北师大版高中数学选修2-2第五章章末检测(A)

第五章 数系的扩充与复数的引入(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列命题，正确的是( )
A ．复数的模总是正实数
B ．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C ．相等的向量对应着相等的复数
D ．实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数
2．已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为( )
A ．－32 B.32
C ．－23 D.23
3．已知z ＝1＋i
2，则1＋z 50＋z 100的值是( )
A ．3
B ．1
C ．2＋I
D ．i
4．复数i 3(1＋i)2等于( )
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．－2i
5．复数3＋i
1－3i (i 为虚数单位)等于( )
A ．1
B ．－1
C ．I
D ．－i
6．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2
＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则m ＝1是z 1＝z 2的(
) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )，若z 1z 2∈R ，则x 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
8．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z
＋z 2等于( ) A ．1＋I B ．－1＋i
C ．1－I
D ．－1－i
9．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )
A ．x ＝－1，y ＝1
B ．x ＝－1，y ＝2
C ．x ＝1，y ＝1
D ．x ＝1，y ＝2
10．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－i 1＋i 2等于( ) A ．－3－4i B ．－3＋4iC ．3－4i D ．3＋4i
11．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为( )
A ．1 B.34 C.43 D ．－34
12．已知在复平面内，向量AB →，BC →，AD →对应的复数分别为－2＋i,3－i,1＋5i ，则CD →对
应的复数是( )
A ．－6i
B ．6i
C ．5i
D ．－5i
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．
14．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限，则实数k 的取值范围是
________________．
15．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的值是________．
16．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2
为实数，则实数m ＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)计算： (1)(2＋2i )4(1－3i )5；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－i 2012.
18．(12分)实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：
(1)x 轴上方；
(2)直线x ＋y ＋5＝0上．
19.(12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i
，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．
20．(12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值．
21.(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2
在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
22．(12分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；
(2)判断△ABC 的形状；
(3)求△ABC 的面积．
答案
1．C
2．A [(1－a i)(3＋2i)＝3＋2a ＋(2－3a )i ，
由题意得：3＋2a ＝0且2－3a ≠0，即a ＝－32
.]
3．D [由z ＝1＋i 2
，得z 2＝1＋2i ＋i 22＝i ， z 4＝i 2＝－1，∴1＋z 50＋z 100＝1＋(z 2)25＋(z 4)25
＝1＋i 25＋(－1)25＝1＋i －1＝i.]
4．A
5．C [3＋i 1－3i ＝3＋i －i 2－3i ＝3＋i －i (3＋i )
＝－1i ＝i.] 6．A [∵z 1＝z 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2⇔m ＝1或m ＝－2，
∴m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]
7．A [∵z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝(x －2)＋(x ＋2)i ∈R .
∴x ＋2＝0，∴x ＝－2.]
8．A [z ＝1＋i ，则2z ＝21＋i
＝1－i ，z 2＝2i ， 故2z
＋z 2＝1＋i.] 9．D [∵(x ＋i)(1－i)＝(x ＋1)＋(1－x )i ，
∴(x ＋1)＋(1－x )i ＝y .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝y ，1－x ＝0.∴⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.] 10．A [⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3－i )(1－i )22＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－4i 22＝(1－2i)2＝－3－4i.] 11．B [∵z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，
则z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]
＝m ＋2m i ＋(m －1)i ＋2(m －1)i 2
＝(m －2m ＋2)＋(2m ＋m －1)i
＝(2－m )＋(3m －1)i.
∴2－m ＝3m －1，得m ＝34
.] 12．C [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝－BC →－AB →＋AD →，
∴CD →对应复数为－(3－i)－(－2＋i)＋1＋5i ＝5i.]
13．－20
解析 ∵z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，
∴(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，
∴复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 14．(－6，－2)∪(2，6)
解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
－6＋k 2<0k 2－4>0，∴4<k 2<6. ∴－6<k <－2或2<k < 6.
15．5
解析 OC →＝xOA →＋yOB →得3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)＝(－x ＋y )＋(2x －y )i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4，故x ＋y ＝5.
16．－32
解析
z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )25 ＝3m －8＋(6＋4m )i 25是实数，
∴6＋4m ＝0，即m ＝－32
. 17．解 (1)(2＋2i )4(1－3i )5＝24(1＋i )4(－2－23i )2(1－3i )＝24(2i )216(1＋3i )
＝－1＋3i. (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2012＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋21 006(－2i )1 006＝(－23＋i )i i －23
＋1i 1 006＝i －1. 18．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.
(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)，
∵z 对应的点在直线x ＋y ＋5＝0上，
∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，
整理得2m 2＋3m －4＝0，解得m ＝－3±414
. 19．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i ＝(3－i )(2－i )5
＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1
＋i.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.
20．解 设ω＝z －3＋4i ，∴z ＝ω＋3－4i ， ∴z ＋1－i ＝ω＋4－5i.
又|z ＋1－i|＝1，∴|ω＋4－5i|＝1.
可知ω对应的点的轨迹是以(－4，5)为圆心，半径为1的圆，
如图所示，∴|ω|max ＝41＋1，
|ω|min ＝41－1.
21．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.
∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>08(a －2)>0，
解得2<a <6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
22．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.
BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)|AB →|＝|1＋i|＝2，
|BC →|＝|－3＋i|＝10，
|AC →|＝|－2＋2i|＝8.
∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，
∴∠A 为直角，△ABC 为直角三角形．
(3)S △ABC ＝12|AB →||AC →|＝12×2×8＝2.。