流物体时会产生脱体现象，在圆柱后方形成旋涡，致使 该区域压力下降。从而产生向后的压力差，形成阻力，称为形状阻力。 定常绕流圆柱表面压力分布的理论结果和实测结果见下图。
最终的过驻点的流线I的方程： 在无穷远处：
y = a (π − θ )
r → ∞, θ = 0
y = aπ
流线I的方程简化为：
（3）流场的压力分布 不计质量力，设无穷远处压力为p0，速度为v0，流动定常，列无穷远 处到流场任意点的伯努利方程：
1 1 p 0 + ρ v 0 = p + ρ (u 2 + v 2 ) 2 2
整理得：
1 1 p = ( p 0 + ρ v 0 ) − ρ (u 2 + v 2 ) 2 2
压力通常用无量纲的压力系数表示：
p − p0 cp = 1 ρv0 2
压力系数表示流场中任一点相对于来流的表压力（p－p0）与来流的 动压头（ρv02/2）之比。压力系数与来流的压力、速度的具体数值就没有 了关系，具有通用性，也易于分析压力场的变化规律。
上述半无限体表面的压力系数为：
u2 + v2 ) cp = 1− ( 2 v0
代入速度表达式：
sin 2θ sin θ 2 cp = − −( ) π −θ π −θ
将坐标原点取在驻点，则物面上 压力系数沿x轴的分布如图。
cp
1 .0 0 .5 0
− 0 .5 − 1 .0
x
cp
1 .0 0 .5 0
⎫ ⎬ vθ = −2v0 sin θ ⎭
π
2
处，速
vr = 0
圆柱表面的速度对称于y轴，绝对值对称于x轴，在 θ = ± 度取得最大值：( vθ ) max = ± 2 v 0
（３） 压力分布
忽略质量力，设无穷远处压力为p0，流场中任意一点的压力为p，从 无穷远到流场中任一点列伯努利方程：
p+
1 2 1 ρ (vr2 + vθ2 ) = p0 + ρv0 2 2
a2 W ( z ) = v0 ( z + ) z
∂ϕ a2 ⎫ = v0 cos θ (1 − 2 ) ⎪ 由速度势求得流场速度分布： vr = ⎪ ∂r r ⎬ 1 ∂ϕ a2 ⎪ = −v0 sin θ (1 + 2 ) vθ = r ∂θ r ⎪ ⎭
圆柱表面 r = a 的速度分布：
（２） 速度分布
Γ0 a2 ϕ = v0 cos θ ( r + ) − θ 2π r
可以证明，速度势满足物面和无穷远边界条件，以及环量条件。 流函数和复势为：
Γ0 a2 ψ = v0 sin θ ( r − ) + ln r r 2π
iΓ 0 a2 W ( z ) = v0 ( z + ) + ln z z 2π
令速度为零，求得两个驻点：
v0
y = 0
y
m −m
x = ±
m 2b + b2 , 2π v 0
o
b
a
x
a
b
过驻点的流线有两条：
y =0
tan(
2πv0 y 2by )= 2 m x + y 2 − b2
流动的流谱如图(a)所示。可见，过驻点的流线为一卵形，点源起推 开流线的作用，点汇起收集流线的作用。 若将流线用物面替换，上述解可以模拟绕流长度为2a的二维卵形体 的外部流动。 卵形体表面的速度沿x轴的分布如图(b)。实线和虚线表示两种长宽 比的卵形体。如果将源、汇之间的距离拉近，直至变为偶极，则过驻点 的流线由卵形变为圆。
ψ = v0 y +
m y m y arctan − arctan 2π x + b 2π x−b
速度分布：
u = v0 +
m x+b m x −b ⎫ − ⎪ 2π ( x + b) 2 + y 2 2π ( x − b) 2 + y 2 ⎪ ⎬ m y m y ⎪ − v= 2 2 2 2 2π ( x + b) + y 2π ( x − b) + y ⎪ ⎭