《“杨辉三角”与二项式系数的性质》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第1.3.2课时)
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人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr Cnnbn
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即
0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以
Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证.
课堂训练
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左到右第14与第15个数的比
为2:3 .
(2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 __C_15_0 __；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__171_ .
课堂训练
2.选择
（1）( 2 3 3)100 的展开式中，无理项的个数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ）
新知探究
由以上分析可以画出如下图:
新知探究
观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.
新知探究
知识要点 1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
新知探究 直线r n 将函数f(r)的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴
2
新知探究
1、杨辉三角 南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家和教育家，杨辉 一生编写的数学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官,到过苏州、台 州等地，他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题.
杨辉
新知探究
本节课的课题《二项式定理》就是研究 （a+b）的平方,(a+b)的三次方…… （a+b）的n次方的乘法展开式 的规律， 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实，我国数学家杨辉早 在1261年在他的《详解九章算法》中就有了相应的图表.
解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 C10，C11 第2行中的数是 C02，C12，C22
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn
设第n行中从左到右第14与第15个数的比为
2:3 则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
新知探究
知识要点
2.增减性与最大值
由于： Ckn
=
n(n - 1)(n - 2)…(n - k k (k - 1)!
+ 1)
=
Ckn
-1
n
-
k k
+
1
所以 由：
C
k n
相对于
C
k n
1
的增减情况由
n-k +1 >1 k < n+1
k
2
n - k + 1 决定．
k
n+1
可知，当 k <
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n1+8n-2-…+8-1-2=8(8n-1-8n-2+…+)-3，
余数为8-3=5.
课堂训练
课堂练习 1.填空
2 1 n
(1)Cn1+Cn2+…+Cnn=_______;
210
C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_____.
《九章算术》
新知探究
《详解九章算法》中记载的表
新知探究
2、二项式系数性质
(a b)n 展开式的二项式系数依次是： Cn0 , C1n , Cn2 ,…, Cnn
从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函数
f
(r)
,其定义域是：
0,1,2,,
n
n 6 当
时，其图象是右图中的7个孤立点．
√ A.4032 B.-4032 C.126
D.-126
课堂训练
3.解答题 （1）求(2x+3y)6的展开式的第三项.
解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160x4y2
课堂训练
（2）求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数. 解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知，展开式的第三项的二项式系数为C62=15，而展开式的第三项的系 数为2160.
新知探究
例题 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析：
奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+… 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+… 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两 个系数和.
新知探究
证明： 在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得
课堂小结
1.二项式系数的三条性质 （1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）. 2. 数学思想方法 （1）函数法; （2）特殊值法 ; （3）赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项.
课前导入
观察
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
课前导入
（1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳. （2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质.
新知探究
n
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 Cn2 取得最大值；
n -1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn2
C 、
n+1 2
n
相等，且同时取得最大值.
新知探究
知识要点 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnrxr+…+Cnnxn 令x=1，则
2n=Cn0+Cn1+…+Cnn
课堂训练
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_2_0_0__(用数字作答). 解析： ∵(1-x3)(1+x)10
=(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)， ∴x4的系数为C104+(-1) C101=N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+6-1被8除所得的余数是( ).
第1章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
课前导入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr Cnnbn
(1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即
0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以
Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证.
课堂训练
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__3_4___行中从左到右第14与第15个数的比
为2:3 .
(2)在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 __C_15_0 __；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__171_ .
课堂训练
2.选择
（1）( 2 3 3)100 的展开式中，无理项的个数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ）
新知探究
由以上分析可以画出如下图:
新知探究
观察 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质.
新知探究
知识要点 1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式 Cnm=Cnn-m 得到.
新知探究 直线r n 将函数f(r)的图像分成对称的两部分，它是图像的对称轴
2
新知探究
1、杨辉三角 南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家和教育家，杨辉 一生编写的数学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官,到过苏州、台 州等地，他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题.
杨辉
新知探究
本节课的课题《二项式定理》就是研究 （a+b）的平方,(a+b)的三次方…… （a+b）的n次方的乘法展开式 的规律， 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实，我国数学家杨辉早 在1261年在他的《详解九章算法》中就有了相应的图表.
解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 C10，C11 第2行中的数是 C02，C12，C22
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn
设第n行中从左到右第14与第15个数的比为
2:3 则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
人教版高中数学选修2-3
第1章 计数原理
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人： 时间：2020.6.1
新知探究
知识要点
2.增减性与最大值
由于： Ckn
=
n(n - 1)(n - 2)…(n - k k (k - 1)!
+ 1)
=
Ckn
-1
n
-
k k
+
1
所以 由：
C
k n
相对于
C
k n
1
的增减情况由
n-k +1 >1 k < n+1
k
2
n - k + 1 决定．
k
n+1
可知，当 k <
时，
2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值.
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
原式=(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n-8n1+8n-2-…+8-1-2=8(8n-1-8n-2+…+)-3，
余数为8-3=5.
课堂训练
课堂练习 1.填空
2 1 n
(1)Cn1+Cn2+…+Cnn=_______;
210
C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_____.
《九章算术》
新知探究
《详解九章算法》中记载的表
新知探究
2、二项式系数性质
(a b)n 展开式的二项式系数依次是： Cn0 , C1n , Cn2 ,…, Cnn
从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函数
f
(r)
,其定义域是：
0,1,2,,
n
n 6 当
时，其图象是右图中的7个孤立点．
√ A.4032 B.-4032 C.126
D.-126
课堂训练
3.解答题 （1）求(2x+3y)6的展开式的第三项.
解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160x4y2
课堂训练
（2）求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数. 解： 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知，展开式的第三项的二项式系数为C62=15，而展开式的第三项的系 数为2160.
新知探究
例题 证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析：
奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+… 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+… 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两 个系数和.
新知探究
证明： 在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得
课堂小结
1.二项式系数的三条性质 （1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）. 2. 数学思想方法 （1）函数法; （2）特殊值法 ; （3）赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项.
课前导入
观察
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
课前导入
（1）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳. （2）继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质.
新知探究
n
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 Cn2 取得最大值；
n -1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 Cn2
C 、
n+1 2
n
相等，且同时取得最大值.
新知探究
知识要点 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnrxr+…+Cnnxn 令x=1，则
2n=Cn0+Cn1+…+Cnn
课堂训练
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_2_0_0__(用数字作答). 解析： ∵(1-x3)(1+x)10
=(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)， ∴x4的系数为C104+(-1) C101=N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+6-1被8除所得的余数是( ).